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1、中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 2006 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析 一、填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. （1）0ln(1)lim1 cosxxxx 2. 【分析】 本题为00未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可. 【详解】 002ln(1)limlim211 cos2xxxxx xxx. （2） 微分方程(1)yxyx 的通解是e (0).xyCxx 【分析】 本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解】 原方程等价
2、为 d11 dyxyx， 两边积分得 1lnlnyxxC ，整理得 exyCx.（1eCC ） （3）设是锥面22(01)zxyz的下侧，则 d d2 d d3(1)d dx y zy z xzx y2. 【分析】 本题不是封闭曲面， 首先想到加一曲面1：2211zxy， 取上侧， 使1构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可. 【详解】 设1：221(1)zxy，取上侧，则 d d2 d d3(1)d dx y zy z xzx y 11d d2 d d3(1)d dd d2 d d3(1)d dx y zy z xzx yx y zy z xzx y
3、. 而 1d d2 d d3(1)d dx y zy z xzx y211006d6ddd2rVvr rz， 1dd2dd3 (1 ) dd0 xyzyzxzxy. 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 所以 d d2 d d3(1)d d2x y zy z xzx y. （4）点(2,1,0)到平面3450 xyz的距离d 2. 【分析】 本题直接利用点到平面距离公式 000222AxByCzDdABC 进行计算即可. 其中000(,)xy z为点的坐标，0AxByCzD为平面方程. 【详解】 2223241502345d . （5）设矩
4、阵2112A，E为 2 阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则 B 2 . 【分析】 将矩阵方程改写为AXBXABAXBC或或的形式， 再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有 ()2B AEE 于是有 4B AE，而1121 1AE，所以2B . （ 6 ） 设 随 机 变 量XY与相 互 独 立 ， 且 均 服 从 区 间0,3上 的 均 匀 分 布 ， 则max,1PX Y 19 . 【分析】 利用XY与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，XY与具有相同的概率密度 1,3( )30,xf x0其他. 则 max,11,1PX YP XY 11P XP Y 2120
5、111d39P Xx. 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图： 则 1max,11,19SPX YP XYS阴. 二、选择题：714 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数( )yf x具有二阶导数，且( )0,( )0fxfx，x为自变量x在点0 x处的增量，dyy 与分别为( )f x在点0 x处对应的增量与微分，若0 x ，则 (A) 0dyy . (B) 0dyy . (C) d0yy . (
6、D) d0yy . 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由( )0,( )0fxfx知，函数( )f x单调增加，曲线( )yf x凹向，作函数( )yf x的图形如右图所示，显然当0 x 时， 00d()d()0yyfxxfxx ，故应选(). （8）设( , )f x y为连续函数，则1400d( cos , sin ) df rrr r等于 （）22120d( , )dxxxf x yy. （B）221200d( , )dxxf x yy. (C) 22120d( , )dyyyf x yx. (D) 221200d( , )dyyf x yx . 【分析】 本
7、题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可. 【详解】 由题设可知积分区域D如右图所示，显然是Y型域，则 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 原式22120d( , )dyyyf x yx. 故选（）. （9）若级数1nna收敛，则级数 (A) 1nna收敛 . （B）1( 1)nnna收敛. (C) 11nnna a收敛. (D) 112nnnaa收敛. 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由1nna收敛知11nna收敛，所以级数112nnnaa收敛，故应选(). 或利用排除法： 取1( 1)n
8、nan ，则可排除选项（） ， （） ； 取1( 1)nnan ，则可排除选项（）.故（）项正确. （10）设( , )( , )f x yx y与均为可微函数，且( , )0yx y，已知00(,)xy是( , )f x y在约束条件( , )0 x y下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy. (B) 若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy. (C) 若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy. (D) 若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy. 【分析】 利用拉格朗日函数( , , )( , )( , )F x y
9、f x yx y在000(,)xy（0是对应00,xy的参数的值）取到极值的必要条件即可. 【详解】 作拉格朗日函数( , , )( , )( , )F x yf x yx y， 并记对应00,xy的参数的值为0，则 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 000000(,)0(,)0 xyFxyFxy， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0 xxyyfxyxyfxyxy . 消去0，得 00000000(,)(,)(,)(,)0 xyyxfxyxyfxyxy, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)xyxyfxyf
10、xyxyxy.（因为( , )0yx y） ， 若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.故选（）. （11）设12,s 均为n维列向量，A为m n矩阵，下列选项正确的是 (A) 若12,s 线性相关，则12,sAAA线性相关. (B) 若12,s 线性相关，则12,sAAA线性无关. (C) 若12,s 线性无关，则12,sAAA线性相关. (D) 若12,s 线性无关，则12,sAAA线性无关. C 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,)sB ，则12(,)sAAAAB. 所以，若向量组12,s 线性相关，则( )r Bs，从而(
11、)( )r ABr Bs，向量组12,sAAA也线性相关，故应选(). （12）设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 行加到第 1 行得B，再将B的第 1 列的1倍加到第 2列得C，记110010001P，则 （）1CP AP. （）1CPAP. （）TCP AP. （）TCPAP. 【分析】 利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】 由题设可得 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 110110110110010,010010010001001001001BACBA， 而 1110010001P，则有1CPAP.故
12、应选（）. （13）设,A B为随机事件，且( )0, (|)1P BP A B，则必有 (A) ()()P ABP A (B) ()( )P ABP B (C) ()( )P ABP A (D) ()( )P ABP B B 【分析】 利用事件和的运算和条件概率的概念即可. 【详解】 由题设，知 ()(|)1( )P ABP A BP B，即()( )P ABP A. 又 ()( )( )()( )P ABP AP BP ABP A. 故应选(). （14）设随机变量X服从正态分布211(,)N ，Y服从正态分布222(,)N ，且 1211P XP Y 则必有 (A) 12 (B) 12
13、(C) 12 (D) 12 D 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得 12112211XYPP， 则 12112121 ，即1211 . 其中( )x是标准正态分布的分布函数. 又( )x是单调不减函数，则1211，即12. 故选(A). 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 三 、解答题：1523 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分 10 分） 设区域22( , )1,0Dx y xyx， 计算二重积分221d d .1Dxyx yxy 【分析】 由于积分
14、区域D关于x轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可. 【详解】 积分区域D如右图所示.因为区域D关于x轴对称， 函数221( , )1f x yxy是变量y的偶函数， 函数22( , )1xyg x yxy是变量y的奇函数. 则 112222220011ln2d d2d d2dd1112DDrx yx yrxyxyr22d d01Dxyx yxy， 故 22222211ln2d dd dd d1112DDDxyxyx yx yx yxyxyxy. （16） （本题满分 12 分） 设数列 nx满足110,sin(1,2,)
15、nnxxx n （）证明limnnx存在，并求该极限； （）计算211limnxnnnxx. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （）的计算需利用（）的结果. 【详解】 （）因为10 x，则210sin1xx . 可推得 10sin1,1,2,nnxxn ，则数列 nx有界. 于是 1sin1nnnnxxxx， （因当0sinxxx时，） ， 则有1nnxx， 可见数列 nx单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limnnx存在. 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 设limn
16、nxl， 在1s i nnnxx两边令n， 得 sinll， 解得0l ， 即l i m0nnx. （） 因 22111sinlimlimnnxxnnnnnnxxxx，由（）知该极限为1型， 令ntx，则,0nt，而 222sin111111sin1000sinsinsinlimlim 11lim11tttttttttttttttt， 又 23300001sinsincos1sin1lim1limlimlim366tttttttttttttt . （利用了sin x的麦克劳林展开式） 故 2211116sinlimlimennxxnnnnnnxxxx. （17） （本题满分 12 分） 将函数
17、2( )2xf xxx展成x的幂级数. 【分析】 利用常见函数的幂级数展开式. 【详解】 2( )2(2)(1)21xxABf xxxxxxx， 比较两边系数可得21,33AB ，即121111( )3 213112f xxxxx. 而 01( 1),( 1,1)1nnnxxx ，01,( 2,2)212nnxxx ， 故120001111( )( 1)( 1),( 1,1)23232nnnnnnnnnnxf xxxxxxx . （18） （本题满分 12 分） 设函数( )f u在(0,)内具有二阶导数，且22zfxy满足等式 22220zzxy. 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威
18、考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 （I）验证( )( )0f ufuu； （II）若(1)0,(1)1ff ，求函数( )f u的表达式. 【分析】 利用复合函数偏导数计算方法求出2222,zzxy代入22220zzxy即可得（I）.按常规方法解（II）即可. 【详解】 （I） 设22uxy，则 2222( ),( )zxzyf uf uxyxyxy. 2222222222222( )( )xxyxyzxxfuf uxxyxyxy 22322222( )( )xyfuf uxyxy， 2223222222( )( )zyxfuf uyxyxy. 将2222,zzxy代入2222
19、0zzxy得 ( )( )0f ufuu. （II） 令( )f up，则dd0ppupupu ，两边积分得 1lnlnlnpuC ，即1Cpu，亦即 1( )Cf uu. 由(1)1f 可得 11C .所以有 1( )f uu，两边积分得 2( )lnf uuC， 由(1)0f可得 20C ，故 ( )lnf uu. （19） （本题满分 12 分） 设在上半平面( , )|0Dx yy内，函数( , )f x y具有连续偏导数，且对任意的0t 都有2( ,)( , )f tx tytf x y. 证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威
20、考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 ( , )d( , )d0Lyf x yxxf x yy. 【分析】 利用曲线积分与路径无关的条件QPxy. 【详解】 2( ,)( , )f tx tytf x y两边对t求导得 3( ,)( ,)2( , )xyxf tx tyyf tx tytf x y . 令 1t ，则 ( , )( , )2 ( , )xyxfx yyfx yf x y . 设( , )( , ),( , )( , )P x yyf x y Q x yxf x y，则 ( , )( , ),( , )( , )xyQPf x yxfx yf x yyfx yxy .
21、 则由可得 QPxy. 故由曲线积分与路径无关的定理可知， 对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有 ( , )d( , )d0Lyf x yxxf x yy. （20） （本题满分 9 分） 已知非齐次线性方程组 1234123412341435131xxxxxxxxaxxxbx 有 3 个线性无关的解. （）证明方程组系数矩阵A的秩 2r A ； （）求, a b的值及方程组的通解. 【分析分析】 （I）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明； （II）利用初等变换求矩阵A的秩确定参数, a b，然后解方程组. 【详解】 （I） 设123, 是方程组Ax的 3 个线性无关的解，其中 11
22、1114351 ,1131Aab . 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 则有 1213()0, ()0AA. 则 1213, 是对应齐次线性方程组0Ax 的解，且线性无关.（否则，易推出123, 线性相关，矛盾）. 所以 ( )2nr A，即4( )2( )2r Ar A. 又矩阵A中有一个 2 阶子式111043 ，所以( )2r A . 因此 ( )2r A . （II） 因为 11111111111143510115011513013004245Aabaabaaba. 又( )2r A ，则 42024503aabab . 对原方
23、程组的增广矩阵A施行初等行变换， 111111024243511011532133100000A， 故原方程组与下面的方程组同解. 13423424253xxxxxx . 选34,x x为自由变量，则 134234334424253xxxxxxxxxx . 故所求通解为 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 12242153100010 xkk，12,k k为任意常数. （21） （本题满分 9 分） 设 3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为 3,向量TT121,2, 1,0, 1,1 是线性方程组0Ax 的两个解. () 求A的特征值与特
24、征向量； () 求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQ AQ . 【分析】 由矩阵A的各行元素之和均为 3 及矩阵乘法可得矩阵A的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax 有非零解可知A必有零特征值，其非零解是 0 特征值所对应的特征向量.将A的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q. 【详解】 () 因为矩阵A的各行元素之和均为 3，所以 131133 1131A ， 则由特征值和特征向量的定义知，3是矩阵A的特征值，T(1,1,1)是对应的特征向量.对应3的全部特征向量为k，其中k为不为零的常数. 又由题设知 120,0AA，即11220,0AA ，而且12, 线性无关，所以0是矩阵A
25、的二重特征值，12, 是其对应的特征向量，对应0的全部特征向量为 1122kk，其中12,k k为不全为零的常数. () 因为A是实对称矩阵，所以与12, 正交，所以只需将12, 正交. 取 11， 21221111012,3120,61112 . 再将12, 单位化，得 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 121231211136212,036111236 ， 令 123,Q ，则1TQQ，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得 T300Q AQ . （22） （本题满分 9 分） 设随机变量X的概率密度为 1, 1021,0240,Xxf
26、xx 其他， 令2,YXF x y为二维随机变量(, )X Y的分布函数. () 求Y的概率密度 Yfy () 1,42F. 【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算. 【详解】 （I）设Y的分布函数为( )YFy，即2( )()()YFyP YyP Xy，则 1) 当0y 时，( )0YFy ； 2) 当01y时， 2( )()YFyP XyPyXy 00113dd244yyxxy. 3) 当14y时，2( )()1YFyP XyPXy 0101111dd2442yxxy. 4) 当4y ，( )1YFy . 中国教育在线（中国教育在线（）
27、中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 所以 3,0181( )( ),1480,YYyyfyFyyy其他. （II） 1,42F211,4,422P XYP XX 11, 22222P XXPX 12111d24x. （23） （本题满分 9 分） 设总体X的概率密度为 ,01,;1,12,0,xf xx其他, 其中是未知参数01，12n,.,XXX为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值12,.,nx xx中小于 1 的个数，求的最大似然估计. 【分析】 先写出似然函数，然后用最大似然估计法计算的最大似然估计. 【详解】 记似然函数为( )L，则 ( )111(1)Nn NNn NL 个个. 两边取对数得 ln ( )ln()ln(1)LNnN， 令dln ( )0d1LNnN，解得Nn为的最大似然估计.