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1、第1课时用空间向量研究距离问题基础巩固1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BC=a,AA1=2a,则点D1到直线AC的距离为()A.3aB.3a2C.22a3D.32a22.在三棱锥O-ABC中,OAOB,OBOC,OCOA.若OA=1,OB=2,OC=2,则点A到直线BC的距离为()A.2B.3C.5D.33.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为()A.12B.22C.13D.324.在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1).已知点P(-1,3,2),则点P到平面O
2、AB的距离d=. 5.如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AEB是等腰直角三角形,其中AEB=90°,则点D到平面ACE的距离是. 6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别为AB,CC1的中点,则点D到直线GF的距离为. 7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,BC=4,BB1=3,求点B1到平面A1BC1的距离.能力提升1.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=3,在ABC中,ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为()A
3、.32B.22C.12D.12.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A平面ABCD,AA1=3,底面是边长为4,且DAB=60°的菱形,ACBD=O,A1C1B1D1=O1,E为O1A的中点,则点E到平面O1BC的距离为()A.2B.1C.32D.33.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,在CD上截取CE=4,将BCE沿BE折起成BC1E,且使BC1E的高C1F平面ABCD,则点C1到直线AB的距离为. 4.在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,ABC=4,OA底面ABCD,OA=2,则点B到平面OCD的距离为. 5.如图,在四棱锥P
4、-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,BAD=ABC=90°,PA=AD=2,AB=BC=1.在线段PA上是否存在一点M,使其到平面PCD的距离为33?若存在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由.参考答案基础巩固1. D2. B3. D4. 25.2336. 27.解:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A1(4,0,3),B1(4,6,3),B(4,6,0),C1(0,6,3),所以A1C1=(-4,6,0),A1B=(0,6,-3),A1B1=(0,6,0).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),
5、则n·A1C1=0,n·A1B=0,即-4x+6y=0,6y-3z=0.令x=3,则y=2,z=4.所以n=(3,2,4)为平面A1BC1的一个法向量.所以点B1到平面A1BC1的距离d=|A1B1·n|n|=122929.能力提升1. A2. C3. 234.235.解:如图,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则P(0,0,2),C(1,1,0),D(0,2,0),所以PC=(1,1,-2),PD=(0,2,-2).假设线段PA上存在点M满足题意,设M(0,0,z0),0z02,平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n·PC=0,n·PD=0,即x+y-2z=0,2y-2z=0,所以x=z,y=z.取z=1,则x=1,y=1.所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.又MP=(0,0,2-z0),所以点M到平面PCD的距离d=|MP·n|n|=33(2-z0).由33(2-z0)=33,可得z0=1.所以点M的坐标为(0,0,1),此时M为线段PA的中点.故当M为线段PA的中点时,点M到平面PCD的距离为33.