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1、 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题一、 教学内容1. 利用空间向量解决立体几何中的点到直线、两平行直线、点到平面、两个平行平面距离问题。2. 利用空间向量解决立体几何中的直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角问题。二、教学目标1. 能利用投影向量得到点到直线的距离公式、点到平面的距离公式。会用转化的思想把立体几何中其它距离问题转化为点到直线的距离或点到平面的距离.2. 能用向量方法解决点到直线、平行线间、点到平面、直线到平面（直线与平面平行）、平行平面间的距离问题3.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成角.4.理解直线与平面所成角
2、与直线的方向向量和平面的法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成角.5.理解两个平面的夹角大小与两个平面法向量夹角之间关系，会用向量方法求两个平面的夹角大小.6.让学生体验向量方法在解决立体几何问题中的作用.提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.三、教学重点与难点教学重点：1.利用投影向量推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式.2.利用向量的数量积研究两条直线所成的角、直线与平面所成角、两个平面的夹角.教学难点：1.利用投影向量统一研究空间距离问题.2.根据问题的条件选择适当的基底.四、教学过程设计（一）知识回顾1.立体几何中距离问题有点到直线、两平行直线、点到平面、两个
3、平行平面距离问题，角度问题有直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角2.复习投影向量如图，在空间中任取一点，作，xOO.（1）向量方向上的单位向量（2）过点作垂直于直线，垂足为，向量为向量在向量方向上的投影向量；（3）可以用单位向量表示向量在向量方向上的投影向量及投影向量的模，即，.（二）新课讲授1.公式的推导探究一：已知直线的单位方向向量，是直线上的定点，P是直线外一点. 如何利用这些条件求点到直线的距离？ 如图，设，则向量在直线上的投影向量.在中，由勾股定理，得.注意：（1）若与直线垂直，点到直线的距离还等于，若与直线垂直，则，.（2）在立体几何图形中求解距离的问题时，已知
4、条件中一般只会给出点以及直线，点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度不会随着点的变化而变化，故点可以是直线上的任意一点.（3）求解距离的过程中不需要确定垂线段的垂足，只需要参考向量和直线的单位方向向量， 代入公式求出点到线的距离.思考：类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行线间的距离？在其中一条直线上任取一点，将求两条平行直线之间的距离转化为求点到另一条直线的距离.探究二：已知平面的法向量为,是平面内的定点，是平面外一点.过点作出平面的垂线，交平面于点.类比点到直线距离的研究过程，如何用向量表示？如图,向量在直线上的投影向量是，且.点到平面的距离 .注意：（1）点可以是平面内的任意一点.不
5、需要找出点在平面内的投影以及垂线段.（2）求出平面的法向量（3）代入公式求出点求解点到平面距离思考：如果直线与平面平行，如何求直线与平面的距离？如何求两平行平面之间的距离？先证明直线与平面平行或面面平行，再转化为点到平面的距离.2.应用公式，解决立体几何中距离问题例6 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.(1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离.解：以为原点， ，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，,.（1） 取，则 ，所以，点到直线的距离为(2) 因为，所以，又面，面， 所以平面，所以点到平面的距离，即为直线到平面的距离设平面的法向量为，
6、则 所以 所以 取，则，,所以，是平面的一个法向量,又因为，所以点到平面的距离为 ,即直线到平面的距离为小结求两种距离的步骤点到直线的距离 ：第一步：建系，在直线上任取一点 (注：选择特殊便于计算的点)，求“参考向量(或)”的坐标. 第二步： 依据图形先求出直线的单位方向向量.第三步：代入公式求解.点到面的距离 :第一步：建系，选择“参考向量”； 第二步：确定平面的法向量；第三步： 代入公式求值.3. 小结我们用类比和转化的研究方法，把要解决的五个距离问题转化为两个距离问题，几何问题转化为向量问题，求解距离转化为向量运算，在此过程中提升直观想象、数学运算和逻辑推理等数学学科核心素养与用平面向量
7、解决平面几何问题的 “三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的 “三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.4.求解直线与直线所成的角与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势.下面我们用空间向量研究夹角问题。例7 如图1.4-19，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，
8、分别为的中点，求直线和夹角的余弦值.解题分析：（1）用向量方法求解几何问题时，首先要用向量表示问题中的几何元素.对于本问题，如何用向量表示异面直线和？它们所成的角可以用向量之间的夹角表示吗？（2）这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？ 解题策略（1）已知正四面体的棱长和棱与棱之间夹角，选择为基底并表示向量，.求异面直线和的夹角时，只要用基底向量表示它们的方向即可，这样，异面直线和的夹角，可以转化为求向量与向量的夹角.（2）通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题.实际上，空间直角
9、坐标系也是基底，是“特殊”的基底.下面是利用基底向量解答过程解：化为向量问题以为基底，则，设向量夹角为，则直线和夹角的余弦值为.进行向量运算 ，而都是正三角形，所以，所以， ，回到图形问题所以，直线和夹角的余弦值为.小结：研究立体几何问题要注意转化思想，将立体几何问题化为向量问题进行向量运算回到图形，解决立体几何问题.回顾问题1的求解过程，归纳出利用向量求空间直线与直线所成的角的一般方法，直线与直线所成的角转化成直线的方向向量的夹角，进而利用向量的数量积求解.也就是说，若异面直线所成的角，其方向向量分别为则5.类比研究，求解直线与平面、平面与平面所成的角类似地，可以转化为直线的方向向量与平面的
10、法向量的夹角，如图，直线AB与平面相交于点B,设直线AB与平面所成的角为，直线与平面所成的角为,直线AB的方向向量，平面的法向量为，则平面和平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面和平面的夹角.类似两条异面直线所成的角，若平面，的法向量分别是，则平面和平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面和平面的夹角为，则注意：（1）求平面法向量的方法：在平面内找两个不共线的向量和，设平面的法向量为，则根据这个不定方程组，可以求得一个法向量.求得的是法向量中的一个，不是所有的法向量，但所有法向量可以用表示，即.（2）二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，可以用其平面角的大小来
11、定义，它的取值范围是；而平面和平面的夹角是指平面和平面相交，形成的四个二面角中不大于的二面角.6.公式应用，解决立体几何中的角度问题例8 如图1.4-22，在直棱柱中，为中点，分别在棱，上，.求平面与平面夹角的余弦值.解：转化为向量问题以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系，设平面法向量为，平面法向量为，平面与平面夹角即为，的夹角或其补角.进行向量运算平面的一个法向量为.由题意，.设，则即所以 令得，则回到图形问题设平面与平面夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.（三）课堂小结：（1）立体几何中距离的向量求法距离的分类向量求法A、B两点间距离点到线距离线到线距离转化为点到线距离点P到平面
12、距离点是平面内的任意一点.平面的法向量为线到面距离转化为点到面距离面到面距离转化为点到面距离异面直线间距离转化为点到面距离（2）立体几何中角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角设l1与l2的方向向量分别为a，b，则cos |cos a，b|直线l与平面所成的角设l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin |cos a，n|平面与平面的夹角设平面，的法向量分别为n1，n2，则cos |cos n1，n2|（3）用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；通过向量的运算，研究点、线
13、、面之间的位置关系和它们之间距离、夹角等问题；把向量运算的结果“翻译”成相应的几何问题.（四）综合应用向量解决立体几何问题例9：如图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度𝑔取9.8m/𝑠2,精确到0.01𝑁）.解题分析：1.降落伞在匀速下落的过程中,8根绳子拉力的合力与礼物重力大小相等，方向相反2.力有大小有方向，因此可以用向量方法解决这个问题解题分析：立体几何问题，首先想想利用掌握的空间关系来
14、试证明，若能完成，则用几何法解决问题，若不能完成，则考虑向量法来补充证明。（3）求两个平面的夹角用几何法要找出平面角，平面角容易找到时可以利用几何法，不容易找到时用向量方法，只需要求出两个平面的法向量，代入公式即可第一问方法一第一问方法二解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线为,建立如图1.4-26所示的空间直角坐标系，设DC=1（1） 证明：连接AC，交BD与点G，连接EG，则因为底面ABCD是正方形，所以点G是它的中心，所以且小结利用向量法解决立体几何问题的三步曲（五）课后作业1若三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且满足PAPBPC1，则点P到平面ABC的距离是()A B C D【解析】
15、选D.分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).可以求得平面ABC的一个法向量为n(1，1，1)，则d.2如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCDABCD，AB1，BC2，AA3，则点B到直线AC的距离为_【解析】因为AB1，BC2，AA3，所以A(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，所以直线AC的方向向量(1，2，3).又(0，2，0)，所以在上的投影长为.所以点B到直线AC的距离d.答案：3如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点则点D到平面
16、PEF的距离为_；直线AC到平面PEF的距离为_【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，(1，0，1)，(0，0，1).设平面PEF的法向量为n(x，y，z)，则即解得xy，令xy2，得n(2，2，3)，因此，点D到平面PEF的距离为.因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EFAC，又EF平面PEF，所以AC平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离为.4在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成角是()A30 B45 C60 D90【解析】选A.建立如图所示的空间直角坐标系
17、，则P(0，0，1)，C(1，0)，(1，1)，平面ABCD的一个法向量为n(0，0，1)，所以cos ，n，所以，n120，所以PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60，所以PC与平面ABCD所成角为30.5如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA平面ABCD，PAADAC.点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为()A B C D【解析】选D.如图，连接OF，因为四边形ABCD为菱形，所以O为AC的中点，ACBD.因为F为PC的中点，所以OFPA.因为PA平面ABCD，所以OF平面ABCD.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz
18、，设PAADAC1，则BD，所以B，F，C，D，结合图形可知，且为平面BDF的一个法向量由，可求得平面BCF的一个法向量n.所以cos n，sin n，所以tan n，.案：6.如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O底面ABCD；(2)若CBA60，求平面C1OB1与平面 DOB1夹角的余弦值【解析】(1)因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1AC，DD1BD，又CC1DD1OO1，所以OO1AC，OO1BD，因为ACBDO，所以O1O底面ABCD.(2)因
19、为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，ACBD，又O1O底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直如图，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系设棱长为2，因为CBA60，所以OB，OC1，所以O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)，平面BDD1B1的一个法向量为n(0，1，0)，设平面OC1B1的法向量为m(x，y，z)，则m，m，所以x2z0，y2z0，取z，则x2，y2，所以m(2，2，)，cos m，n.设平面C1OB1与平面 DOB1夹角为平面C1OB1与平面 DOB1夹角的余弦值为.14学科网（北京）股份有限公司