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1、第四章第二第四章第二节幂级数节幂级数第一页，本课件共有22页一、幂级数的敛散性一、幂级数的敛散性1.幂级数定义具有具有形式的级数称为形式的级数称为幂级数幂级数.其中其中第二页，本课件共有22页2.阿贝尔(Abel)定理证明证明从而它的通项序列必有界从而它的通项序列必有界,即有正数即有正数M,使使 第三页，本课件共有22页为收敛的等比级数为收敛的等比级数,这样即有这样即有第四页，本课件共有22页第五页，本课件共有22页3.(4.3)3.(4.3)敛散性讨论敛散性讨论(1)对所有的复数除对所有的复数除 z=a 外都发散外都发散.此时此时,级数在复平面内除点a外处处发散.通项不趋于零通项不趋于零,故
2、级数发散故级数发散.第六页，本课件共有22页例如例如,级数级数对任意固定的对任意固定的z,从某个从某个n开始开始,总有总有于是有于是有故该级数对任意的故该级数对任意的z均收敛均收敛.(2)对所有的复数都收敛对所有的复数都收敛由由Abel定理知定理知:级数在复平面上处处绝对且内闭一致收敛级数在复平面上处处绝对且内闭一致收敛.第七页，本课件共有22页如图如图:幂级数幂级数的收敛范围是以点a为中心的圆域.收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径(3)既存在使级数发散的复数,也存在使级数收敛的复数.第八页，本课件共有22页答案答案:幂级数幂级数的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1:在收敛圆周上是收敛还
3、是发散在收敛圆周上是收敛还是发散,不能不能注意注意问题问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?作出一般的结论作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.第九页，本课件共有22页例如例如,级数级数:收敛圆周上无收敛点收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛在收敛圆周上处处收敛.第十页，本课件共有22页(4)收敛半径的定义收敛半径的定义注注:一个幂级数在收敛圆周上有三种情况一个幂级数在收敛圆周上有三种情况（）处处收敛）处处收敛;（）处处发散）处处发散;（）既有收敛点）既有收敛点,也有发散点也有发散点.第十一页，本课件共有22页二、二、收敛半径的求
4、法收敛半径的求法定理定理4.124.12第十二页，本课件共有22页由上节定理由上节定理,证明证明由于由于收敛收敛.第十三页，本课件共有22页所以收敛半径为所以收敛半径为证毕证毕即假设不成立即假设不成立.据阿贝尔定理据阿贝尔定理,第十四页，本课件共有22页例例1求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:(1)(2)或或解解(1)因为因为所以收敛半径所以收敛半径第十五页，本课件共有22页(2)(3)第十六页，本课件共有22页定理定理4.13(1)幂级数幂级数三、三、幂级数和的解析性幂级数和的解析性(4.6)与(4.5)有相同的收敛半径;第十七页，本课件共有22页证明证明由Abel定理,幂级数故由故由Weierstrass定理定理,第十八页，本课件共有22页注注1 (4.5)可沿可沿K内曲线内曲线C逐项积分逐项积分,且收敛且收敛 半径与半径与(4.5)相同相同.简言之简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导,逐项积分.(常用于求和函数)即即第十九页，本课件共有22页例例2 求级数求级数的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解利用逐项积分利用逐项积分,得得:所以所以第二十页，本课件共有22页例例3 求级数求级数的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解第二十一页，本课件共有22页作 业P178习题(一)2(2),3,4第二十二页，本课件共有22页