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1、几类不同增长函数模型说课稿几类不同增长的函数模型（第一课时）教学设计孔德学区高一数学备课组杨旭一、背景分析p 本节是高中数学必修1（人教a版）第三章函数的应用的起始课该课将经历运用和选择函数模型解决实际问题的过程，从而认识在同为增函数的函数模型中，各种函数存在增长的差异；理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义；认识研究函数增长（衰减）差异的方法；感受数学建模的思想对不同函数模型在增长差异上的研究，教材围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个
2、问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明不同函数类型增长的含义在必修1前两章，教材安排了函数的性质以及基本初等函数本节内容是几类不同增长的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用，因此，从内容上看，本节课是对前面所学习的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲，是对研究函数的方法的进一步巩固和深化，同时，也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础，因此本节内容，既是第二章基本初等函数知识的延续，又是函数模型应用学习的基础，起着承前启后的作用.本节内容所涉及的数学思想方法主要包括：由
3、实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；在解决问题过程中函数与方程的思想二、教学目标（1）通过实例的解决，运用函数表格、图象，比较一次函数、指数型函数以及对数函数模型等的增长，认识它们的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义；（2）通过恰当地运用函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），表达实际问题中的函数关系的操作，认识函数问题的研究方法：观察归纳猜想证明；（3）经历建立和运用函数基本模型的过程，初步体验数学建模的基本思想，体会数学的作用与价值，培养分析p 问题、解决问题的能力.三、教学重难点教学重点：将实际问题转化为数学模型，在比较常数
4、函数、一次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义教学难点：如何结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异，以及如何利用这种增长差异来解决一些实际问题四、教学媒体设计要让学生较为全面地体会函数模型的思想，特别是本节例题中用函数模型研究实际问题有许多数据、图象等方面处理上的困难，而利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异这样，就使学生有机会接触到一些过去难以接触到的数学知识和思想方法因此在本节内容教学的处理上，通过学生收集数据并建立函数模型，利用计算器和计算机，比较指数函数、对数函数以及幂函数间
5、的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义五、教学过程设计（一）创设情境，引入课题1.介绍第三章章头图，提出问题问题1：澳大利亚的兔子为什么能在短短的几十年中由5只发展到5亿只？澳大利亚兔子的急剧增长反映了自然界中一种增长现象：指数增长.问题2：在生活中，你还能举出其它增长的例子吗？2.在学生回答问题的基础上引出各种不同类型的函数增长模型3.揭示课题：几类不同增长的函数模型【设计意图】运用章头图，形成问题情境，产生应用函数的需要，激发学生的学习愿望（二）分析p 问题，建立模型（一）提出问题例1假如你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报
6、如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番请问：你会选择哪种投资方式？（二）分析p 问题1.引导审题，抓住【关键词】：p “回报”问题3：你选择的是什么样的回报？怎样比较回报资金的大小？从解决问题的角度看：（1）比较三种方案的每日回报；（2）比较三种方案在若干天内的累计回报.2.引导分析p 数量关系，建立函数模型仅从日回报的角度引导学生根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式.【设计意图】引发学生思考，经历建立函数基本模型的过程【备注】累计回报的本质是数列求和问题，由于学
7、生目前的知识储备还不够，现在仅限于通过对函数模型通过列表计算、图象观察来作出判断和选择.（三）组织探究，感性体验1.教师提出问题问题4：你会选择哪种投资方案？请用数学语言呈现你的理由2.学生分组操作，比较不同增长从解决问题的方式上：（1）用列表方法来比较；（2）画出函数图象来分析p .【设计意图】保成学生合作探究、动手实践，能借助计算器，利用数据表格、函数图象对三种模型进行比较、分析p ，初步感受直线上升和指数爆炸的意义，初步体验研究函数增长差异的方法（四）成果交流，阶段小结（一）学生交流让学生交流小组探究的成果（表格、图象、结论）（二）师生互动1.阅读教材上例题解答中的数据表格与图象（突出散
8、点图），引导学生关注增长量，感受增长差异2.通过教师多媒体动态演示，让学生进一步体会增长差异在不同的函数模型下，虽然都有增长，但增长态势各具特点他们的增长不在同一个“档次”上，当自变量变得很大时，指数型函数比一次函数增长的速度要快得多（三）归纳小结1.通过教师的小结，增强学生对增长差异的认识常数函数（没有增长），直线上升（匀速增长），指数爆炸（急剧增长）2.上述问题的解决，是通过考虑其中的数量关系，把它抽象概括成一个函数问题，用解析式、数据表格、图象这三种函数的表达形式来研究的【设计意图】分享学生成果，达到生生互动、师生互动；借助多媒体展示，帮助学生理解不同增长的函数模型的增长差异，并且初步体
9、验数学建模的基本思想，认识函数问题的研究方法（五）深入探究，理性分析p （一）提出问题例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25现有三个奖励模型：求？（二）引导分析p 问题5：你能立刻做出选择吗？选择的依据是什么？问题6：公司的要求到底意味着怎样的数学关系？问题7：我们提供的三个增长型函数哪一个符合限制条件？（三）解决问题1.通过多媒体演示，发现增长差异；2.结合限制条件，初步作出选择；其中哪个模型能符合公司
10、的要3.通过计算，进一步确认，验证所得结论；4.体会对数增长模型的增长特征：当自变量变得很大时平缓增长；5.揭示函数问题的研究方法（观察归纳猜想证明）【设计意图】让学生在观察和探究的过程中，学会理性分析p ，体会对数增长模型的特点【备注】对判断模型二是否满足限制条件“”，考虑到学生现在知识储备和接受水平，只能采用了直观教学，通过构造新函数，观察新函数的图象来解决（因为该函数单调性的判定，必须运用高二数学中的导数知识与方法才能解决）（六）拓展延伸，创新设计这个奖励方案实施以后，立刻调动了员工的积极性，企业发展蒸蒸日上，但随着时间的推移，又出现了新的问题，员工缺乏创造高销售额的积极性.问题8：我们
11、的奖励方案有什么弊端？问题9：你能否设计出更合理的奖励模型？【创新设计】为了实现1000万元利润的目标，在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润_(单位：万元)的增加而增加,要求如下：10万50万，奖金不超过2万；50万20_万，奖金不超过4万；20_万1000万，奖金不超过20万请选择适当的函数模型，用图象表达你的设计方案（四人一组，合作完成）【设计意图】设计开放性问题对例2拓展延伸，既检测了学生对几类不同模型增长差异的掌握情况，又鼓励学生学以致用，用以致优，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程（七）归纳总结，提炼升华问题10：通过本节课的
12、学习，你有哪些收获？请你从知识、方法、思想方面作一个小结1.知识：对函数的性质有了进一步的了解，我们体会到同是增长型函数，但其增长差异却很大：常数函数（没有增长）；一次函数（直线上升）；指数函数（爆炸增长）；对数函数（平缓增长）2.方法：函数有三种表示方法（解析法、列表法、图象法）；函数问题的一般研究方法（观察归纳猜想证明）3.思想：两个例题都体现了数学建模的思想，即把实际问题数学化：面对实际问题，我们要读懂问题，运用所学知识，将其转化成数学模型，最终得到实际问题的解.【设计意图】理解几类不同增长的函数模型的增长差异，提炼数学思想方法，认识数学的应用价值（八）布置作业，巩固提高1.课本98页课后练习1，2；课本107页习题3.2（a组）第1题；2.收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用【设计意图】进一步体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述；培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用价值.第 6 页 共 6 页