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1、2020 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上（1）当0 x，下列无穷小量中最高阶的是（A）20(1)xtedt（B）30ln(1)xt dt（C）sin20sinxt dt（D）1 cos30sinxtdt【答案】【答案】 （D） （2）设函数( )f x在区间( 1,1)有定义，且0lim( )0 xf x，则（）（A）当0( )lim0 xf xx时，( )f x在0 x 处可导（B）当20( )lim0 xf xx时，( )f x在0 x
2、 处可导（C）( )f x在0 x 处可导时，0( )lim0 xf xx（D）( )f x在0 x 处可导时，20( )lim0 xf xx【答案】【答案】 （C） （3）( , )f x y在0 0，可微，(0,0)0f，(0,0), 1xynff，非0向量n，则（）（A）22( , )(0,0)( , ,( , )lim+x ynx y f x yxy存在（B）22( , )(0,0)( , ,( , )lim+x ynx x y f x yxy存在（C）22( , )(0,0)( , ,( , )lim+x yx y f x yxy存在（D）22( , )(0,0)( , ,( , )
3、lim+x yx x y f x yxy存在【答案】【答案】 （A） （4）R为1nnna x收敛，r为实数，则（）旺旺i d 河北师大研胜教育（A）221nnna x发散，则rR（B）221nnna x收敛，则rR（C）rR，221nnna x发散（D）rR，则221nnna x收敛【答案】【答案】 （A） （5）若矩阵A由初等列变换为矩阵B，则（）（A）存在矩阵P，使PAB；（B）存在矩阵P，使BPA；（C）存在矩阵P，使PBA；（D）方程组0AX 与=0BX同解；【答案】【答案】 （B） （6）已知22211113332322:xaybzclabcxaybzclabc相交于一点，令iii
4、iabc，1,2,3i ，则（）（A）1可由2，3线性表示（B）2可由1，3线性表示（C）3可由1，2线性表示（D）123, 线性无关【答案】【答案】 （C） （7） 121, 0,41BCPACPABPCPBPAP，则CBA,恰好发生一个的概率为（）（A）43（B）32（C）21（D）512【答案】【答案】 （D） （8）设为12100,.,x xx来自总体X的简单随机样本，其中1012P xP x，( ) x表示标准正态分布函旺旺i d 河北师大研胜教育数，则由中心极限定理可知，100155iPx的近似值为（）（A）1(1)（B）(1)（C）1(0.2)（D）(0.2)【答案】【答案】 （
5、B） 旺旺i d 河北师大研胜教育二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上（9）011lim1ln 1xxex【答案】1（10）设221ln1xtytt,则221td ydx【答案】2（ 11 ） 设 函 数 f x满 足 ( )0fxafxf x0a , 且 0fm, 0fn, 则 0f x dx【答案】amn（12）设函数20,xyxtf x yedt,则21,1fx y 【答案】4e（13）行列式011011110110aaaa【答案】【答案】424aa（14）已知随机变量X服从区间,2 2 上的均匀分布,sinYX,则,Cov X Y 【答案】
6、【答案】2旺旺i d 河北师大研胜教育三、解答题：1523 小题，共 94 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将答案写在答题纸指定位置上（15） （本题满分 10 分）求函数33,8f x yxyxy的极值.【详解】【详解】22=300=2400 xyfxyxfyxy或或16112xy又又6148xxxyyyfxffy 当当00 xy时时010ABC ,.2=-10611012xACBAy ，为极小值点极小值为，为极小值点极小值为111( ,)6 12216f （16） （本题满分 10 分）计算2222444LxyxyIdxdyxyxy,其中L为222xy,方向为逆时针方向.【详解】
7、【详解】补曲线2221:4Lxy，逆时针方向11LQPIPdxQdydxdyxy222222222222222222224()884=,(4)(4)(4)2 (4)84(4)(4)QxyxyxyxyxxxyxyPxyyxyyxyxyxyxy，旺旺i d 河北师大研胜教育1112222224=441 =(4)()1 1 ( 1) =LLxyxyIdxdyxyxyxy dxxy dydxdy （17） （本题满分 10 分）设数列 na满足11a ,11(1)2nnnana.证明:当1x 时幂级数1nnna x收敛并求其和函数.【详解】【详解】 （）112limlim11nnnnnaan则1=1R
8、，所以当1x 时，幂级数1nnna x收敛.（）令1( )nnnS xa x,1111101111( )(1)(1)11 = ()11221 = ( )( ) 12nnnnnnnnnnnnnnnnnnS xna xnaxnaxana xna xa xxS xS x 11(1) ( )2( )2( ) 2( )2(1)1 ln 2( )ln 1ln2 2( )1x S xS xdS xdxS xxS xxCCS xx 因为(0)0S，所以和函数：2( )2, ( 11)1S xxx .（18） （本题满分 10 分）旺旺i d 河北师大研胜教育设为曲面2222(14)zxyxy下侧, f x为连
9、续函数.计算2()2Ixf xyxy dydzyf xyyx dzdxzf xyz dxdy.【详解】将曲面【详解】将曲面22Zxy向向xoy面投影得面投影得xyDxyD为为2214xy，又，又2222,xyxyZZxyxy2222()2()()2()()xyxyDIxf xyxyZyf xyyxZxy f xyxydxdy 22222221()2()2 ()1xyDxf xyxxyy f xyyxyxyf xydxdyxy 2222222222()2+()xyxyDDxy f xyxyxy f xyxy dxdyxy dxdy 2201143dr rdr（19） （本题满分 10 分）设函数
10、 f x在0,2上具有连续导数. 020ff, 0,2maxxMf x.证:(1)存在0,2使 fM(2)若对任意0,2x, fxM,则0M .【详解】【详解】 （）证明:(1)0M 时,则( )0f x ,显然成立.0M 时,不妨设在点( (0,2)c 处取得最大值|( )|f cM.由拉格朗日中值定理得,存在1(0, )c,使得1( )(0)| ( )|=0f cfMfcc;存在2( ,2)c,使得2(2)( )| ()|22ff cMfcc;旺旺i d 河北师大研胜教育所以22(1)()()02(2)MMcMMMcccc ,即M介于Mc与2Mc之间,从而有1| ()|fM或2()|fM,
11、结论得证.（）当1c 时,采用反证法,假设0M .则1| ( )|fM或2| ()|fM,与已知矛盾,假设不成立.当1c 时,此时|(1)|fM,易知(1)0f .设( )( )G xf xMx,01x;则有( )( )0G xfxM,从而( )G x单调递减.又(0)(1)0GG,从而( )0G x ,即( )f xMx,01x.因此(1)fM,从而0M .综上所述,最终0M （20） （本题满分 11 分）设二次型22121122,44fx xxx xx经正交变化1122xyQxy化为二次型22121122,46g y yayx xy,其中ab.(1) 求a,b的值(2) 求正交变换矩阵Q
12、【详解】【详解】 （）设Tfx Ax，其中1224A，经正交变换xQy，TTTfy Q AQyy By，其中22aBb；可知1TQ AQQ AQB,即A相似于B,则 tr Atr BAB解得4,1ab；（）设111122,P APPBP ,则1111212()PPA PPB,因此112QPP;旺旺i d 河北师大研胜教育由12024EA，解出120,5；121202400EA,故12,1T;422152100EA，故21, 2T；12112P;422102100EB,故11, 2T；121252400EB,故22,1T;21221P;综上所述，11243553455QPP .（21） （本题满
13、分 11 分）设A为 2 阶矩阵,PA,其中是非零向量且不是A的特征向量.(1)证明P为可逆矩阵.(2)若260AA,求1P AP,并判断A是否相似于对角矩阵.【详解】【详解】 （）不是特征向量且不是特征向量且0，则，则Ak，即，即,A 线性无关，所以线性无关，所以( )2r P ，矩阵，矩阵P可逆可逆.（）设1P APB，则APPB，即2( ,)(,)= (,6)06 = ( ,)11AAAAAAA所以所以10611P APB，则AB，6(3)(2)011EB123,2 ，因为12，所以B可以相似对角化，则A可以相似对角化.旺旺i d 河北师大研胜教育（22） （本题满分 11 分）设 随
14、机 变 量123,XXX相 互 独 立 ， 其 中1X与2X均 服 从 标 准 正 态 分 布 ，3X的 概 率 分 布 为331012P XP X,3132(1)YX XXX。（1）求二维随机变量YX ,1的分布函数，结果用标准正态分布( ) x表示；（2）证明随机变量Y服从标准正态分布。【详解】【详解】 （）11211,11,22F x yP Xx YyP Xx XyP Xx Xy 11min,2211+,211+,2xyx yxyxyyxxy(2) 1,1( )(, )1+2YX YFyFyyy ,故Y服从标准正态分布.（23） （本题满分 11 分）设某种元件的使用寿命T的分布函数为(
15、)1,0( )0,mtetF t其它，其中m，为参数且大于零。（1）求概率P Tt与P Tst Ts，其中0,0st；（2）任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为1, 2,.,nt tt，若m已知，求的最大似然估计值。【详解】【详解】 （） 11mtP TtP TtF te ，旺旺i d 河北师大研胜教育,|mmms tss tsP Tts TseP Tts TseP Tse ；（）求得密度函数 1,00,0mtmmmtetf tt，故可构造似然函数为 1111 2nmimitmnmnnLmt tte，取对数 1 211lnln1 lnlnnmnimiLnmmt ttmnt求导可得 11ln10nmimidLmnmtd ,解出的极大似然估计为11nmmiitn.旺旺i d 河北师大研胜教育