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1、专题14 角平分线问题1.角的平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是AOB的平分线，所以1=2=AOB，或AOB=21=22.类似地，还有角的三等分线等.2.作角平分线角平分线的作法（尺规作图）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；过点P作射线OP，射线OP即为所求 3.角平分线的性质（1）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。符号语言：OP平分AOB，APOA，BPOB，AP=BP.（2）逆定理：到角的两边距离相等的点在角
2、的平分线上。符号语言： APOA，BPOB，AP=BP，点P在AOB的平分线上.注意：三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ABC的角平分线，或BADCAD且点D在BC上.说明：AD是ABC的角平分线BADDACBAC (或BAC2BAD2DAC) .（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.4.角平分线的综合应用（1）为推导线段相
3、等、角相等提供依据和思路；（2）在解决综合问题中的应用【例题1】（2020襄阳）如图，ABCD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分BEF，若EFG64°，则EGD的大小是（）A132°B128°C122°D112°【对点练习】（2020长春模拟 ）如图，在ABC中，CD平分ACB交AB于点D，过点D作DEBC交AC于点E若A=54°，B=48°，则CDE的大小为（）A44° B40° C39° D38°【例题2】（2020随州）如图，点A，B，C在O上，AD是BAC的角平分线
4、，若BOC120°，则CAD的度数为 【对点练习】（2019四川自贡）如图，在RtABC中，ACB90°，AB10，BC6，CDAB，ABC的平分线BD交AC于点E，DE 【例题3】（2020金华）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OEAC于点E，OFBD于点F，OEOF1cm，ACBD6cm，CEDF，CE：AE2：3按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是 cm（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离
5、为 cm【对点练习】已知：点P是MON内一点，PAOM于A，PBON于B，且PAPB求证：点P在MON的平分线上 一、选择题1（2020乐山）如图，E是直线CA上一点，FEA40°，射线EB平分CEF，GEEF则GEB（）A10°B20°C30°D40°2（2020福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD5，则CD等于（）A10B5C4D33.如图，在ABC中，C=90°，AD平分BAC，过点D作DEAB于点E，测得BC=9，BE=3，则BDE的周长是( )A.15 B.12 C.9 D.64如图，面积为24的ABCD中，
6、对角线BD平分ABC，过点D作DEBD交BC的延长线于点E，DE6，则sinDCE的值为（）ABCD5.已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A作APB的平分线PC交AB于点CB过点P作PCAB于点C且AC=BCC取AB中点C，连接PCD过点P作PCAB，垂足为C6如图，ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是BAC、ABC的平分线，BAC=50°，ABC=60°，则EAD+ACD=（）A75°B80°C85°D90°7（2019山东滨州
7、）如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点O，BN平分CBD，交边CD于点N，交对角线AC于点M，若OM1，则线段DN的长是多少（）A1.5B2CD28.（2019陕西）如图，在ABC中，B=30°，C=45°，AD平分BAC交BC于点D，DEAB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为（ ） A.2+ B. C.2+ D.3 9（2019内蒙古）如图，在RtABC中，B90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG1，AC4，则ACG的面积是（）A1BC2
8、D二、填空题10（2020扬州）如图，在ABC中，按以下步骤作图：以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E分别以点D、E为圆心，大于12DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F作射线BF交AC于点G如果AB8，BC12，ABG的面积为18，则CBG的面积为 11如图，ABC中，C=90°，ABC=60°，BD平分ABC，若AD=8cm，则CD= 12.如图，OC为AOB的平分线，CMOB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为 13如图，在ABC中，AF平分BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，B=70°，FAE=19°，则C= 度1
9、4（2019内蒙古通辽）如图，在矩形ABCD中，AD8，对角线AC与BD相交于点O，AEBD，垂足为点E，且AE平分BAC，则AB的长为 15（2019宁夏）如图，在RtABC中，C90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D若A30°，则 三、解答题16（2020泸州）如图，AC平分BAD，ABAD求证：BCDC17（2020武汉）如图，在RtABC中，ABC90°，以AB为直径的O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E（1）求证：AD平分
10、BAE；（2）若CDDE，求sinBAC的值18.已知：OC平分MON，P是OC上任意一点，PAOM，PBON，垂足分别为点A、点B求证：PAPB19.已知：如图，在RtABC中，C90°，D是AC上一点，DEAB于E，且DEDC（1）求证：BD平分ABC；（2）若A36°，求DBC的度数20.已知：如图，锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC. (1)求证：ABC是等腰三角形； (2)判断点O是否在BAC的角平分线上，并说明理由.21.如图，12，AEOB于E，BDOA于D，AE与BD相交于点C求证：ACBC22.如图，已知点D为等腰直角ABC内一点，CAD
11、=CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA. (1)求证：DE平分BDC； (2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.23. 如图所示，在ABC中，C90°，ACBC，DA平分CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由24.如图，OC是AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA交OA于点D，PEOB交OB于点E，F是OC上的另一点，连接DF，EF求证：DF=EF25.如图，在四边形ABDC中，D=ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分BAC求证：（1）OC平分ACD；（2）OAOC；（3）AB+CD=AC26.如图，在RtABC中，ACB=90°，A=40°，ABC的外角CBD的平分线BE交AC的延长线于点E（1）求CBE的度数；（2）过点D作DFBE，交AC的延长线于点F，求F的度数