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1、专题三专题三 函数及其图象函数及其图象 【专题分析】【专题分析】 本专题在中考中的常考点有点的坐标的特征，对称变换和平移变换中坐标本专题在中考中的常考点有点的坐标的特征，对称变换和平移变换中坐标的特征；求函数自变量的取值范围，函数图象的信息；一次函数解析式的确定，的特征；求函数自变量的取值范围，函数图象的信息；一次函数解析式的确定，一次函数的图象与性质，一次函数的应用；反比例函数的图象和性质，反比例一次函数的图象与性质，一次函数的应用；反比例函数的图象和性质，反比例函数中函数中k k的几何意义；确定抛物线的顶点坐标及对称轴，二次函数解析式的确的几何意义；确定抛物线的顶点坐标及对称轴，二次函数解
2、析式的确定，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，二次函数图象与系数的关定，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程、不等式的关系，二次函数的应用等系，二次函数与方程、不等式的关系，二次函数的应用等 函数及其图象在中考中一般以客观题进行考查， 根据函数的性质写出函数解函数及其图象在中考中一般以客观题进行考查， 根据函数的性质写出函数解析式一般以开放题形析式一般以开放题形式进行考查；函数及其图象在中考中考查题型多样，对图式进行考查；函数及其图象在中考中考查题型多样，对图象与性质的考查一般以选择题、填空题进行考查，函数的应用一般以解答题进象与性质的考查
3、一般以选择题、填空题进行考查，函数的应用一般以解答题进行考查，特别是对二次函数的考查常以压轴题的形式出现；本专题在中考中所行考查，特别是对二次函数的考查常以压轴题的形式出现；本专题在中考中所占比重约为占比重约为 18%18%25%.25%. 【解题方法】【解题方法】 解决函数及其图象问题常用的数学思想有数形结合思想，转化思想和分类解决函数及其图象问题常用的数学思想有数形结合思想，转化思想和分类讨论思想等；常用的方法有待定系数法，特殊值法，观察法，比较法，分析法讨论思想等；常用的方法有待定系数法，特殊值法，观察法，比较法，分析法和综合法等和综合法等. . 【知识结构】【知识结构】 【典例精选】
4、：【典例精选】 ： 已知点已知点P P( (a a1,21,2a a3)3)关于关于x x轴的对称点在第一象限，则轴的对称点在第一象限，则a a的取值范的取值范围是围是( ( B B ) ) A. A. a a 1 B. 1 B. 11a a 3 32 2 C. C. 3 32 2 a a1 D. 3 32 2 【思路点拨】【思路点拨】由题意得出点由题意得出点P P所在的象限，然后根据每个象限内点的坐标所在的象限，然后根据每个象限内点的坐标特征，求出特征，求出a a的范围的范围 规律方法：规律方法： 根据点所在的位置与平面内点的特征可得关于未知字母的不等式或不等式根据点所在的位置与平面内点的特
5、征可得关于未知字母的不等式或不等式组，解不等式组，解不等式组组即可得出参数的取值范围即可得出参数的取值范围. . 二次函数二次函数y yaxax2 2bxbxc c的图象在平面的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示， 则一直角坐标系中的位置如图所示， 则一次函数次函数y yaxaxb b与反比例函数与反比例函数y yc cx x在同一平面直角坐标系中的图象可能是在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ( ) ) 【思路点拨】【思路点拨】先由二次函数的图象判断出先由二次函数的图象判断出a a，b b，c c的符号，然后根据反比的符号，然后根据反比例函数图象与一次函数图象的特征得出答案例函数图象与一
6、次函数图象的特征得出答案 答案：答案：C C 规律方法：规律方法： 解决此类问题，首先要根据已知函数的图象确定各系数的范围，然后根据解决此类问题，首先要根据已知函数的图象确定各系数的范围，然后根据相关系数的范围确定未知函数的图象所在的位置相关系数的范围确定未知函数的图象所在的位置. . 如图，如图，A A、B B是双曲线是双曲线y yk kx x上的两点，过上的两点，过A A点作点作ACACx x轴，交轴，交OBOB于于D D点，点，垂足为垂足为C C. .若若ADOADO的面积的面积为为 1 1，D D为为OBOB的中点，则的中点，则k k的值为的值为( ( ) ) A.A. 4 43 3
7、B.B. 8 83 3 C C3 3 D D4 4 【思路点拨】【思路点拨】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合应用过点本题主要考查反比例函数与几何图形的综合应用过点B B作作BEBEx x轴于点轴于点E E，根据，根据D D为为OBOB的中点可知的中点可知CDCD是是OBEOBE的中位线，即的中位线，即CDCD1 12 2BEBE，设设A A x x，k kx x，则，则B B 2 2x x，k k2 2x x，故，故CDCDk k4 4x x，ADADk kx xk k4 4x x，再由，再由ADOADO的面积为的面积为 1 1 求出求出k k的值即可得出结论的值即可得出结论 【解析】【
8、解析】如图，过点如图，过点B B作作BEBEx x轴于轴于E E，D D为为OBOB的中点，的中点，CDCD是是OBEOBE的中位线，即的中位线，即CDCD1 12 2BEBE. . 设设A A x x，k kx x，则，则B B 2 2x x，k k2 2x x，CDCDk k4 4x x，ADADk kx xk k4 4x x. . ADOADO的面积为的面积为 1 1， 1 12 2ADADOCOC1 1，1 12 2 k kx xk k4 4x xx x1 1，解得，解得k k8 83 3， 故选故选 B.B. 答案：答案：B B 复习课中， 教师给出关于复习课中， 教师给出关于x x
9、的函数的函数y y2 2kxkx2 2 ( (4 4k k1 1) )x xk k1 1( (k k是实数是实数) ) 教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论( (性质性质) )写到黑板写到黑板上上 学生思考后，黑板上出现了一些结论教师作为活动一员，又补充一些结学生思考后，黑板上出现了一些结论教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：论，并从中选择如下四条： 存在函数，其图象经过存在函数，其图象经过( (1,01,0) )点；点； 函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；函数图象与坐标轴总有三个不同的交点； 当当x x11
10、时，不是时，不是y y随随x x的增大而增大就是的增大而增大就是y y随随x x的增大而减小；的增大而减小； 若函数有最大值，则最大值必为正数；若函数有最小值，则最小值必若函数有最大值，则最大值必为正数；若函数有最小值，则最小值必为为负数负数 教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由最后简单写出解决问教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由最后简单写出解决问题时所用的数学方法题时所用的数学方法 【思路点拨】【思路点拨】本题考查一次函数、二次函数的图象及性质，注意举反例、本题考查一次函数、二次函数的图象及性质，注意举反例、综合配方、数形结合及分类讨论思想的应用综合配方、数形结合及分类讨论
11、思想的应用 【自主解答】【自主解答】 解：解：正确当正确当x x1 1 时，时，y y3 3k k，取，取k k0 0，得，得y y0 0，即存在函数，即存在函数y yx x1 1，其图象经过，其图象经过(1,0)(1,0)点点 错误 取错误 取k k1 1， 函数， 函数y y2 2x x2 25 5x x的图象与坐标轴的交点仅有的图象与坐标轴的交点仅有(0,0)(0,0)和和 5 52 2，0 0两点或取两点或取k k0 0，函数，函数y yx x1 1 的图象与坐标轴的交点仅有的图象与坐标轴的交点仅有(0,1)(0,1)和和(1,0)(1,0)两两点所以结论点所以结论错误错误 错误当错误
12、当k k00 时，抛物线开口向上，且对称轴是直线时，抛物线开口向上，且对称轴是直线x x1 11 14 4k k. .因为因为 1 11 14 4k k11，所以当，所以当 11x x1111 14 4k k时，时，y y随随x x的增的增大而增大所以结论大而增大所以结论错误错误 正确当正确当k k00 时，函数有最大或最小值，此时时，函数有最大或最小值，此时y y2 2k k x x 1 11 14 4k k2 2 3 3k k1 18 8k k. .若若k k00，则抛物线开口向上，当，则抛物线开口向上，当x x 1 11 14 4k k时，时，y y最小值最小值 3 3k k1 18 8
13、k k. .因因为为 3 3k k1 18 8k k00，所以，所以y y最小值最小值0.0.若若k k000，所以，所以y y最大值最大值0.0.解题时用到的数学方法有解题时用到的数学方法有分类讨论和数形结合分类讨论和数形结合 如图，在平面直角坐标系中，抛物线如图，在平面直角坐标系中，抛物线y y2 23 3x x2 2bxbxc c，经过，经过A A( (0 0，4 4) )，B B( (x x1,1,0 0) )，C C( (x x2,2,0 0) )三点，且三点，且| |x x2 2x x1 1| |5.5. ( (1 1) )求求b b，c c的值；的值； ( (2 2) )在抛物线
14、上求一点在抛物线上求一点D D，使得四边形，使得四边形BDCEBDCE是以是以BCBC为对角线的菱形；为对角线的菱形； ( (3 3) )在抛物线上是否存在一点在抛物线上是否存在一点P P， 使得四边形， 使得四边形BPOHBPOH是以是以OBOB为对角线的菱形？为对角线的菱形？若存在，求出点若存在，求出点P P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由理由 【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)把把A A(0(0，4)4)代入可求代入可求c c，运用两根关系及，运用两根关系及| |x x2 2x x1 1| |5 5，对式子合理
15、变形，求对式子合理变形，求b b；(2)(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上， 满足条件的条对角线必在抛物线的对称轴上， 满足条件的D D点， 就是抛物线的顶点；点， 就是抛物线的顶点； ( (3)3)由四边形由四边形BPOHBPOH是以是以OBOB为对角线的菱形，可得为对角线的菱形，可得PHPH垂直平分垂直平分OBOB，求出，求出OBOB的中点的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OBOB的长度关系，判的长度关系，判断是否为正方形即可断
16、是否为正方形即可 【自主解答】【自主解答】 解：解：(1)(1)抛物线抛物线y y2 23 3x x2 2bxbxc c经过点经过点A A(0(0，4)4)， c c4.4.又由题意可知，又由题意可知，x x1 1，x x2 2是方程是方程2 23 3x x2 2bxbx4 40 0 的两个根，的两个根，x x1 1x x2 23 32 2b b( (b b0)0)，x x1 1x x2 26.6. 由已知得由已知得( (x x2 2x x1 1) )2 22525，又，又( (x x2 2x x1 1) )2 2( (x x2 2x x1 1) )2 24 4x x1 1x x2 29 94
17、 4b b2 22424，9 94 4b b2 224242525，解得，解得b b14143 3. . (2)(2)四边形四边形BDCEBDCE是以是以BCBC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D D必在抛必在抛物线的对称轴上，物线的对称轴上， 又又y y2 23 3x x2 214143 3x x4 42 23 3 x x7 72 22 225256 6， 抛物线的顶点抛物线的顶点 7 72 2，25256 6即为所求的点即为所求的点D D. . (3)(3)四边形四边形BPOHBPOH是以是以OBOB为对角线的菱形，点为对角线的菱形，点B B的坐标为的坐
18、标为( (6,0)6,0)，根据，根据菱形的性质，点菱形的性质，点P P必是直线必是直线x x3 3 与抛物线与抛物线y y2 23 3x x2 214143 3x x4 4 的交点，的交点， 当当x x3 3 时，时，y y2 23 3(3)3)2 214143 3(3)3)4 44.4. 在抛物线上存在一点在抛物线上存在一点P P( (3,4)3,4)，使得四边形，使得四边形BPOHBPOH为菱形为菱形 四边形四边形BPOHBPOH不能成为正方形，不能成为正方形，如果四边形如果四边形BPOHBPOH为正为正方形，点方形，点P P的坐标的坐标只能是只能是( (3,3)3,3)，但这一点不在抛
19、物线上，但这一点不在抛物线上 规律方法：规律方法： 解决存在性问题的一般思路：先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设解决存在性问题的一般思路：先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件和隐含条件进行计算、推理，再对所得出的结论进行分析出发，结合已知条件和隐含条件进行计算、推理，再对所得出的结论进行分析检验，判断是否与题设、公理、定理等吻合；若无矛盾，说明假设正确；否则，检验，判断是否与题设、公理、定理等吻合；若无矛盾，说明假设正确；否则，说明不存在说明不存在. . 【能力评估检测】【能力评估检测】 一、选择题一、选择题 1 1函数函数y y 5 5x x1 1x x3 3的自变量
20、的自变量x x的取值范围是的取值范围是( ( D D ) ) A Ax x5 5 B Bx x3 3 C Cx x5 5 D Dx x55 或或x x33 2 2把抛物线把抛物线y y1 12 2x x2 21 1 先向右平移先向右平移 1 1 个单位，再向下平移个单位，再向下平移 2 2 个单位，得到个单位，得到的抛物线的解析式为的抛物线的解析式为( ( B B ) ) A Ay y1 12 2( (x x1)1)2 23 3 B By y1 12 2( (x x1)1)2 23 3 C Cy y1 12 2( (x x1)1)2 21 1 D Dy y1 12 2( (x x1)1)2 2
21、1 1 3 3 设点 设点A A( (x x1 1，y y1 1) )和和B B( (x x2 2，y y2 2) )是反比例函数是反比例函数y yk kx x图象上的两个点， 当图象上的两个点， 当x x1 1 x x2 200时，时，y y1 1 y y2 2，则，则一次函数一次函数y y2 2x xk k的图象不经过的象限是的图象不经过的象限是( ( A A ) ) A A第一象限第一象限 B B第二象限第二象限 C C第三象限第三象限 D D第四象限第四象限 4 4货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽
22、车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距 180180 千千米，货车的速度为米，货车的速度为 6060 千米千米/ /时，小汽车的速度为时，小汽车的速度为 9090 千米千米/ /时，时， 则下图中能分别反映出货车、 小汽车离乙地的距离则下图中能分别反映出货车、 小汽车离乙地的距离y y( (千米千米) )与各自行驶时间与各自行驶时间t t( (小时小时) )之间的函数图象是之间的函数图象是( ( ) ) 【解析】【解析】由题意得出发前都距离乙地由题意得出发前都距离乙地 180180 千米，出发千米，出发 2
23、 2 小时小汽车到达乙小时小汽车到达乙地距离变为地距离变为 0 0， 再经过， 再经过 2 2 小时小汽车又返回甲地距离又为小时小汽车又返回甲地距离又为 180180 千米， 经过千米， 经过 3 3 小时，小时，货车到达乙地距离变为货车到达乙地距离变为 0 0，故，故 C C 符合题意故选符合题意故选 C.C. 答案答案: : C C 5 5如图，一次函数如图，一次函数y y1 1x x与二次函数与二次函数y y2 2axax2 2bxbxc c的图的图象相交于象相交于P P，Q Q两点，则函数两点，则函数y yaxax2 2( (b b1)1)x xc c的图象可能的图象可能为为( ( )
24、 ) 【解析】【解析】由一次函数由一次函数y y1 1x x与二次函数与二次函数y y2 2axax2 2bxbxc c的图象有两个交点，的图象有两个交点，且都在第一象限，可知一元二次方程且都在第一象限，可知一元二次方程axax2 2bxbxc cx x，即，即axax2 2( (b b1)1)x xc c0 0 有有两个不相等的正实数根，所以函数两个不相等的正实数根，所以函数y yaxax2 2( (b b1)1)x xc c的图象与的图象与x x轴正半轴有轴正半轴有两个不同的交点，故选项两个不同的交点，故选项 A A 符合题意符合题意 答案答案: : A A 6 6 如图， 如图，ADAD
25、，BCBC是是O O的两条互相垂直的直径， 点的两条互相垂直的直径， 点P P从点从点O O出发， 沿出发， 沿O OC CD DO O的路线匀速运动，设的路线匀速运动，设APBAPBy y( (单位：度单位：度) )，那么，那么y y与点与点P P运动的时间运动的时间x x( (单位：单位：秒秒) )的关系图是的关系图是( ( ) ) 【解析】【解析】 当点当点P P由点由点O O向点向点C C运动时，运动时， APBAPB的度数由的度数由 9090匀速减小到匀速减小到 4545；当点当点P P在在CDCD上运动时，上运动时，APBAPB的度的度数一直等于数一直等于 4545，保持不变；当点
26、，保持不变；当点P P由点由点D D向点向点O O运动时，运动时，APBAPB的度数由的度数由 4545匀速增大到匀速增大到 90.90.故选项故选项 B B 符合题意符合题意 答案答案: : B B 7 7 将抛物线 将抛物线y yx x2 22 2x x3 3 在在x x轴上方的部分沿轴上方的部分沿x x轴翻折至轴翻折至x x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y yx xb b与此新图象的交点个数的情况有与此新图象的交点个数的情况有( ( ) ) A A6 6 种种 B B5 5 种种 C C4 4 种种 D
27、 D3 3 种种 【解析】【解析】如图，由题意画出函数图象，依次移动直线如图，由题意画出函数图象，依次移动直线y yx xb b，即可得直线，即可得直线与新图象交点个数的情况故选与新图象交点个数的情况故选 B.B. 答案答案: : B B 8 8如如图，点图，点A A( (a,a,1)1)， B B( (1 1，b b) )都在双曲线都在双曲线y y3 3x x( (x x0)0)上，点上，点P P，Q Q分分别是别是x x轴、轴、y y轴上的动点，当四边形轴上的动点，当四边形PABQPABQ的周长取最小值时，的周长取最小值时，PQPQ所在直线的解所在直线的解析式是析式是( ( ) ) A A
28、y yx x B By yx x1 1 C Cy yx x2 2 D Dy yx x3 3 【解析】【解析】分别把点分别把点A A( (a,a,1)1)，B B( (1 1，b b) )代入双曲线代入双曲线y y3 3x x( (x x0)0)， 得， 得a a3 3，b b3 3， 则点， 则点A A的坐标为的坐标为( (3,1)3,1)，点点B B的坐标为的坐标为( (1,3)1,3)，如图，作点，如图，作点A A关于关于x x轴的对称点轴的对称点C C， 作点， 作点B B关于关于y y轴的对称点轴的对称点D D， 所以点， 所以点C C的坐标为的坐标为( (3 3，1)1)，点，点D
29、D的坐标为的坐标为(1,3)(1,3) 连结连结CDCD分别交分别交x x轴、轴、y y轴于点轴于点P P，Q Q，此时四边形，此时四边形PABQPABQ的周长最小，设直线的周长最小，设直线CDCD的的解析式为解析式为y ykxkxb b，把，把C C( (3 3，1)1)，D D(1,3)(1,3)分别代入，得分别代入，得 3 3k kb b1 1，k kb b3 3，解解得得 k k1 1，b b2 2，所以直线所以直线CDCD的解析式为的解析式为y yx x2.2.故选故选 C C. . 答案答案: : C C 9 9已知二次函数已知二次函数y yaxax2 2bxbxc c的图象如图所
30、示，记的图象如图所示，记m m| |a ab bc c| | |2 2a ab bc c| |，n n| |a ab bc c| | |2|2a ab bc c| |，则下列选项正确，则下列选项正确的是的是( ( ) ) A Am m n n C Cm mn n D Dm m，n n的大小关系不能确定的大小关系不能确定 【解析】【解析】由图象知，由图象知，a a000，c c0.0.当当x x1 1 时，时，y y00，即，即a ab bc c00，a ab b00；当；当x x2 2 时，时，y y00，即，即 4 4a a2 2b bc c00，22a ab b00；当；当x x1 1 时
31、，时，y y00，即，即a ab bc c00，a ab b00；当；当x x2 2 时，时，y y00，即，即 4 4a a2 2b bc c00，22a ab b0.0. m mn n| |a ab bc c| |2|2a ab bc c| | |a ab bc c| |2|2a ab bc c| | |a ab b| |2|2a ab b| | |a ab b| |2|2a ab b| |a ab b2 2a ab ba ab b2 2a ab b2 2a a00，m m n n，故，故 A A 正正确确 答案答案: : A A 1010 方程 方程x x2 23 3x x1 10 0
32、的根可视为函数的根可视为函数y yx x3 3 的图的图象与函数象与函数y y1 1x x的图象交点的横坐标， 则方程的图象交点的横坐标， 则方程x x3 32 2x x1 10 0的实根的实根x x0 0所在的范围是所在的范围是( ( ) ) A A00 x x0 0 1 14 4 B.B. 1 14 4 x x0 0 1 13 3 C.C. 1 13 3 x x0 0 1 12 2 D.D. 1 12 2 x x0 010)0)的图象与反比例函数的图象与反比例函数y y2 2k kx x( (k k0)0)的图的图象交于点象交于点A A( (n,n,4)4)和点和点B B，AMAMy y轴
33、，垂足为轴，垂足为M M，若，若AMBAMB的面积为的面积为 8 8，则满足，则满足y y1 1 y y2 2的实数的实数x x的取值范围是的取值范围是 . . 【解析】【解析】根据题意，点根据题意，点A A，B B关于原点关于原点O O对称，对称， OAOAOBOB，S SABMABM2 2S SAOMAOM8 8，S SAOMAOM4.4. 又又A A( (n,n,4)4)， 1 12 244n n4 4， n n2 2， A A(2,4)(2,4) 根据对称性知点根据对称性知点B B的坐标为的坐标为( (2 2，4)4)，根，根据图象可知满足据图象可知满足y y1 1 y y2 2的实数
34、的实数x x的取值范围是的取值范围是22x x02.2. 答案答案: : 22x x022 1313若根式若根式1 12 22 2k k有意义，则双曲线有意义，则双曲线y y2 2k k2 2x x与抛物线与抛物线y yx x2 22 2x x2 22 2k k的交点在第的交点在第二二象限象限 三、解答题三、解答题 1414如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12 m12 m，宽是，宽是4 m4 m按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y y1 16 6x x2 2bxbxc c表示，且抛表
35、示，且抛物线上的点物线上的点C C到墙面到墙面OBOB的水平距离为的水平距离为 3 m3 m，到地面，到地面OAOA的距离为的距离为17172 2 m.m. (1)(1)求该抛物线的函数解析式，并求该抛物线的函数解析式，并计算出拱顶计算出拱顶D D到地面到地面OAOA的距离；的距离； (2)(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m6 m，宽为宽为 4 m4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？能否安全通过？ (3)(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯在抛物线型拱壁上
36、需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过离地面的高度不超过 8 m8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 解：解：(1)(1)根据题意，得根据题意，得B B(0,4)(0,4)，C C 3 3，17172 2，把把B B(0,4)(0,4)，C C 3 3，17172 2代入代入y y1 16 6x x2 2bxbxc c，得，得 c c4 4，1 16 6332 23 3b bc c17172 2，解得解得 b b2 2，c c4.4.该抛物线的函数解析式该抛物线的函数解析式为为y y1 16 6x x2 22 2x x4(04
37、(0 x x12)12)，则，则y y1 16 6( (x x6)6)2 210.10.点点D D的坐标为的坐标为(6,10)(6,10) 拱顶拱顶D D到地面到地面OAOA的距离为的距离为 10 m.10 m. (2)(2)由题意得货运汽车由题意得货运汽车最外侧与地面最外侧与地面OAOA的交点为的交点为(2,0)(2,0)或或(10,0)(10,0)，当，当x x2 2或或x x1010 时，时，y y22223 36 6， 这辆货车能安全通过这辆货车能安全通过 (3)(3)令令y y8 8，则，则1 16 6( (x x6)6)2 210108 8，解得，解得x x1 16 62 2 3
38、3，x x2 26 62 2 3 3，则，则x x1 1x x2 24 4 3 3， 两排灯的水平距离最小是两排灯的水平距离最小是 4 4 3 3 m.m. 1515如图如图，在平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOyxOy中，点中，点M M为抛物线为抛物线y yx x2 22 2nxnxn n2 22 2n n的顶点过点的顶点过点(0,4)(0,4)作作x x轴的平行线，交抛物线于点轴的平行线，交抛物线于点P P，Q Q( (点点P P在点在点Q Q 的左侧的左侧) )，PQPQ4.4. (1)(1)求抛物线的函数解析式，并写出点求抛物线的函数解析式，并写出点P P的坐标；的坐标； (2)(2
39、)小丽发现：将抛物线小丽发现：将抛物线y yx x2 22 2nxnxn n2 22 2n n绕着绕着点点P P旋转旋转 180180，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O O. .你认为正确吗？请说明理由；你认为正确吗？请说明理由； (3)(3)如图如图， 已知点， 已知点A A(1,0)(1,0)， 以， 以PAPA为边作矩为边作矩形形PABCPABC( (点点P P，A A，B B，C C按顺时针的方向排列按顺时针的方向排列) )，PAPAABAB1 1t t. . 写出写出C C点的坐标：点的坐标：C C ( ( , , ) ) ( (坐标用含有坐标用含有t
40、 t的代数式表示的代数式表示) )； 若点若点C C在题在题(2)(2)中旋转后中旋转后 的新抛物的新抛物线上，求线上，求t t的值的值 解：解：(1)(1)y yx x2 22 2nxnxn n2 22 2n n( (x xn n) )2 22 2n n， 点点M M( (n,n,2 2n n) ) 根据抛物线的对称性可设根据抛物线的对称性可设P P( (n n2,4)2,4)，Q Q( (n n2,4)2,4)， 把点把点P P( (n n2,4)2,4)代入抛物线代入抛物线y y( (x xn n) )2 22 2n n， 得得( (n n2 2n n) )2 22 2n n4 4，解得
41、，解得n n4.4. 抛物线的函数解析式为抛物线的函数解析式为y yx x2 28 8x x8 8， 点点P P(2,4)(2,4) (2)(2)小丽的发现是正确的理由如下：小丽的发现是正确的理由如下： 抛物线的函数关系式为抛物线的函数关系式为y yx x2 28 8x x8 8， 点点M M(4,8)(4,8)，直线直线OMOM的解析式为的解析式为y y2 2x x. . 把点把点P P(2,4)(2,4)代入代入y y2 2x x，可知点，可知点P P在直线在直线OMOM上上 M M(4,8)(4,8)，P P(2,4)(2,4)， 由勾股定理，得由勾股定理，得OMOM4 4 5 5，OP
42、OP2 2 5 5， OMOM2 2OPOP，点点P P是线段是线段OMOM的中点，的中点， 将抛物线将抛物线y yx x2 28 8x x8 8 绕着点绕着点P P旋转旋转 180180，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O O. . (3)(3)如图，过点如图，过点C C作作CDCDx x轴于点轴于点D D，过点，过点P P作作PEPE x x轴于点轴于点E E，PFPFCDCD于点于点F F，易证，易证PAEPAEPCFPCF. . PAPAABAB1 1t t，ABABPCPC，PAPAPCPC1 1t t. .PAPAPCPCPEPEPFPFAEAECFCF
43、1 1t t. .设设点点C C( (x x，y y) )，则，则PFPF2 2x x，CFCFy y4 4，4 42 2x x1 1y y4 41 1t t， x x2 24 4t t，y y4 4t t，点点C C(2(24 4t,t,4 4t t) ) 旋转后的新抛物线的顶点为原点，且过点旋转后的新抛物线的顶点为原点，且过点P P(2,4)(2,4)， 新抛物线的解析式为新抛物线的解析式为y yx x2 2. . 把点把点C C(2(24 4t,t,4 4t t) )代入代入y yx x2 2，得，得 4 4t t(2(24 4t t) )2 2，解得，解得t t0(0(舍去舍去) )或或t t17171616.t t的值为的值为17171616. .