重积分的概念续及性质幻灯片.ppt

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1、重积分的概念续及性质第1页,共32页,编辑于2022年,星期三第一节 黎曼积分(续)第2页,共32页,编辑于2022年,星期三 黎曼积分的性质设 为 R3 中的可度量的几何形体,则黎曼积分应具有一些极限所具有的性质这就是说,第3页,共32页,编辑于2022年,星期三性质1 1若则其中,为区域的度量值。回想上节课讲的质量计算以及在均匀变化时 质量=密度几何形体的度量值就可以理解这个性质。二重积分:相当于以D为底,高为 1 的平顶柱体体积 V=|D|。第4页,共32页,编辑于2022年,星期三定积分(区间a,b的长度)二重积分(平面区域 D 的面积)(R3 中立体 的体积)三重积分曲线积分(平面曲

2、线 L 的弧长)曲面积分(曲面的面积)例1第5页,共32页,编辑于2022年,星期三计算解这相当于质量问题中的(均匀分布)故常数因子提出来?常数因子提出来?极限中有这个性质没有?比较一下:以D 为底高为 4 的平顶柱体体积例2第6页,共32页,编辑于2022年,星期三性质2(线性性质)若为实数,则且该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形第7页,共32页,编辑于2022年,星期三由函数对区域 和函 数 f(X),g(X)进行分割,代替,求和,取极限得由极限的运算法则,有证第8页,共32页,编辑于2022年,星期三性质3(对积分区域的可加性)定积分的这个性质大家十分熟悉,现在看看二重积分的情形:

3、表示以 D 为底,以为顶的曲顶柱体的体积。现在将 D 分成两部分D1和D2,相应地曲顶柱体也被分成两个柱体,这两个柱体体积之和等于原柱体的体积吗?应不应该有什么限制条件?第9页,共32页,编辑于2022年,星期三 观察,比较这两个图形,看将 D 分成 D1+D2 时应满足什么条件?两次两次第10页,共32页,编辑于2022年,星期三叙述性质叙述性质3 3设将 任意分成可度量的两个部分:与除边界外无其它公共部分,则且第11页,共32页,编辑于2022年,星期三想一想:想一想:分成下面的与行不行?将行!行!行!行!行!行!第12页,共32页,编辑于2022年,星期三 可以将性质3中的 任意分成有限

4、个只有公共边界的部分:第13页,共32页,编辑于2022年,星期三性质4 4(保号性)在一元函数中我们讲过函数极限的保号性和连续函数的保号性(它实际上也是函数极限的保号性)。黎曼积分是经过分割代替求和取极限来定义的,它的定义式也是一个极限式,所以极限的保号性性质也会在黎曼积分中反映出来。例如,定积分中就讲过这个性质。第14页,共32页,编辑于2022年,星期三叙述性质4 4设则第15页,共32页,编辑于2022年,星期三性质4 4的推论 1 1设则第16页,共32页,编辑于2022年,星期三性质4 4推论推论 1推论推论 2绝对值不等式推论 1 和推论 2 的详细叙述和证明请看书。看就看看就看

5、估值定理极值,有界性第17页,共32页,编辑于2022年,星期三性质5 5(估值定理)设且则有.二维空间二维空间两个圆柱两个圆柱体之间体之间第18页,共32页,编辑于2022年,星期三若是有界闭区域,则函数在上必取到它的最大值和最小值各一次。设则即 由这个式子,你能得到一个什么样的结论?第19页,共32页,编辑于2022年,星期三若是有界闭区域,则函数在上必取到它的最大值和最小值各一次。设则即 连续函数的介值定理 看看你得到的结论是不是下面叙述的形式。由这个式子,你能得到一个什么样的结论?第20页,共32页,编辑于2022年,星期三性质6 6(积分中值定理)若是有界闭区域,则至少存在一点使得现

6、在看这里如果会有什么结果出现?第21页,共32页,编辑于2022年,星期三性质6 6若是有界闭区域,则至少存在一点使得现在看这里如果会有什么结果出现?是有界闭区域,则至少现在看这里需要什么条件来保证(积分中值定理)第22页,共32页,编辑于2022年,星期三/能不能确保中值定理中的如果在区域上恒有则可保证还不能还不能存在U(X0),使得f(X)0。保号性行了行了至少存在一点X0,使得f(X)0。第23页,共32页,编辑于2022年,星期三 性质6 6的推论1 1若是有界闭区域,且有但/则 你能根据刚才的分析证明这个推论吗?第24页,共32页,编辑于2022年,星期三证由于及/所以使而故由连续函

7、数的保号性可知:使令则且用积分的保号性性质:0用积分中值定理:0自己在纸上画一下 的图形第25页,共32页,编辑于2022年,星期三从而由积分对区域的可加性(性质3),得 现在由这个推论反过去想:如果函数在的任意一个小区域上的积分均为零,则函数在上应是什么形式?第26页,共32页,编辑于2022年,星期三从而由积分对区域的可加性(性质3),得 现在由这个推论反过去想:如果函数在的任意一个小区域上的积分均为零,则函数在上应是什么形式?啊!第27页,共32页,编辑于2022年,星期三 性质6 6的推论2 2设若有则运用反证法:设/则至少有一点 X0,使由推论1 便可得出矛盾。实践出真知学生自己做第28页,共32页,编辑于2022年,星期三设若有则运用反证法:设/则至少有一点 X0,使由推论1 便可得出矛盾。实践出真知学生自己做令什么结果?性质6 6的推论2 2第29页,共32页,编辑于2022年,星期三 性质6 6的推论3 3设若有则第30页,共32页,编辑于2022年,星期三估计积分值:其中,解记令解方程组得驻点:此时例3第31页,共32页,编辑于2022年,星期三而其中,故从而又故第32页,共32页,编辑于2022年,星期三

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