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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分,第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.设全集为R,函数的定义域为M,则为(A)1,1(B)(1,1)(C)(D)【答案】D【解析】,所以选D输入xIf x50 Theny=0.5 * xElse y=25+
2、0.6*(x-50)End If输出y2.根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为(A)25(B)30(C)31(D)61【答案】C【解析】,所以选C3.设a,b为向量,则“”是“a/b”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若,为真；相反，若，则。所以“”是“a/b”的充分必要条件。另：当为零向量时，上述结论也成立。所以选C4.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间481,720的人数为(A)11(B)12(C)13(D)14【
3、答案】B【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。,所以从编号1480的人中，恰好抽取24人，接着从编号481720共240人中抽取12人。故选B5.如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】该地点信号的概率=所以该地点无信号的概率是。选A6.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是(A)若,则(B)若,则(C)若,则(D)若,则【答案】D【解析】对（A），
4、若,则，所以为真。对（B），若,则互为共轭复数，所以为真。对（C），设若,则，所以为真对（D），若则为真，而，所以为假选D7.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则ABC的形状为(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不确定【答案】B【解析】因为，所以又。联立两式得。所以。选B8.设函数,则当x>0时,表达式的展开式中常数项为(A)20(B)20(C)15(D)15【答案】A【解析】当的展开式中，常数项为。所以选A9.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位m)的取值范围是(A)15,20(B)
5、12,25(C)10,30(D)20,30【答案】C【解析】设矩形高为y,由三角形相似得:利用线性规划知识解得，选C10.设x表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有(A)xx(B)2x2x(C)xyxy(D)xyxy【答案】D【解析】代值法。对A,设x=-1.8,则-x=1,-x=2,所以A选项为假。对B,设x=-1.4,2x=-2.8=-3,2x=-4,所以B选项为假。对C,设x=y=1.8,对A,x+y=3.6=3,x+y=2,所以C选项为假。故D选项为真。所以选D二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.双曲线的离心率为,则m等
6、于 9 .【答案】9【解析】12.某几何体的三视图如图所示,则其体积为 .【答案】【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2。所以体积13.若点(x,y)位于曲线与y2所围成的封闭区域,则2xy的最小值为 -4 .【答案】-4【解析】封闭区域为三角形。令|x1|=2,解得，所以三角形三个顶点坐标分别为（1,0,），（-1,2），（3,2），故2xy在点（-1,2）取最小值-414.观察下列等式:照此规律,第n个等式可为 .【答案】【解析】分n为奇数、偶数两种情况。第n个等式为。当n为偶数时，分组求和：。当n为奇数时，第n个等式=。综上，第n个等式：15.(考生请注意:请在下列三题
7、中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)A.(不等式选做题)已知a,b,m,n均为正数,且ab1,mn2,则(ambn)(bman)的最小值为 2 .【答案】2【解析】利用柯西不等式求解，,且仅当时取最小值2B.(几何证明选做题)如图,弦AB与CD相交于内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD2DA2,则PE .【答案】【解析】C.(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆的参数方程为 .【答案】【解析】。所以圆的参数方程为三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16.(本小题满分12分)已知向量,设函
8、数.()求f(x)的最小正周期.()求f(x)在上的最大值和最小值.【答案】().().【解析】()=。最小正周期。所以最小正周期为。().所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为.17.(本小题满分12分)设是公比为q的等比数列.()导的前n项和公式;()设q1,证明数列不是等比数列.【答案】();()见下；【解析】()分两种情况讨论。.上面两式错位相减:。综上，()使用反证法。设是公比q1的等比数列,假设数列是等比数列.则当=0成立，则不是等比数列。当成立，则。这与题目条件q1矛盾。综上两种情况，假设数列是等比数列均不成立，所以当q1时,数列不是等比数列。（证毕）18.(本小题满分12分)
9、如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O平面ABCD,.()证明:A1C平面BB1D1D;()求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.【答案】()见下;()=()求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.【解析】()；又因为，在正方形ABCD中，。在正方形ABCD中,AO=1.(证毕)()建立直角坐标系统,使用向量解题。以O为原点，以OC为X轴正方向，以OB为Y轴正方向。则.由()知,平面BB1D1D的一个法向量设平面OCB1的法向量为。所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为19.(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至
10、5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.()求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;()X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.【答案】();()X的分布列如下：X0123P数学期望【解析】()设事件A表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手。观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为。所以P(A)=.因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3
11、号歌手的概率为()X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0,1,2,3.观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙选中3号歌手的概率为。当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P(X=0)=.当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X=1，P(X=1)=.当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X=2，P(X=2)=.当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X=3，P(X=3)=.X的分布列如下表：X0123P所以，数学期望20.(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.()求动圆圆心的轨迹C的方程;()已知点B(1,0),设不垂直
12、于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是的角平分线,证明直线过定点.【答案】();()定点（1,0）【解析】()A(4,0),设圆心C()点B(1,0),.直线PQ方程为：所以，直线PQ过定点（1,0）21.(本小题满分14分)已知函数.()若直线ykx1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;()设x>0,讨论曲线yf(x)与曲线公共点的个数.()设a<b,比较与的大小,并说明理由.【答案】();()当m时,有0个公共点；当m=,有1个公共点；当m有2个公共点；()>【解析】()f(x)的反函数.设直线ykx1与相切与点。所以()当x>0，m>0时，曲线yf(x)与曲线的公共点个数即方程根的个数。由，则h(x)在h(x).所以对曲线yf(x)与曲线公共点的个数，讨论如下：当m时,有0个公共点；当m=,有1个公共点；当m有2个公共点；()设令。，且。所以