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1、第二节幂级数第二节幂级数1现在学习的是第1页，共40页一、幂级数的概念一、幂级数的概念1.1.复变函数项级数复变函数项级数定义定义其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义.表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数,记作记作 2现在学习的是第2页，共40页称为这级数的称为这级数的部分和部分和.级数最前面级数最前面n项的和项的和和函数和函数3现在学习的是第3页，共40页称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果级数在如果级数在D内处处收敛内处处收敛,那末它的和一定那末它的和一定4现在学习的是第4页，共40页2.2.幂级数幂级数当当或或函数项级数的特殊情形函数项级数
2、的特殊情形或或这种级数称为这种级数称为幂级数幂级数.5现在学习的是第5页，共40页二、幂级数的敛散性二、幂级数的敛散性1.收敛定理收敛定理(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理)如果级数如果级数在在收敛收敛,那末对那末对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛,如果如果在在级数发散级数发散,那末对满足那末对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足阿贝尔介绍阿贝尔介绍6现在学习的是第6页，共40页证证由收敛的必要条件由收敛的必要条件,有有因而存在正数因而存在正数M,使对所有的使对所有的n,7现在学习的是第7页，共40页而而由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较判别法知:收敛收敛.另一部分的证明请课后完成另一部分
3、的证明请课后完成.证毕证毕8现在学习的是第8页，共40页2.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛.9现在学习的是第9页，共40页例如例如,级数级数对任意固定的对任意固定的z,从某个从某个n开始开始,总有总有于是有于是有故该级数对任意的故该级数对任意的z均收敛均收敛.10现在学习的是第10页，共40页(2)对所有的正实数除对所有的正实数除 z=0 外都发散外都发散.此时此时,级数在复平面内除原点外
4、处处发散级数在复平面内除原点外处处发散.(3)既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数.例如例如,级数级数通项不趋于零通项不趋于零,如图如图:故级数发散故级数发散.11现在学习的是第11页，共40页.收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.12现在学习的是第12页，共40页答案答案:幂级数幂级数的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1:在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般不能作出一般的结论的结论,要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具
5、体分析.注意注意问题问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?13现在学习的是第13页，共40页例如例如,级数级数:收敛圆周上无收敛点收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛在收敛圆周上处处收敛.14现在学习的是第14页，共40页3.收敛半径的求法收敛半径的求法方法方法1 1:比值法比值法(定理二定理二):那末收敛半径那末收敛半径证证由于由于收敛收敛.15现在学习的是第15页，共40页据阿贝尔定理据阿贝尔定理,根据上节定理三根据上节定理三,16现在学习的是第16页，共40页所以收敛半径为所以收敛半径为证毕证毕即假设不成立即假设不成立.17现在学习的是第17页，共40
6、页如果如果:即即注意注意:存在且不为零存在且不为零.定理中极限定理中极限(极限不存在极限不存在),即即18现在学习的是第18页，共40页答案答案课堂练习课堂练习 试求幂级数试求幂级数的收敛半径的收敛半径.19现在学习的是第19页，共40页方法方法2:根值法根值法(定理三定理三)那末收敛半径那末收敛半径说明说明:(与比值法相同与比值法相同)如果如果20现在学习的是第20页，共40页三、幂级数的运算和性质三、幂级数的运算和性质1.1.幂级数的有理运算幂级数的有理运算21现在学习的是第21页，共40页2.幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算如果当如果当时时,又设在又设在内内解析且满足解析且满
7、足那末当那末当时时,说明说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.22现在学习的是第22页，共40页定理四定理四设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为那末那末(2)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,是收敛圆是收敛圆内的解析函数内的解析函数.(1)3.复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质23现在学习的是第23页，共40页(3)在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分,简言之简言之:在收敛圆内在收敛圆内,幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导,逐项积分逐项积分
8、.(常用于求和函数常用于求和函数)即即24现在学习的是第24页，共40页四、典型例题四、典型例题例例1 1 求幂级数求幂级数的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解级数的部分和为级数的部分和为25现在学习的是第25页，共40页级数级数收敛收敛,级数级数发散发散.且有且有收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:在此圆域内在此圆域内,级数绝对收敛级数绝对收敛,收敛半径为收敛半径为1,26现在学习的是第26页，共40页例例2求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论并讨论时的情形时的情形)或或
9、解解(1)因为因为27现在学习的是第27页，共40页所以收敛半径所以收敛半径即原级数在圆即原级数在圆内收敛内收敛,在圆外发散在圆外发散,收敛的收敛的级数级数 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周在圆周上上,级数级数28现在学习的是第28页，共40页说明说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有也有 级数的发散点级数的发散点.原级数成为原级数成为交错级数交错级数,收敛收敛.发散发散.原级数成为原级数成为调和级数，调和级数，(2)29现在学习的是第29页，共40页故收敛半径故收敛半径例例3求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:解解30
10、现在学习的是第30页，共40页解解所以所以例例4 求求 的收敛半径的收敛半径.31现在学习的是第31页，共40页例例5 把函数把函数表成形如表成形如的幂的幂级数级数,其中其中是不相等的复常数是不相等的复常数.解解把函数把函数写成如下的形式写成如下的形式:代数变形代数变形,使其分母中出现使其分母中出现凑出凑出32现在学习的是第32页，共40页级数收敛级数收敛,且其和为且其和为33现在学习的是第33页，共40页例例6 求级数求级数的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解利用逐项积分利用逐项积分,得得:所以所以34现在学习的是第34页，共40页例例7 求级数求级数的收敛半径与和函数的收敛半径与和函
11、数.解解35现在学习的是第35页，共40页例例8 计算计算解解36现在学习的是第36页，共40页五、小结与思考五、小结与思考 这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质数的运算性质.37现在学习的是第37页，共40页思考题思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?38现在学习的是第38页，共40页由于在收敛圆周上由于在收敛圆周上确定确定,可以依复数项级可以依复数项级数敛散性讨论数敛散性讨论.思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.39现在学习的是第39页，共40页