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1、郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 1 页 2008 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考数学试题参考答案答案和评分和评分参考参考 数数 学（一）学（一） 一选择题一选择题 ( 1 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.) （1）设函数20( )ln(2)xf xt dt，则( )fx的零点个数为 （B） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）函数( , )arctanxf x yy在点（0，1）处的梯度等于 （A） （A）i （B）i （C）j （D）j （3）在下列微分方程
2、中，以123cos2sin2xyCeCxCx（123,C C C为任意常数）为通解的是 （D） （A）044 yyyy. （B）044 yyyy （C）044 yyyy. （D）044 yyyy （4）设函数( )f x在(,) 内单调有界，nx为数列，下列命题正确的是 （B） （A）若nx收敛，则 ()nf x收敛. (B) 若nx单调，则 ()nf x收敛. (C) 若 ()nf x收敛，则nx收敛. (D) 若 ()nf x单调，则nx收敛. （5） 设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵， 若03A， 则 （C） （A）EA不可逆，EA不可逆. （B）EA不可逆，EA可逆
3、. （C）EA可逆，EA可逆. （D）EA可逆，EA不可逆 （6）设 A 为 3 阶非零矩阵，如果二次曲面方程 ( , , )1xx y z A yz 在正交变换下的标准方程 的图形如图，则 A 的正特征值个数为 （B） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （7） 随机变量X， Y 独立同分布， 且X 的分布函数为 F(x)， 则 Z=maxX, Y分布函数为 （A） （A）)(2xF； （B）)()(yFxF； （C）2)(1 1xF； （D）)(1)(1 yFxF （8） 随机变量(0,1),(1,4)XNYN， 且相关系数1XY， 则 （D） （A）211P YX （B）211P Y
4、X （C）211P YX （D）211P YX 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 2 页 二、填空题： （二、填空题： （914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.） (9) 微分方程0 xyy满足条件(1)1y的解是yx/1 (10) 曲线sin()ln()xyyxx在点（0，1）处的切线方程是1 xy. (11) 已知幂级数0(2)nnna x在0 x 处收敛， 在4x 处发散， 则幂级数0(3)nnna x的收敛域为5 , 1 (12) 设曲面是224zxy的上侧，则dxdyxxdzdxxydydz2=4 (1
5、3) 设 A 为 2 阶矩阵，21,为线性无关的 2 维列向量，12120,2AaAaaa则 A 的非零特征值为_1_ (14) 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则2EXXP=e21 三、解答题三、解答题 ( 15 23 小题，共小题，共 94 分分. ) (15)（本题满分本题满分 9 分分） 求极限40sinsin(sin )sinlimxxxxx 解：解： 3040sinsinsinlimsinsinsinsinlimxxxxxxxxx 2 分 20203sincos1lim3cossincoscoslimxxxxxxxx 6 分 613sinlim22210 xxx 9 分
6、 (16)（本题满分本题满分 9 分分） 计算曲线积分2sin22(1)Lxdxxydy，其中 L 是曲线sinyx上从点（0，0）到点( ,0)的一段. 解法解法 1：022cossin122sin122sindxxxxxydyxxdxL dxxx022sin 4分 0022c o s2c o s2x d xxxx 6 分 22s in212s in222002x d xxx 9 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 3 页 解法解法 2：取1L为x轴上从点0 ,到点0 , 0的一段，D是由L与1L围成的区域 11) 1(22sin)
7、1(22sin122sin222LLLLydyxxdxydyxxdxydyxxdx2 分 02sin4xdxxydxdyD 5 分 0020sin00)2cos1 (sin22cos214dxxxxdxxxxydydxx 22sin212sin2220002xdxxxx 9 分 (17)（本题满分本题满分 11 分分） 已知曲线22220:35xyzCxyz，求 C 上距离xOy面最远的点和最近的点. 解：解：点),(zyx到xOy面的距离为z，故求C上距离xOy面最远点和最近点的坐标，等价于求函数2zH 在条件02222zyx与53 zyx下的最大值点和最小值点. 3 分 令)53()2()
8、,(2222zyxzyxzzyxL 5 分 由530203420202222zyxzyxzzLyLxLzyx 7 分 得yx ，从而53202222zxzx ，解得555zyx或111zyx 10 分 根据几何意义， 曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点， 故所求点依次为)5 , 5, 5(和) 1 , 1 , 1 ( 11 分 (18)（本题满分本题满分 10 分分） 设( )f x是连续函数， (I) 利用定义证明函数xdttfxF0)()(可导，且( )( )F xf x； (II) 当( )f x是以 2 为周期的周期函数时，证明函数200)()(2)(dttfxdttfxGx也
9、是以 2 为周期的周期函数. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 4 页 (I) 证：证：对任意的x，由于( )f x是连续函数，所以 xdttfxdttfdttfxxFxxFxxxxxxxxx)(lim)()(lim)()(lim00000 2分 )(lim)(lim00fxxfxx （其中介于x与xx之间） 由)()(lim0 xffx，可知函数)(xF在x处可导，且)()(xfxF 5 分 (II) 证法证法 1：要证明)(xG以 2 为周期，即要证明对任意的x，都有)()2(xGxG，记)()2()(xGxGxH，则 2220000
10、( )2( )(2)( )2( )( )xxH xf t dtxf t dtf t dtxf t dt 0)()(2)()2(22020dttfxfdttfxf 8分 又因为00)(2)(2)0()2()0(2020dttfdttfGGH 所以0)(xH，即)()2(xGxG 10 分 证法证法 2：由于( )f x是以 2 为周期的连续函数，所以对任意的x，有 200020)()(2)()2()(2)()2(xxxdttfxdttfdttfxdttfxGxG xxxxdttfduufdttfdttfdttfdttf002002022)()2(2)()()()(28 分 0)()2(20 xd
11、ttftf 即)(xG是以 2 为周期的周期函数. 10 分 (19)（本题满分本题满分 11 分分） 将函数21)(xxf，)0( x展开成余弦级数，并求级数121( 1)nnn的和. 解：解：由于0220322)1 (2dxxa 2 分 , 2 , 1,) 1(4cos)1 (21202nnnxdxxann 5 分 所以nxnnxaaxfnnnncos) 1(431cos2)(121210， x0， 7 分 令0 x，有1212) 1(431)0(nnnf， 又1)0(f，所以12)1(2121nnn 11 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 200
12、8 年 第 5 页 (20)（本题满分本题满分 10 分分） 设,为 3 维列向量，矩阵,TTA其中T，T为，的转置. 证明： (I) 秩( )2r A ； (II) 若, 线性相关，则秩( )2.r A 证：证：(I) ( )()TTr Ar ()()TTrr 3分 2)()(rr 6分 (II) 由于,线性相关，不妨设k， 于是21)()1()()(2rkrrArTTT 10 分 (21)（本题满分本题满分 12 分分） 设n元线性方程bAx ， 其中A 2222212121212n naaaaaaaaa,12nxxxx，100b (I) 证明行列式nanA) 1( ； (II) 当a为何
13、值时，该方程组有唯一解，并求1x； ( () 当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解. (I) (I) 证法证法 1：记nDA2222212121212naaaaaaaaa 当1n时，aD21，结论成立， 当2n时，2223212aaaaD，结论成立 2 分 假设结论对小于n的情况成立，将nD按第 1 行展开得 2122nnnDaDa Dnnnananaana) 1() 1(2221， 即nanA) 1( 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 6 页 证法证法 2：2222122222121321012211212212122nn
14、aaaaaaaaaAraraaaaaaaa 2 分 3222221301240123321212naaararaaaaaa 4 分 nnnnanannannaaaarnnr) 1(10110134012301211 6 分 ( () 解：解：当0a时，方程组系数行列式0nD，故方程组有唯一解. 由克莱姆法则，将nD第 1 列换成b，得行列式为 22112222111210212121212122nnnnaaaaaaDnaaaaaaaaa 所以，annDDxnn) 1(11 9 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 7 页 ( () 解：解
15、：当0a时，方程组为 12101101001000nnxxxx 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n，所以方程组有无穷多解，其通解为0 1 001 000TTxk,其中k为任意常数 12 分 (22)（本题满分本题满分 11 分分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 概率分布为1(1,0,1)3P Xii，Y 的概率密度为101( )0Yyfy，其它 记 YXZ (I) 求102P ZX； (II) 求 Z 的概率密度)(zfz. 解：解：(I) 021021XYXPXZP2121YP 4 分 (II) zYXPzZPzFZ)( 1,0,1,XzYXPXzYXPXzYXP 1, 1
16、0,1, 1XzYPXzYPXzYP 11011XPzYPXPzYPXPzYP 1131zYPzYPzYP ) 1()() 1(31zFzFzFYYY 7 分 13( )( )(1)( )(1)ZZYYYfzF zfzfzfz 9 分 其他, 021,31z 11分 (23)（本题满分本题满分 11 分分） 设12,nX XX是总体为2( ,)N 的简单随机样本，记 niiXnX11，212)(11niiXXnS，221SnXT (I) 证明 T 是2的无偏估计量； (II) 当0,1时，求 DT. (I) 证：证：因2222221)(1)1(ESnXDXEESnXESnXEET 4 分 郝海
17、龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 8 页 2222nn 所以T是2的无偏估计量 7 分 (II) 解：解：当0，1时，由于X与2S独立 ，有 )1(22SnXDDT2221DSnXD 9 分 22222) 1() 1(11)(1SnDnnXnDn ) 1(21112) 1(2) 1(11212222nnnnnnnn 11分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 9 页 数数 学（二）学（二） 一选择题一选择题 ( 1 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.) （1）设函
18、数2( )(1)(2)f xx xx，则( )fx的零点个数为 （D） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）如图，曲线段的方程为( )yf x， 函数在区间0, a上有连续导数， 则定积分0( )axfx dx等于 （C） （A）曲边梯形 ABCD 面积. （B）梯形 ABCD 面积. （C）曲边三角形 ACD 面积. （D）三角形 ACD 面积. （3） 【 同数学一（3）题 】 （4） 判断函数xxxxfsin1ln)(， 则)(xf有 （A） （A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点； （B）1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点. （C）2 个跳跃间断点； （D）2 个无穷间断点
19、 （5） 【 同数学一（4）题 】 （6）设函数f连续，若dxdyyxyxfvuFvuD2222)(),(， 其中区域uvD为图中阴影部分， 则Fu （A） （A）)(2uvf （B）)(2ufuv （C） )(uvf （D）)(ufuv （7） 【 同数学一（5）题 】 （8）设1221A，则在实数域上与 A 合同的矩阵为 （D） （A）2112 （B）2112 （C） 2112 （D）1221 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 10 页 二、填空题： （二、填空题： （914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.）
20、 (9) 已知函数( )f x连续，且1)() 1()(cos1lim20 xfexxfxx，则)0(f2. (10) 微分方程0)(2xdydxexyx的通解是y)(xeCx. (11) 【 同数学一（10）题 】 (12) 曲线32)5(xxy的拐点坐标为)6, 1(. (13) 已知xyyzx，则)2, 1(xz) 12(ln22. (14) 设 3 阶矩阵 A 的特征值是, 3 , 2，若行列式482A，则1. 三、解答题三、解答题 ( 15 23 小题，共小题，共 94 分分. ) (15)（本题满分本题满分 9 分分） 【 同数学一（15）题 】 (16)（本题满分本题满分 10
21、分分） 设 函 数)(xyy 由 参 数 方 程20)1ln()(tduuytxx确 定 ， 其 中)(tx是 初 值 问 题0020txxtedtdx的解，求22dxyd. 解：解：由02xtedtdx得tdtdxex2，积分并由条件00tx，得21tex， 即)1ln(2tx 4 分 )1ln()1 (122)1ln(2222ttttttdtdxdtdydxdy 7 分 1)1ln()1 (122)1ln(2)1ln()1 ()(22222222tttttttdtdxttdtddxdydxddxyd 10 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008
22、 年 第 11 页 (17)（本题满分本题满分 9 分分） 计算 2120arcsin1xxdxx. 解：解：由于2211arcsinlimxxxx，故dxxxx10221arcsin是反常积分 令tx arcsin，有txsin，0,)2t 1020202222sincoscossin1arcsintdtttdttttdxxxx 3 分202022sin4142sin16tdttt 7 分 41162cos81162202t 9 分 (18)（本题满分本题满分 11 分分） 计算Ddxdyxy1 ,max，其中20 , 20),(yxyxD. 解：解：曲线1xy将区域D分成如图所示的两个区域
23、1D和2D 3 分 211 ,maxDDDdxdyxydxdydxdyxy 5 分 xxdydxdydxxydydx102212021021221 8 分 2ln4192ln212ln415 11 分 (19)（本题满分本题满分 11 分分） 设)(xf是区间, 0上具有连续导数的单调增加函数，且1)0(f，对任意的, 0t，直线txx , 0，曲线)(xfy 以及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生 成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数)(xf的表达式. 解：解：旋转体的体积tdxxfV02)(，侧面积tdxxfxfS02 )(1)(2， 由题设条件知ttdxx
24、fxfdxxf02;02)(1)()( 4 分 上式两端对t求导得：)(1)()(2 2tftftf， 即 21yy 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 12 页 由分离变量法解得12)1ln(Ctyy，即 tCeyy12 9 分 将1)0(y代入知1C，故teyy12，)(21tteey 于是所求函数为)(21)(xxeexfy 11分 (20)（本题满分本题满分 11 分分） (I) 证明积分中值定理： 若函数)(xf在闭区间ba,上连续， 则至少存在一点ba,，使得)( )()(abfdxxfba； (II) 若函数)(x具有
25、二阶导数，且满足) 1 ()2(，32)()2(dxx，则至少存在一点)3 , 1 (，使得( )0 证：证：(I) 设M与m是连续函数)(xf在ba,上的最大值与最小值，即 Mxfm)(，bax, 由积分性质，有baabMdxxfabm)()()(，即Mdxxfabmba)(12 分 由连续函数介值定理，至少存在一点ba,，使得badxxfabf)(1)(， 即)()(abfdxxfba 4 分 (II) 由 (I) 知至少存在一点3 , 2，使)()23)()(32dxx 6 分 又由)()()2(32dxx知，32， 对)(x在2 , 1 和, 2上分别应用拉格朗日 中值定理，并注意到)
26、 1 ()2(，)()2(，得 21 , 012) 1 ()2()( 11，32 , 02)2()()( 22 9 分 在,21上对导函数( )x应用拉格朗日中值定理，有 211221()( )( )0,( ,)(1,3) 11 分 (21)（本题满分本题满分 11 分分） 求函数222zyxu在约束条件22yxz和4zyx下的最大值与最小值. 解：解：作拉格朗日函数) 4()(),(22222zyxzyxzyxzyxF3 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 13 页 令0400202202222zyxFzyxFzFyyFxxFzyx
27、6 分 解方程组得)2 , 1 , 1 (),(111zyx，)8 , 2, 2(),(222zyx 9 分 故所求的最大值为 72，最小值为 6. 11 分 (22)（本题满分本题满分 12 分分） 【 同数学一（21）题 】 (23)（本题满分本题满分 10 分分） 设 A 为 3 阶矩阵，12, 为 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，向量3满足323A， (I) (I) 证明123, 线性无关； （）令123 ,P ，求1P AP. 证明证明: (I)(I) 设存在数321,kkk，使得0332211kkk 1 用 A 左乘1 的两边，并由11A，22A，得： 0)(332321
28、1kkkk 2 3 分 1 2 得：022311kk 3 因为21,是 A 的属于不同特征值的特征向量，所以21,线性无关，从而031 kk 代入1 得，022k，又由于02，所以02k，故123, 线性无关. 7 分 （）由题设，可得),(),(321321AAAAAP 100110001100110001),(321P 由(I)知，P为可逆矩阵，从而1001100011APP 10 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 14 页 数数 学（三）学（三） 一选择题一选择题 ( 1 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分
29、分.) （1） 设函数( )f x在区间 1 , 1上连续， 则 x=0 是函数0( )( )xf t dtg xx的 （B） （A）跳跃间断点. （B）可去间断点. （C）无穷间断点. （D）振荡间断点. （2） 【 同数学二（2）题 】 （3） 已知24( , )xyf x ye， 则 （B） （A）)0 , 0(xf ，)0 , 0(yf 都存在 （B）)0 , 0(xf 不存在，)0 , 0(yf 存在 （C）)0 , 0(xf 存在，)0 , 0(yf 不存在 （D）)0 , 0(xf )0 , 0(yf 都不存在 （4） 【 同数学二（6）题 】 （5） 【 同数学一（5）题 】
30、（6） 【 同数学二（8）题 】 （7） 【 同数学一（7）题 】 （8） 【 同数学一（8）题 】 二、填空题： （二、填空题： （914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.） (9) 设函数21,( )2,xxcf xxcx 在(,) 内连续，则c1. (10) 函数3411xxfxxx，求积分222)(dxxf3ln21. (11) 设1),(22yxyxD，则Ddxdyyx)(24/. (12) 【 同数学一（9）题 】 (13) 设 3 阶矩阵 A 的特征值是 1, 2, 2，E 为 3 阶单位矩阵，则EA14= _3_ . (14) 【 同数学一（14）题 】
31、 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 15 页 三、解答题三、解答题 ( 15 23 小题，共小题，共 94 分分. ) (15)（本题满分本题满分 9 分分） 计算201sinlimlnxxxx. 解：解：原式20lnsinlnlimxxxx=xxxxxxsin2sincoslim20 4 分 302sincoslimxxxxx206sinlimxxxx 7 分 61 9 分 (16)（本题满分本题满分 10 分分） 设( , )zz x y是由方程22()xyzxyz 所确定的函数，其中具有二阶导数且1 ， (I) 求 dz； (II)
32、 记 1( , )()zzu x yxyxy，求 ux. 解法解法 1：(I) 设)(),(22zyxzyxzyxF 则2xFx，2yFy，1zF 3 分 由公式xzFzxF ，yzFzyF ，得 21zxx，21zyy 所以1(2)(2)1zzdzdxdyxdxydyxy 7 分 (II) 由于2( , )1u x y， 所以 2322(21)(1)(1)(1)uzxxx 10 分 解法解法 2：(I) 对等式)(22zyxzyx两端求微分,得 22()xdxydydzdxdydz 5 分 解出 dz 得 2211xydzdxdy 7 分 (II) 同解法 1 10 分 (17)（本题满分本
33、题满分 11 分分） 【 同数学二（18）题 】 (18)（本题满分本题满分 10 分分） ( )f x是周期为 2 的连续函数， (I) 证明对任意实数 t，有202)()(dxxfdxxftt； (II) 证明xttdtdssftfxG02)()(2)(是周期为 2 的周期函数. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 16 页 证法证法 1：(I) 由积分的性质知对任意的实数 t， 022202)()()()(ttttdxxfdxxfdxxfdxxf 2 分 令2 xs，则有00022)()()2()(ttttdxxfdssfdssfdx
34、xf 所以2002002)()()()()(dxxfdxxfdxxfdxxfdxxftttt 5 分 (II) 由 (I) 知对任意的t有202)()(dssfdssftt 记adssf20)(，则axdttfxGx0)(2)( 因为对任意的x，axdttfxadttfxGxGxx020)(2)2()(2)()2( adttfxx2)(22 8 分 02)(220adttf 所以)(xG是周期为 2 的周期函数. 10 分 证法证法 2：(I) 设 2)()(ttdxxftF，由于0)()2()(tftftF， 2 分 所以)(tF为常数，从而有)0()(FtF 而20)()0(dxxfF，所
35、以20)()(dxxftF，即202)()(dxxfdxxftt 5 分 (II) 由 (I) 知对任意的t有202)()(dssfdssftt 记adssf20)(，则axdttfxGx0)(2)(，20)2()(2)2(xxadttfxG7 分 由于对任意x，( (2)2 (2)2 ( )G xf xaf xa，( ( )2 ( )G xf xa 所以( (2)( )0G xG x ，从而)()2(xGxG是常数， 即有0)0()2()()2(GGxGxG，所以)(xG是周期为 2 的周期函数. 10 分 (19)（本题满分本题满分 10 分分） 设银行存款的年利率为05. 0r，并依年复
36、利计算，某基金会希望通过存款 A 万元实 现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，第 n 年提取)910(n万元，并能按此规 律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？ 解：解：设nA为用于第 n 年提取)910(n万元的贴现值，则)910()1 (nrAnn 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 17 页 故11)1 (910nnnnrnAA 3 分 111)1 (9200)1 (9)1 (110nnnnnnrnrnr 6 分 设1)(nnnxxS，) 1 , 1(x 因为21( )()()1(1)nnxxS xxxxxx，) 1
37、 , 1(x 9 分 所以42005. 1111SrS（万元） 故39804209200A（万元） ，即至少应存入 3980 万元. 10 分 (20) ( 本题满分本题满分 12 分分 ) 【 同数学一（21）题 】 (21) ( 本题满分本题满分 10 分分 ) 【 同数学二（23）题 】 (22) ( 本题满分本题满分 11 分分 ) 【 同数学一（22）题 】 (23) ( 本题满分本题满分 11 分分 ) 【 同数学一（23）题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 18 页 数数 学（四）学（四） 一选择题一选择题 ( 1 8
38、 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.) （1） 设0ab， 则nnnnba1)(lim （B） （A）a. （B）1a. （C）b. （D）1b. （2） 【 同数学三（1）题 】 （3）设( )f x是连续的奇函数，( )g x是连续的偶函数，区域 , 10),(xyxxyxD 则以下结论正确的是 （A） （A）( ) ( )0.Df y g x dxdy （B）( ) ( )0.Df x g y dxdy （C） ( )( )0.Df xg y dxdy （D） ( )( )0Df yg x dxdy （4） 【 同数学二（2）题 】 （5） 【 同数学一（5）题 】
39、 （6） 【 同数学二（8）题 】 （7） 【 同数学一（7）题 】 （8） 【 同数学一（8）题 】 二、填空题： （二、填空题： （914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.） (9) 【 同数学三（9）题 】 (10) 已知函数( )f x连续且0( )lim2xf xx，则曲线( )yf x上对应0 x 处切线方程是xy2 . (11) 1021ln xdyxdxy 2/1. (12) 【 同数学二（10）题 】 (13) 设 3 阶矩阵A的特征值互不相同，且行列式0A ，则A的秩为_2_. (14) 【 同数学一（14）题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2
40、008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 19 页 三、解答题三、解答题 ( 15 23 小题，共小题，共 94 分分. ) (15)（本题满分本题满分 9 分分） 【 同数学三（15）题 】 (16)（本题满分本题满分 10 分分） 设函数dtxttxf10)()() 10( x， 求( )f x的极值、 单调区间及曲线)(xfy 的凹凸区间. 解：解：31231)()()(310 xxdtxttdttxtxfxx 4 分 令21( )02fxx，得22,22xx（舍去） 因( )20fxx（10 x） 5 分 故22x为( )f x的极小值点，极小值)221 (31)22(f
41、，且曲线)(xfy 在) 1 , 0(内是凹的. 8 分 由21( )2fxx知，( )f x在)22, 0(内单调递减，在) 1 ,22(内单调递增. 10 分 (17)（本题满分本题满分 11 分分） 【 同数学二（21）题 】 (18)（本题满分本题满分 10 分分） 【 同数学三（16）题 】 (19)（本题满分本题满分 10 分分） 【 同数学三（18）题 】 (20)（本题满分本题满分 12 分分） 【 同数学一（21）题 】 (21)（本题满分本题满分 10 分分） 【 同数学二（23）题 】 (22)（本题满分本题满分 11 分分） 【 同数学一（22）题 】 (23)（本题满
42、分本题满分 11 分分） 设某企业生产线上产品合格率为 0.96，不合格产品中只有34产品可进行再加工，且再加工合格率为 0.8，其余均为废品，每件合格品获利 80 元，每件废品亏损 20 元，为保证该 企业每天平均利润不低于 2 万元，问企业每天至少应生产多少件产品？ 解：解：进行再加工后，产品的合格率984. 08 . 075. 004. 096. 0p 4 分 记X为 n 件产品中的合格产品数，)(nT为 n 件产品的利润，则 nnpEXpnBX984. 0),( 8 分 )(2080)(XnXnT，( )1002078.4ET nEXnn 10 分 要20000)(nET，则256n，即该企业每天至少应生产 256 件产品. 11 分