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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分,第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.设全集为R,函数的定义域为M,则为(A)1,1(B)(1,1)(C)(D)【答案】D【解析】的定义域为M=-1,1,故CRM=,选D2.根据下列算法语句,当输入x为60时,输入x
2、If x50 Theny=0.5 * xElse y=25+0.6*(x-50)End If输出y输出y的值为(A)25(B)30(C)31(D)61【答案】C【解析】故选择C3.设a,b为向量,则“”是“a/b”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】4.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间481,720的人数为(A)11(B)12(C)13(D)14【答案】B【解析】由题设可知区间481，720长度为240，落在区间内的人数为12人。
3、5.如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】由题设可知矩形ABCD面积为2，曲边形DEBF的面积为故所求概率为，选A.6.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是(A)若,则(B)若,则(C)若,则(D)若,则【答案】D【解析】设若，则，所以，故A项正确；若，则，所以，故B项正确；若，则，所以，故C项正确；7.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则ABC的形状为(A
4、)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不确定【答案】B【解析】因为，所以由正弦定理得，所以，所以,所以，所以ABC是直角三角形。8.设函数,则当x>0时,表达式的展开式中常数项为(A)20(B)20(C)15(D)15【答案】A【解析】，所以9.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位m)的取值范围是(A)15,20(B)12,25(C)10,30(D)20,30【答案】C【解析】如图ADEABC，设矩形的另一边长为y，则，所以y=40-x，又xy300，所以x(40-x)300即，解得10x3010.设x表示不大
5、于x的最大整数,则对任意实数x,y,有(A)xx(B)2x2x(C)xyxy(D)xyxy【答案】D【解析】取x=25,则-x=-2.5=-3,-x=-2.5=-2,所以A项错误；2x=5=22.5=4,所以B项错误；再取y=28，则x+y=5.3=5,x+y=2.5+2.8=2+2=4，所以C项错误.二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.双曲线的离心率为,则m等于 .【答案】9【解析】由a2=16，b2=m得c2=16+m，则e=，m=9【考点与方法】本题主要考察了双曲线的标准方程以及离心率，属于容易题，解题的关键在于利用双曲线标准方程
6、c2=a2+b2和离心率的求解公式e=12.某几何体的三视图如图所示,则其体积为 .【答案】【解析】由三视图还原为实物图得半个圆锥，其体积为V=.【考点与方法】本题主要考查了三视图还原为实物图的能力和圆锥的体积公式，属于容易题。13.若点(x,y)位于曲线与y2所围成的封闭区域,则2xy的最小值为 .【答案】4【解析】作出曲线y=与y=2所表示的区域，令2xy=z，即y=2xz，作直线y=2x，在封闭区域内平行移动直线y=2x，当经过点（1，2）时，z取到最小值，此时最小值为4.【考点与方法】本题主要考察了线性规划的最值问题，考查画图和转化能力，属于中等题，解题的关键在于画出曲线围成的封闭区域
7、，并把求2xy的最小值转化为求y=2xz所表示的直线截距的最大值，通过平移直线y=2x即可求解。14.观察下列等式:照此规律,第n个等式可为 .【答案】1222+3242+（1）n+1n2=（1）n+1·（n）【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1,2,3n，指数都是2，符号成正负交替出现可以用（1）n+1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为（1）n·，所以第n个式子可为1222+3242+（1）n+1n2=（1）n+1·（n）【考点与方法】本题考查观
8、察和归纳的推理能力，属于中等题。解题的关键在于：1.通过四个已知等式的比较发现隐藏在等式中的规律；2.符号成正负交替出现可以用（1）n+1表示；3.表达完整性，不要遗漏了n15.(考生请注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)A.(不等式选做题)已知a,b,m,n均为正数,且ab1,mn2,则(ambn)(bman)的最小值为 .【解析】由科尔不等式可得（am+bn）（bm+an）（）2mn（a+b）2=2B.(几何证明选做题)如图,弦AB与CD相交于内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD2DA2,则PE .【答案】【解析】已知BCE=PED=
9、BAPPDEPEA而PD=2DA=2PA=3PE2=PA·PD=6故PE=C.(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆的参数方程为 .【答案】x=，y=，0【解析】x2+y2-x=0，（x-）2+y2=，以（）为圆心，为半径，且过原点的圆，它的标准参数方程为x=，y=，0a2，由已知，以过原点的直线倾斜角为参数，则0，所以022，所以所求圆的参数方程为x=，y=，0三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16.(本小题满分12分)已知向量,设函数.()求f(x)的最小正周期.()求f(x)在上的最大值和最小值.【解析】：
10、（I）的最小正周期为（II），故当即时，当即时，【命题意图】本题考查三角恒等式，三角函数的性质等基础知识，简单题。17.(本小题满分12分)设是公比为q的等比数列.()推导的前n项和公式;()设q1,证明数列不是等比数列.【解析】：（I）设等比数列an的公比为q，其前n项和Sn=a1+a1q+.a1qn-1将（1）式两边分别乘以q得qSn=a1q+a1q2+a1qn当q0时或当q=1时，a1=a2=.an所以Sn=na（II）q1假设数列an+1为等比数列，那么即或q=1，均与题设矛盾，故数列吧可能为等比数列。18.(本小题满分12分)如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形
11、,O为底面中心,A1O平面ABCD,.()证明:A1C平面BB1D1D;()求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.【解析】：如图建立空间直角坐标系由AB=AA1=可知O（0,0,0），A（1,0,0），B（0,1,0），B1（-1,1,1），C（-1,0,0）A1（0,0,1）D1（-1，-1,1）（I） A1c=（-1,0，-1）DB（0,2,0）BB1（-1,0,1）即所以A1c平面（）容易求得平面的一个法向量，平面BB1D1D的一个法向量为所求夹角余弦值为所求夹角的大小为60°19.(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观
12、众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.()求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;()X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.【解析】（）由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为。（）的所有可能取值为0，1，2，3.由（）知，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率
13、为1=，则观众丙选中3号歌手的概率也为1=，则（1）（1）=（1）+（1）（1）=（1）+（1）()=()=则的分布列如下：20.(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.()求动圆圆心的轨迹C的方程;()已知点B(1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是的角平分线,证明直线l过定点.【解析】（）设动圆圆心的坐标为（），则（4）+（0）=，整理得。所以，所求动圆圆心的轨迹的方程为（）证明：设直线的方程为，联立得（其中）0），设，若轴是的角平分线，则0，即，故直线l的方程为，直线过定点（1，0）21.(本小题满分14分)已知函数.()若直线ykx1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;()设x>0,讨论曲线yf(x)与曲线公共点的个数.()设a<b,比较与的大小,并说明理由.【解析】函数（）函数，设切点坐标为则，。（）令即，设有，所以（1）时，两曲线有2个交点；（2）时，两曲线有1个交点；（3）时，两曲线没有交点。（），令上式令，则恒成立而故