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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分,第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分第一部分(共共 50 分分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1.设全集为 R,函数2( )1f xx的定义域为 M,则C MR为(A)1,1(B)(1,1)(C), 11,)( (D), 1)(1,)(
2、 【答案】D【解析】), 1 () 1,(,1 , 1. 11, 0-12MRCMxx即,所以选 D2.根据下列算法语句,当输入 x 为 60 时,输出 y 的值为(A)25(B)30(C)31输入 xIf x50 Theny=0.5 * xElse y=25+0.6*(x-50)End If输出 y(D)61【答案】C【解析】31)50(6 . 025,60 xyx,所以选 C3.设 a,b 为向量,则“| |aabb”是“a/b”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】C【解析】。cos|baba若1cos|baba,b/a0，即或的夹
3、角为与则向量ba为真；相反，若ba/，则|0bababa，即或的夹角为与向量。所以“| |aabb”是“a/b”的充分必要条件。另：当ba或向量为零向量时，上述结论也成立。所以选 C4.某单位有 840 名职工,现采用系统抽样方法,抽取 42 人做问卷调查,将 840 人按1,2,840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间481,720的人数为(A)11(B)12(C)13(D)14【答案】B【解析】使用系统抽样方法，从 840 人中抽取 42 人，即从 20 人抽取 1 人。,所以从编号 1480 的人中，恰好抽取 24 人，接着从编号 481720 共 240 人中抽取 12 人
4、。故选 B5.如图,在矩形区域 ABCD 的 A,C 两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是12DACBEF扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是(A)14(B)12(C)22(D)4【答案】A【解析】该地点信号的概率=421212的面积矩形的面积扇形的面积扇形ABCDCBFADE所以该地点无信号的概率是14。选 A6.设 z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是(A)若12| 0zz ,则12zz(B)若12zz,则12zz(C)若|21zz ,则2112zzzz(D)若12|zz,则
5、2122zz【答案】D【解析】对（A） ，若12| 0zz ,则021zz，所以12zz为真。对（B） ，若12zz,则21zz 和互为共轭复数，所以12zz为真。对（C） ，设,222111ibazibaz若|21zz ,则22222121baba，222222212111,bazzbazz，所以2112zzzz为真对（D） ，若, 121izz则12|zz为真，而1, 12221zz，所以2122zz为假选 D7.设ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若coscossinbCcBaA,则ABC 的形状为(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不确定【答案】
6、B【解析】因为coscossinbCcBaA，所以AABCCBsinsincossincossin又ACBBCCBsin)sin(cossincossin。联立两式得AAAsinsinsin。所以2, 1sinAA。选 B8.设函数61,00.,( ),xxf xxxx,则当 x0 时, ( )f f x表达式的展开式中常数项为(A)20(B)20(C)15(D)15【答案】A【解析】当66-11-)(0）（）（时，xxxxxffx的展开式中，常数项为20)(-)1(3336xxC。所以选 A9.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于 300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长
7、x(单位 m)的取值范围是(A)15,20(B)12,25(C)10,30(D)20,30【答案】C【解析】设矩形高为 y,由三角形相似得:,30040,40, 0, 0,404040 xyyxyxyx，且利用线性规划知识解得30,10 x，选 C10.设x表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x,y,有(A)xx(B)2x2x(C)xyxy(D)xyxy【答案】D【解析】代值法。对 A,设 x=-1.8,则-x=1,-x=2,所以 A 选项为假。对 B,设 x=-1.4,2x=-2.8=-3,2x=-4,所以 B 选项为假。对 C,设 x=y=1.8,对 A,x+y=3.6=3,x+y=
8、2,所以 C 选项为假。故 D 选项为真。所以选 D二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25 分）11.双曲线22116xym的离心率为54,则 m 等于 9 .【答案】9【解析】9161694522mmabac112112.某几何体的三视图如图所示,则其体积为 3 .【答案】3【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为 1 的半圆，高为 2。所以体积32121312V13.若点(x,y)位于曲线|1|yx与 y2 所围成的封闭区域,则 2xy 的最小值为 -4 .【答案】-4【解析】封闭区域为三角形。令|x1|=2,解得3, 121xx，所以
9、三角形三个顶点坐标分别为（1,0,） ， （-1,2） ， （3,2） ，故 2xy 在点（-1,2）取最小值-414.观察下列等式:21122123 22212632222124310 照此规律,第 n 个等式可为 ) 1(2) 1-n1-32-1121 -n222nnn（）（ .【答案】) 1(2) 1-n1-32-1121 -n222nnn（）（【解析】分 n 为奇数、偶数两种情况。第 n 个等式为21 -n222n1-32-1）（。当 n 为偶数时，分组求和：21)n(n-) 1()43()2-1222222nn（。当 n 为奇数时，第 n 个等式=21)n(n21)n(n-2n。综上
10、，第 n 个等式：) 1(2) 1-n1-32-1121 -n222nnn（）（15.(考生请注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)A.(不等式选做题)已知 a,b,m,n 均为正数,且ab1,mn2,则(ambn)(bman)的最小值为 2 .【答案】2【解析】利用柯西不等式求解，212)()()(22bamnbmbnanambmanbnam（,且仅当nmbmbnanam时取最小值 2B.(几何证明选做题)如图,弦 AB 与 CD 相交于OA内一点 E,过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P.已知 PD2DA2,则 PE . 6 .【答案】. 6
11、【解析】./BADPEDBADBCDPEDBCDPEBC且在圆中EDOPABCEDOPABC. 6. 6232PEPDPAPEPEPDPAPEAPEEPD所以C.(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆220yxx 的参数方程为 Ryx,sincoscos2 .【答案】Ryx,sincoscos2【解析】222)21()21yx（圆的方程21r圆的半径sincossin,coscoscos2cos2OPyOPxrOP。所以圆的参数方程为Ryx,sincoscos2三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分）16.(本小题满分
12、12 分)已知向量1(cos ,),( 3sin ,cos2 ),2xxx xabR,设函数( )f x a b.()求 f(x)的最小正周期.()求 f(x)在0,2上的最大值和最小值.【答案】().()21, 1.【解析】()POyx( )f x a b=)62sin(2cos212sin232cos21sin3cosxxxxxx。最小正周期22T。所以),62sin()(xxf最小正周期为。()上的图像知，在，由标准函数时，当65,6- sin65,6- )62(2, 0 xyxx. 1 ,21)2(),6- ()62sin()(ffxxf.所以，f(x)在0,2上的最大值和最小值分别为
13、21, 1.17.(本小题满分 12 分)设na是公比为 q 的等比数列.()导na的前 n 项和公式;()设 q1,证明数列1na 不是等比数列.【答案】() 1(,1)1 () 1(,11qqqaqnaSnn;()见下；【解析】()分两种情况讨论。.111111naaaaSaaqnn的常数数列，所以是首项为时，数列当nnnnnnqaqaqaqaqSaaaaSq1211211时，当.上面两式错位相减:.)()()()-11123121nnnnnqaaqaqaaqaaqaaaSq（qqaqqaaSnnn-1)1 (.-111。综上，) 1(,1)1 () 1(,11qqqaqnaSnn()使用
14、反证法。设na是公比 q1 的等比数列,假设数列1na 是等比数列.则当1*naNn，使得=0 成立，则1na 不是等比数列。当01*naNn，使得成立，则恒为常数11111111nnnnqaqaaa1,0111111qaqaqann时当。这与题目条件 q1 矛盾。综上两种情况，假设数列1na 是等比数列均不成立，所以当 q1 时,数列1na 不是等比数列。 （证毕）18.(本小题满分 12 分)如图,四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形,O 为底面中心,A1O平面 ABCD,12ABAA.()证明:A1C平面 BB1D1D;()求平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹
15、角的大小.【答案】()见下;()=3OD1B1C1DACBA1()求平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角的大小.【解析】()BDOAABCDBDABCDOA11,面且面；又因为，在正方形 ABCD中，BDCAACACAACABDAACOABDAC11111,，故面且面所以；且。在正方形 ABCD 中,AO=1. 111OAOAART中，在OECAOCEAEDB1111111为正方形，所以，则四边形的中点为设.，所以由以上三点得且，面面又OOBDDDBBODDBBBD111111E.E,DDBBCA111面.(证毕)()建立直角坐标系统,使用向量解题。以 O 为原点，以 OC 为 X 轴正
16、方向，以 OB 为 Y 轴正方向。则) 1, 0 , 1 () 1 , 1 , 1 (),100(),001 (,0 , 1 , 0111CABACB，）（.由()知,平面 BB1D1D 的一个法向量.0 , 0 , 1),1 , 1 , 1 (),1, 0 , 1 (111）（OCOBCAn设平面 OCB1的法向量为，则0, 0,2122OCnOBnn).1- , 1 , 0(2n为解得其中一个21221|,cos|cos212111nnnnnn。所以，平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角为319.(本小题满分 12 分)在一场娱乐晚会上,有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱,
17、由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手,其中观众甲是 1 号歌手的歌迷,他必选 1 号,不选 2 号,另在 3 至 5 号中随机选 2 名.观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱,因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手.()求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率;()X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求 X 的分布列和数学期望.【答案】()154;()X 的分布列如下：数学期望1528EXX0123P754752075337518OD1B1C1DACBA1【解析】()设事件 A 表示:观众甲选中 3 号歌手且观众乙
18、未选中 3 号歌手。观众甲选中 3 号歌手的概率为32,观众乙未选中 3 号歌手的概率为53-1。所以 P(A)=15453-132）（.因此，观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为154()X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则 X 可取 0,1,2,3.观众甲选中 3 号歌手的概率为32,观众乙选中 3 号歌手的概率为53。当观众甲、乙、丙均未选中 3 号歌手时，这时 X=0，P(X=0)=754)531 ()321 (2.当观众甲、乙、丙中只有 1 人选中 3 号歌手时，这时 X=1，P(X=1)=75207566853)531 (321 ()531 (5
19、3321 ()531 (322）.当观众甲、乙、丙中只有 2 人选中 3 号歌手时，这时 X=2，P(X=2)=7533751291253)531 (325353321 ()531 (5332）.当观众甲、乙、丙均选中 3 号歌手时，这时 X=3，P(X=3)=7518)53(322.X 的分布列如下表：X01231528755466207518375332752017540E所以，数学期望1528EX20.(本小题满分 13 分)已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8.()求动圆圆心的轨迹 C 的方程;()已知点 B(1,0),设不垂直于 x 轴的直线l与轨迹
20、 C 交于不同的两点 P,Q,若 x 轴是PBQ的角平分线,证明直线l过定点.【答案】()xy82抛物线方程; ()定点（1,0）【解析】()A(4,0),设圆心 C2222,2),(ECMECMCAMNMEEMNyx，由几何图像知线段的中点为xyxyx84) 422222 （()点 B(1,0),222121212122118,8, 00),(),(xyxyyyyyyxQyxP，由题知设.080)()(88811211221212222112211yyyyyyyyyyyyxyxy直线 PQ 方程为：)8(1)(21121112121yxyyyyxxxxyyyyP754752075337518
21、1, 088)(8)()(122112112xyxyyyyxyyyyyy所以，直线 PQ 过定点（1,0）21.(本小题满分 14 分)已知函数( )e ,xf xxR.()若直线 ykx1 与 f(x)的反函数的图像相切,求实数 k 的值;()设 x0,讨论曲线 yf(x)与曲线2(0)ymxm公共点的个数.()设 a( )( )f bf aba【解析】()f(x)的反函数xxgln)(.设直线 ykx1 与xxgln)(相切与点220000000,xx1)(xgklnx1kx )yP(xeke。所以2 ek()当 x0，m0 时，曲线 yf(x)与曲线2(0)ymxm的公共点个数即方程2)
22、(mxxf根的个数。由2222)2()( )(,)(xxxexhxexhxemmxxfxxx令，则 h(x)在);(h(2),h(x)2 , 0(上单调递减，这时h(x).(h(2),h(x),), 2(这时上单调递增在4h(2)2e.的极小值即最小值。是h(x)h(2)y所以对曲线 yf(x)与曲线2(0)ymxm公共点的个数，讨论如下：当 m)4, 0(2e时,有 0 个公共点；当 m=42e,有 1 个公共点；当 m），（42e有 2 个公共点；()设)(2)()2()()2()()(2)()(abbfabafababafbfbfafaabbaeabeabababeabeab)(2)2()2()(2)2()2(令xxxexexxgxexxxg) 1(1)21 (1)( , 0,)2(2)(则。）上单调递增，在（的导函数0)( , 0) 11 ()( )( xgexexxgxgxx，且, 0)0(,), 0()(0)( . 0)0( gxgxgg而上单调递增在，因此0)(), 0(xg上所以在。,0)2(2)(0baexxxgxx且时，当0)(2)2()2(aabeabeabab所以abafbfbfaf)()(2)()(,ba时当