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1、专题五三角形【专题分析】三角形在中考中的常见考点有三角形的边和角，三角形的重要线段；全等三角形的判定，全等三角形的性质及综合应用，角平分线的应用；等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线；比例线段与黄金分割，相似三角形的性质及判定，相似多边形的性质；锐角三角函数，解直角三角形的应用等对三角形的考查在中考中既有客观题又有主观题，考查题型多样，关于边角的基础知识一般以选择题或填空题的形式进行考查，证明三角形全等、相似，应用三角形全等、相似解决问题一般以解答题的形式进行考查；三角形在中考中的比重约为15%20%.【解题方法】解决三角形问题常用的数学
2、思想是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法和设参数法等.【知识结构】【典例精选】：如图，AD是ABC中BAC的平分线，DEAB于点E，SABC7，DE2，AB4，则AC的长是()A3B4C6D5【思路点拨】过点D作DFAC，由SABCSABDSACD可求出AC的长答案：A已知：如图，ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，AEBC，CEAE，垂足为E. (1)求证：ABDCAE；(2)连结DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论【思路点拨】(1)由ABAC及AEBC易得BCAE，然后由AD是中线可得ADBCEA，由AAS证明两个三角形全等；(2)
3、由(1)可得AEBD，结合已知条件AEBC可得四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出DE与AB平行且相等【自主解答】(1)证明：ABAC，BACB.AEBC，EACACB.BEAC.AD是BC边上的中线，ADBC，即ADB90°.CEAE，CEA90°.CEAADB.又ABAC，ABD CAE(AAS)(2)解：ABDE且ABDE.由(1)ABDCAE可得AEBD，又AEBD，四边形ABDE是平行四边形，ABDE且ABDE.规律方法：在求线段，角，的长度，度数或证明线段，角相等时，利用全等三角形的对应边，角相等，可将对应边，角进行转化，从而建立已知与未知之间的
4、联系. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC和DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)试证明ABC是直角三角形；(2)判断ABC和DEF是否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与ABC相似(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明)【思路点拨】(1)分别求出ABC三边的长度，利用勾股定理进行判断；(2)分别求出DEF三边的长度，计算DEF与ABC三边长度的比值，进而作出判断；(3)观察图形，所求作的三角形满足其三边与ABC三边的比值相等即可【自主解答】(1
5、)证明：根据勾股定理，得AB2，AC， BC5；显然有AB2AC2BC2，根据勾股定理的逆定理，得ABC 为直角三角形(2)解：ABC和DEF相似根据勾股定理，得DE4，DF2，EF2. .ABCDEF.(3)解：如图，P2P4 P5即为所求规律方法：在网格中证明两个三角形相似，可分别计算两个三角形三边的长度，再计算三组对应边的比是否相等，根据三组对应边的比相等，得两三角形相似.如图，港口B位于港口O正西方向120 km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向一艘游船从港口O出发，沿OA方向(北偏西30°)以 v km/h的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东3
6、0°的方向以60 km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1 h加装补给物资后，立即按照原来的速度给游船送去(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间？(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1 h，求v的值及相遇处与港口O的距离【思路点拨】(1)根据题意可知CBO60°，COB30°，C90°，在RtBOC中，根据cos CBO，求出BC，根据“路程速度×时间”求出时间即可；(2)根据题意游船共行驶了3个小时，所以行驶路程为 3v km，设相会点为点E，作CDOA，分点E在线段OD上和在射线DA上两种情况，解非直角三角形OCE，根据DE903v或DE
7、3v90，利用CD2DE2CE2，求出速度v和路程OE即可【自主解答】解：(1)BOC30°，CBO60°，BCO90°，BCOB·cos 60°120×60(km)，快艇从港口B到小岛C需要的时间为1(h)(2)过点C作CDOA，设相遇处为点E.则OCOB·cos 30°60(km)，CDOC30(km)，ODOC·cos 30°90(km)分两种情况：当点E在线段OD上时，如图，DE(903v)km，CE60 km，CD2DE2CE2，(30)2(903v)2602，v20或v40.903v
8、>0，v20.当点E在射线DA上时，如图，DE(3v90)km，CE60 km，CD2DE2CE2，(30)2(3v90)2602，v20或v40.3v90>0，v40.当v20 km/h时，OE3×2060(km)；当v40 km/h时，OE3×40120(km)规律方法：解决此类问题的关键在于将斜三角形转化为直角三角形，而转化的关键是作出三角形的某一条高.【能力评估检测】一、选择题1如图，在ABC中，B46°，C54°， AD平分BAC，交BC于点D，DEAB，交AC于点E，则ADE的大小是( C )A45° B54°
9、 C40° D50°2已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x212x350的根，则该三角形的周长是( B )A14 B12C12或14 D以上都不对3如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在( A )AABC三边垂直平分线的交点BABC三条角平分线的交点CABC三条高所在直线的交点DABC三条中线的交点4如图，在ABC中，B30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分ACB，若BE2，则AE的长为( B )A. B1 C. D25.如图
10、，在RtABC中，C90°，A30°，E为线段AB上一点，且AEEB41，EFAC于点F，连结FB，则tanCFB的值等于( C )A. B. C. D56.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2海里的点A处如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，海轮航行的距离AB长是( C )A2海里 B2 sin 55°海里C2cos 55°海里 D2tan 55°海里7如图，ABC中，ABAC18，BC12.正方形DEFG的顶点E，F在ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，ADAG，DG6，则点F到BC的距离为( )A1
11、 B2 C126 D66【解析】如图，过点A作AHBC于点H，交DG于点I，BHBC6，在RtABH中，AH12，易知D，G分别是AB，AC的中点，则I为AH的中点，IH6，DGBC6，则正方形DGFE的边长FG6，于是点F到BC的距离66.故选D.答案: D8如图，在钝角三角形ABC中，AB6 cm，AC12 cm，动点D从A点出发到B点停止，动点E从C点出发到A点停止点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是( )A3 s或4.8 s B3 sC4.5 s D4.5 s或4.8 s【解析】根据
12、题意，设当以点A，D，E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是x s，若ADEABC，则，解得x3；若ADEACB，则，解得 x4.8.当以点A，D，E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是3 s或4.8 s故选A.答案: A二、填空题9如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，DE垂直平分AB，已知ADE40°，则DBC15 °.10如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BFa于点F，DEa于点E，若DE8，BF5，则EF的长为13.11如图，已知ACBD，要使ABCDCB，则只需添加一个适当的条件是答案不唯一，如ABCD或ACBDBC(填
13、一个即可)12如图，在ABC中，AB5，AC3，AD，AE分别为ABC的中线和角平分线，过点C作CHAE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为 .【解析】在ABC中，AE为ABC的角平分线，CHAE，AFHACH.AFAC3.AB5，BF2.AFAC，CHAE，FHHC.AD为ABC的中线，DH为CBF的中位线，DHBF1.答案: 1三、解答题13已知ABC，ABAC，将ABC沿BC方向平移得到DEF.(1)如图，连结BD，AF，则BD_AF(填“”“”或“”) 图 (2)如图，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连结BH，GF.求证
14、：BHGF. 图(1)解：(2)证明：如图，将DEF沿FE方向平移，使点E与点C重合，设ED平移后与MN相交于R.MNBC，RCEH，GRCRHEDEF，RGCGCB. GRCRGC，CGCR.又MNBF，CREH，CREH.CGEH.由平移的性质得BCEF，BCCECEEF，即BECF.又HEB GCF，BEHFCG(SAS)，BHFG.14如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80 cm，AO与地面垂直现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA处求调整后点A比调整前点A的高度降低了多少厘米？(结果取整数)(参考数据：sin 35°0.
15、57，cos 35°0.82， tan 35°0.70)解：如图，过点A作AHOA于点H，由旋转可知，OAOA80 cm，在RtOAH中，OHOAcos 35°80×0.8265.6(cm)AHOAOH8065.614.414(cm)答：调整后点A比调整前点A的高度降低了14 cm.15如图，在菱形ABCD中，AB4，BAD120°，AEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合(1)证明：不论E，F在BC，CD上如何滑动，总有BECF；(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的
16、面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值(1)证明：如图，连结AC，在菱形ABCD中，BAD120°，BAC60°，B60°.ABC是正三角形，ABAC.又AEF为正三角形，EAF60°，AEAF，而BAC60°，BAECAF.ABE ACF.BECF.(2)解：当点E，F在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积不发生变化，其值为4.理由如下：由(1)知，SABESACF.S四边形AECFSAEC SACFSAEC SABE SABC×4×4×sin 60°4.CEF的面积发生变化，其最大值为.SCEFS四边形AECFSAEF4×AE2，当AEBC时，AE的长最小，最小值为AB·sin 60°，即AE4×2，SCEF的最大值为4×(2)2.