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1、中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 2007 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析 一、选择题：一、选择题：(本题共本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分. 每小题给出的四个选项中，只有一每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 当0 x时，与x等价的无穷小量是 (A) 1xe. (B) 1ln1xx. (C) 11x. (D) 1 cosx. B 【分析】 利用已知无穷
2、小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当0 x时，有1(1) xxeex ；1112xx； 2111 cos().22xxx 利用排除法知应选(B). (2) 曲线1ln(1)xyex，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. D 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为01limln(1)xxex ，所以0 x 为垂直渐近线； 又又 1limln(1)0 xxex，所以 y=0 为水平渐近线； 进一步，21ln(1)ln(1)limlimlimxxxx
3、xyeexxxx=lim11xxxee， 1lim1limln(1)xxxyxexx =limln(1)xxex =limln(1)lim ln(1)0 xxxxxeexe， 于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D). (3) 如图，连续函数 y=f(x)在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间2，0，0，2的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设0( )( ).xF xf t dt则下列结论正确的是 (A) 3(3)( 2)4FF . (B) 5(3)(2)4FF. (C) )2(43)3(FF . (D) )2(45)3( FF. C 【分析】 本题考查定积
4、分的几何意义，应注意 f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。 【详解】 根据定积分的几何意义，知 F(2)为半径是 1 的半圆面积：1(2)2F， 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 F(3)是两个半圆面积之差：22113(3)1( ) 228F=3(2)4F， 0330)()()3(dxxfdxxfF)3()(30Fdxxf 因此应选(C). (4) 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是 (A) 若0( )limxf xx存在，则 f(0)=0. (B) 若0( )()limxf xfxx存在，则
5、 f(0)=0. (C) 若0( )limxf xx存在，则(0)f 存在. (D) 若0( )()limxf xfxx存在，则(0)f 存在 D 【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。 【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为 0， 因此分子的极限也必须为 0， 均可推导出 f(0)=0. 若0( )limxf xx存在，则00( )(0)( )(0)0,(0)limlim00 xxf xff xffxx，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：( )f xx在 x=0 处连续，且 0( )()limxf xfxx=0lim
6、0 xxxx 存在，但( )f xx在 x=0 处不可导。 (5) 设函数 f (x)在(0,)上具有二阶导数，且( )0.fx 令) , 2 , 1)( nnfun, 则下列结论正确的是 (A) 若12uu，则 nu必收敛. (B) 若12uu，则 nu必发散. (C) 若12uu，则 nu必收敛. (D) 若12uu，则 nu必发散. D 【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。 【详解】 设 f(x)=2x, 则 f (x)在(0,)上具有二阶导数，且12( )0,fxuu，但2nun发 散 ， 排 除 (C); 设 f(x)=1x, 则 f(x) 在(0,)上 具 有 二 阶
7、 导 数 ， 且12( )0,fxuu，但1 nun收敛，排除(B); 又若设( )lnf xx ，则 f(x)在(0,)上具有二阶导数，且12( )0,fxuu，但 ln nun 发散，排除(A). 故应选(D). (6) 设曲线:( , )1( ( , )L f x yf x y具有一阶连续偏导数)，过第 II 象限内的点 M 和第 IV象限内的点 N，T 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列小于零的是 (A) ( , )Tf x y dx. (B) ( , )Tf x y dy. (C) ( , )Tf x y ds. (D) ( , )( , )xyTfx y dxfx y
8、dy. B 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。 【详解】 设 M 、 N 点的坐标分别为11221212( ,),(,),M x yN xyxxyy. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有： 21( , )0TTf x y dxdxxx; 21( , )0TTf x y dydyyy; ( , )0TTf x y dsdss; ( , )( , )( , )0 xyTTfx y dxfx y dydf x y. 故正确选项为(B). (7) 设向量组321,线性无关，则下列向量组线性
9、相关的是 (A) 133221, . (B) 133221, . (C) 1332212,2,2 . (D) 1332212,2,2 . A 【详解】用定义进行判定:令 0)()()(133322211 xxx， 得 0)()()(332221131 xxxxxx. 因321,线性无关，所以 1312230,0,0.xxxxxx 又 0110011101 ， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即133221, 线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的. (8) 设矩阵 211121112A, 000010001B, 则 A 与 B (A) 合同, 且相似. (B)
10、合同, 但不相似 . (C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. B 【详解】 由0| AE 得 A 的特征值为 0, 3, 3, 而 B 的特征值为 0, 1, 1,从而 A 与 B不相似. 又 r(A)=r(B)=2, 且 A、B 有相同的正惯性指数, 因此 A 与 B 合同. 故选(B) . (9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p(0p1), 则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 (A) 2)1 (3pp (B) 2)1 (6pp . 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 (C)
11、 22)1 (3pp (D) 22)1 (6pp C 【详解】 “第 4 次射击恰好第 2 次命中”表示 4 次射击中第 4 次命中目标, 前 3 次射击中有 1 次命中目标, 由独立重复性知所求概率为：2213)1 (ppC . 故选(C) . (10) 设随机变量(,)服从二维正态分布， 且与不相关，)()(yfxfYX分别表示，的概率密度，则在y 的条件下，的条件概率密度)|(|yxfYX为 (A) )(xfX (B) )(yfY (C ) )()(yfxfYX. (D) )()(yfxfYX A 【详解】 因(,)服从二维正态分布，且与不相关，故与相互独立，于是 )|(|yxfYX=)
12、(xfX. 因此选(A) . 二、填空题二、填空题：(1116 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上) (11) 12311xe dxx= 121.2e 【分析】 先作变量代换，再分部积分。 【详解】 111213213211211()txttxe dxt edtte dtxt =111121112221.2ttttdetee dte (12) 设 f(u,v)为二元可微函数，(,)yxzf xy，则zx=112ln .yxfyxfyy 【详解】 利用复合函数求偏导公式，有zx=112ln .yxfyxfyy (13) 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方
13、程2432xyyye的 通 解 为32122.xxxyCeC ee 其中21,CC为任意常数. 【详解】 特征方程为 2430 ，解得121,3. 可见对应齐次线性微分方程430yyy的通解为 312.xxyCeC e 设非齐次线性微分方程2432xyyye的特解为*2xyke，代入非齐次方程可得 k= 2. 故通解为32122.xxxyCeC ee (14) 设曲面:1xyz，则dSyx |)|(= 43.3 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 【详解】 由于曲面关于平面 x=0 对称，因此dSx =0. 又曲面:1xyz具有轮换对称性
14、，于是 dSyx |)|(=dSy |=dSx |=dSz |=dSzyx |)|(|31 =dS 3123831 =43.3 (15) 设矩阵 0000100001000010A, 则3A的秩为 1. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得 00000000000010003A, 故 r(3A)=1. (16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于21的概率为43 【详解】 这是一个几何概型, 设 x, y 为所取的两个数, 则样本空间 1,0| ),( yxyx, 记21| ,),( | ),( yxyxyxA. 故 SSAPA )(43143 ，其中SSA,分别表示 A
15、与 的面积. 三、解答题三、解答题：(1724 小题，共 86 分. ) (17) (本题满分 11 分) 求函数2222( , )2f x yxyx y在区域22( , )4,0Dx y xyy上的最大值和最小值。 【分析】 由于 D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。 【详解】 因为 2( , )22xfx yxxy，2( , )42yfx yyx y，解方程： 22220,420 xyfxxyfyx y 得开区域内的可能极值点为(2,1). 其对应函数值为(2,1)2.f 又当 y=0 时，2( , )f x yx在22x 上的最大值为 4，最小值为 0
16、. 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 当224,0, 22xyyx ，构造拉格朗日函数 222222( ,)2(4 )F x yxyx yxy 解方程组 22222220,4220,40,xyFxxyxFyx yyFxy 得可能极值点：53(0,2),(,)22，其对应函数值为537(0,2)8,(,).224ff 比较函数值72,0,4,8,4，知 f(x, y)在区域 D 上的最大值为 8，最小值为 0. (18) (本题满分 10 分) 计算曲面积分 23,Ixzdydzzydzdxxydxdy 其中为曲面221(01)4yzxz
17、 的上侧。 【分析】 本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。 【详解】 补充曲面：221:1,04yxz，取下侧. 则 123Ixzdydzzydzdxxydxdy123xzdydzzydzdxxydxdy =(2 )3Dzz dxdydzxydxdy 其中为与1所围成的空间区域，D 为平面区域2214yx . 由于区域 D 关于 x 轴对称，因此30Dxydxdy . 又 (2 )3zz dxdydzzdxdy=1100332 (1).zDzdzdxdyzz dz 其中zD22:14yxz . (19) (本题满分本
18、题满分 11 分分) 设函数 f(x), g(x)在a, b上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在( , )a b，使得( )( ).fg 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 【分析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令( )( )( )F xf xg x，则问题转化为证明( )0F, 只需对( )F x用罗尔定理，关键是找到( )F x的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用 F(a)=F(b)=0, 若能再找一
19、点( , )ca b，使得( )0F c ，则在区间 , , , a cc b上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对( )F x用罗尔定理即可。 【证明】 构造辅助函数( )( )( )F xf xg x， 由题设有 F(a)=F(b)=0. 又 f(x), g(x)在(a, b)内具有相等的最大值, 不妨设存在21xx , ),(,21baxx 使得 12 , , ( )max( ), ()max ( )a ba bf xMf x g xMg x， 若21xx ，令1xc , 则( )0.F c 若21xx ，因111222( )( )( )0,()()()0F xf xg xF x
20、f xg x，从而存在 12 ,( , )cx xa b，使( )0.F c 在区间 , , , a cc b上分别利用罗尔定理知，存在12( , ),( , )a cc b，使得 12( )()0FF. 再对( )F x在区间12 , 上应用罗尔定理，知存在12( ,)( , )a b ，有 ( )0F， 即 ( )( ) .fg (20) (本题满分本题满分 10 分分) 设幂级数0nnna x在(,) 内收敛，其和函数 y(x)满足 240, (0)0,(0)1.yxyyyy (I) 证明：22,1,2,;1nnaa nn (II) 求 y(x)的表达式. 【分析】 先将和函数求一阶、二
21、阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。 【详解】 (I)记 y(x)=0nnna x, 则1212,(1),nnnnnnyna xyn na x代入微分方程240,yxyy有 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 2210(1)240,nnnnnnnnnn na xna xa x 即 2000(2 ) (1)240 ,nnnnnnnnnnnaxn a xa x 故有 2(2 ) (1)240,nnnnnan aa 即 22,1, 2 ,;1nnaa nn (II) 由 初 始 条 件(0)0,(0)1yy知 ，010,1.aa 于
22、是 根 据 递 推 关 系 式22,1nnaan 有22110,.!nnaan 故 y(x)=0nnna x =21212001!nnnnnaxxn=2201().!nxnxxxen (21) (本题满分 11 分) 设线性方程组 04,02,03221321321xaxxaxxxxxx 与方程 12321 axxx 有公共解，求 a 的值及所有公共解 【分析】 两个方程有公共解就是与联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将与联立得非齐次线性方程组: . 12, 04, 02, 03213221321321axxxxaxxaxxxxxx 若此非齐次线性方程组有解, 则与有公共解, 且的解
23、即为所求全部公共解. 对的增广矩阵A作初等行变换得: 112104102101112aaaA 11000) 1)(2(0001100111aaaaa. 于是 1 当 a=1 时，有)()(ArAr =23，方程组有解, 即与有公共解, 其全部公共中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 解即为的通解，此时 0000000000100101A， 此时方程组为齐次线性方程组，其基础解系为: 101, 所以与的全部公共解为 101k，k 为任意常数. 2 当 a =2 时，有)()(ArAr =3，方程组有唯一解, 此时 00001100101000
24、01A，故方程组的解为: 011, 即与有唯一公共解: 为123011xxxx. (22) (本题满分 11 分) 设 3 阶对称矩阵的特征值, 2, 2, 1321 T) 1 , 1, 1 (1 是的属于1的一个特征向量,记EAAB 354其中E为 3 阶单位矩阵. (I) 验证1是矩阵的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量 (II) 求矩阵 【分析】 根据特征值的性质可立即得 B 的特征值, 然后由 B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量. 【详解】 (I) 由11 A 得 1112 AA, 进一步 113 A, 115 A， 故 1351)4(EAAB 113154 A
25、A 1114 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 12 ， 从而1是矩阵的属于特征值2 的特征向量. 因EAAB 354, 及的 3 个特征值, 2, 2, 1321 得 B 的 3 个特征值为1, 1, 2321 . 设32,为 B 的属于132 的两个线性无关的特征向量, 又 为对称矩阵，得 B 也是对称矩阵, 因此1与32,正交, 即 0, 03121 TT 所以32,可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解： 0) 1 , 1, 1 (321 xxx, 其基础解系为: 011, 101 , 故可取2= 011, 3= 101. 即
26、 B 的全部特征值的特征向量为: 1111k, 10101132kk, 其中01 k,是不为零的任意常数, 32,kk是不同时为零的任意常数. (II) 令),(321 P= 101011111, 则 1121BPP， 得 1112 PPB = 101011111 112 21112111131 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 = 102012112 21112111131 011101110. (23) (本题满分 11 分) 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 2,01,01,( , )0,xyxyf x y其它. (I) 求
27、 YXP2 ； (II) 求 Z+的概率密度)(zfZ. 【详解】 (I) YXP2 yxdxdyyxf2),( 12210)2(ydxyxdy247 . ( II) 先求 Z 的分布函数: zyxZdxdyyxfZYXPzF),()()( 当 Z0 时, 0)( zFZ; 当10 z时, 1),()(DZdxdyyxfzF yzzdxyxdy00)2( 3231zz ； 当21 z时, 2),(1)(DZdxdyyxfzF 111)2(1yzzdxyxdy 3)2(311z ； 当2 z时, 1)( zFZ. 故 Z+的概率密度为 )(zfZ=)(zFZ ., 0, 21,)2(, 10,2
28、22其他zzzzz (24) (数 1, 3)(本题满分 11 分) 设总体 X 的概率密度为 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 .,0, 1,)1(21,0,21),(其他xxxf 其中参数(01)未知, nXXX21,是来自总体 X 的简单随机样本, X是样本均值 (I) 求参数的矩估计量； (II) 判断24X是否为2的无偏估计量,并说明理由. 【详解】 (I) dxxxfXE),()( dxxdxx 10)1 (22 .412)1 (414 令 X 412, 其中 niiXnX11， 解方程得的矩估计量为: =212 X. (II) )()( 4)(4)4(222XEXDXEXE )()( 42XEnXD , 而dxxfxXE),()(22 dxxdxx 1202)1 (22 .616132 )()()(22XEXEXD 22)4121(61613 4851211212 ， 故)4(2XE)()( 42XEnXD nnnnnn1253133132 2 , 所以24X不是2的无偏估计量.