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1、第四章第二第四章第二节幂级数节幂级数第1页，此课件共22页哦一、幂级数的敛散性一、幂级数的敛散性1.幂级数定义具有具有形式的级数称为形式的级数称为幂级数幂级数.其中其中第2页，此课件共22页哦2.阿贝尔(Abel)定理证明证明从而它的通项序列必有界从而它的通项序列必有界,即有正数即有正数M,使使 第3页，此课件共22页哦为收敛的等比级数为收敛的等比级数,这样即有这样即有第4页，此课件共22页哦第5页，此课件共22页哦3.(4.3)3.(4.3)敛散性讨论敛散性讨论(1)对所有的复数除对所有的复数除 z=a 外都发散外都发散.此时此时,级数在复平面内除点a外处处发散.通项不趋于零通项不趋于零,故
2、级数发散故级数发散.第6页，此课件共22页哦例如例如,级数级数对任意固定的对任意固定的z,从某个从某个n开始开始,总有总有于是有于是有故该级数对任意的故该级数对任意的z均收敛均收敛.(2)对所有的复数都收敛对所有的复数都收敛由由Abel定理知定理知:级数在复平面上处处绝对且内闭一致收敛级数在复平面上处处绝对且内闭一致收敛.第7页，此课件共22页哦如图如图:幂级数幂级数的收敛范围是以点a为中心的圆域.收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径(3)既存在使级数发散的复数,也存在使级数收敛的复数.第8页，此课件共22页哦答案答案:幂级数幂级数的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1:在收敛圆周上是收敛还
3、是发散在收敛圆周上是收敛还是发散,不能不能注意注意问题问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?作出一般的结论作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.第9页，此课件共22页哦例如例如,级数级数:收敛圆周上无收敛点收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛在收敛圆周上处处收敛.第10页，此课件共22页哦(4)收敛半径的定义收敛半径的定义注注:一个幂级数在收敛圆周上有三种情况一个幂级数在收敛圆周上有三种情况（）处处收敛）处处收敛;（）处处发散）处处发散;（）既有收敛点）既有收敛点,也有发散点也有发散点.第11页，此课件共22页哦二、二、收敛半径的
4、求法收敛半径的求法定理定理4.124.12第12页，此课件共22页哦由上节定理由上节定理,证明证明由于由于收敛收敛.第13页，此课件共22页哦所以收敛半径为所以收敛半径为证毕证毕即假设不成立即假设不成立.据阿贝尔定理据阿贝尔定理,第14页，此课件共22页哦例例1求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:(1)(2)或或解解(1)因为因为所以收敛半径所以收敛半径第15页，此课件共22页哦(2)(3)第16页，此课件共22页哦定理定理4.13(1)幂级数幂级数三、三、幂级数和的解析性幂级数和的解析性(4.6)与(4.5)有相同的收敛半径;第17页，此课件共22页哦证明证明由Abel定理,幂级数故由故由Weierstrass定理定理,第18页，此课件共22页哦注注1 (4.5)可沿可沿K内曲线内曲线C逐项积分逐项积分,且收敛且收敛 半径与半径与(4.5)相同相同.简言之简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导,逐项积分.(常用于求和函数)即即第19页，此课件共22页哦例例2 求级数求级数的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解利用逐项积分利用逐项积分,得得:所以所以第20页，此课件共22页哦例例3 求级数求级数的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解第21页，此课件共22页哦作 业P178习题(一)2(2),3,4第22页，此课件共22页哦