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1、专题14 角平分线问题1.角的平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是AOB的平分线，所以1=2=AOB，或AOB=21=22.类似地，还有角的三等分线等.2.作角平分线角平分线的作法（尺规作图）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；过点P作射线OP，射线OP即为所求 3.角平分线的性质（1）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。符号语言：OP平分AOB，APOA，BPOB，AP=BP.（2）逆定理：到角的两边距离相等的点在角
2、的平分线上。符号语言： APOA，BPOB，AP=BP，点P在AOB的平分线上.注意：三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ABC的角平分线，或BADCAD且点D在BC上.说明：AD是ABC的角平分线BADDACBAC (或BAC2BAD2DAC) .（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.4.角平分线的综合应用（1）为推导线段相
3、等、角相等提供依据和思路；（2）在解决综合问题中的应用【例题1】（2020襄阳）如图，ABCD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分BEF，若EFG64°，则EGD的大小是（）A132°B128°C122°D112°【答案】C【分析】根据平行线的性质得到BEF180°EFG116°，根据角平分线的定义得到BEG=12BEF58°，由平行线的性质即可得到结论【解析】ABCD，EFG64°，BEF180°EFG116°，EG平分BEF交CD于点G，BEG=12BEF58°
4、，ABCD，EGD180°BEG122°【对点练习】（2020长春模拟 ）如图，在ABC中，CD平分ACB交AB于点D，过点D作DEBC交AC于点E若A=54°，B=48°，则CDE的大小为（）A44° B40° C39° D38°【答案】C【解析】根据三角形内角和得出ACB，利用角平分线得出DCB，再用平行线的性质解答即可A=54°，B=48°，ACB=180°54°48°=78°，CD平分ACB交AB于点D，DCB=78°=39°，
5、DEBC，CDE=DCB=39°，【点拨】本题考查三角形内角和定理、平行线性质、角平分线定义。【例题2】（2020随州）如图，点A，B，C在O上，AD是BAC的角平分线，若BOC120°，则CAD的度数为 【答案】30°【解析】先根据圆周角定理得到BAC=12BOC60°，然后利用角平分线的定义确定CAD的度数BAC=12BOC=12×120°60°，而AD是BAC的角平分线，CAD=12BAC30°【对点练习】（2019四川自贡）如图，在RtABC中，ACB90°，AB10，BC6，CDAB，ABC的平
6、分线BD交AC于点E，DE 【答案】【解析】由CDAB，DABE，DCBE，所以CDBC6，再证明AEBCED，根据相似比求出DE的长ACB90°，AB10，BC6，AC8，BD平分ABC，ABECDE，CDAB，DABE，DCBE，CDBC6，AEBCED，CEAC×83，BE，DEBE×【点拨】本题考查相似三角形性质、勾股定理、角平分线性质。【例题3】（2020金华）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OEAC于点E，OFBD于点F，OEOF1cm，ACBD6cm，CEDF，CE：AE2
7、：3按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是 cm（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为 cm【答案】（1）16 （2）6013【分析】（1）当E，F两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形ABCD是矩形，求出矩形的长和宽即可解决问题（2）如图3中，连接EF交OC于H想办法求出EF，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题解：（1）当E，F两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形ABCD是矩形，OEOF1cm，EF2cm，ABCD2cm，此时四边形ABCD的周长为2+2+6+616（cm）
8、，故答案为16（2）如图3中，连接EF交OC于H由题意CECF=25×6=125（cm），OEOF1cm，CO垂直平分线段EF，OC=CE2+OE2=(125)2+12=135（cm），12OEEC=12COEH，EH=1×125135=1213（cm），EF2EH=2413（cm）EFAB，EFAB=CECB=25，AB=52×2413=6013（cm）故答案为6013【对点练习】已知：点P是MON内一点，PAOM于A，PBON于B，且PAPB求证：点P在MON的平分线上 【答案】见解析。【解析】证明：连结OP在RtPAO和RtPBO中， PA=PB OP=OP
9、 RtPAORtPBO（HL）12OP平分MON即点P在MON的平分线上【点拨】全等三角形性质、角平分线定义。一、选择题1（2020乐山）如图，E是直线CA上一点，FEA40°，射线EB平分CEF，GEEF则GEB（）A10°B20°C30°D40°【答案】B【分析】根据平角的定义得到CEF180°FEA180°40°140°，由角平分线的定义可得CEB=12CEF=12×140°=70°，由GEEF可得GEF90°，可得CEG180°AEFGEF180&
10、#176;40°90°50°，由GEBCEBCEG可得结果【解析】FEA40°，GEEF，CEF180°FEA180°40°140°，CEG180°AEFGEF180°40°90°50°，射线EB平分CEF，CEB=12CEF=12×140°=70°，GEBCEBCEG70°50°20°2（2020福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD5，则CD等于（）A10B5C4D3【答案】B【解析】根据
11、等腰三角形三线合一的性质即可求解AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD5，CD53.如图，在ABC中，C=90°，AD平分BAC，过点D作DEAB于点E，测得BC=9，BE=3，则BDE的周长是( )A.15 B.12 C.9 D.6【答案】B 【解析】在ABC中，C=90°，ACCDAD平分BAC，DEAB，DE=CDBC=9，BE=3，BDE的周长为BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=124如图，面积为24的ABCD中，对角线BD平分ABC，过点D作DEBD交BC的延长线于点E，DE6，则sinDCE的值为（）ABCD【答案】A【解析】连接AC，过
12、点D作DFBE于点E，BD平分ABC，ABDDBC，ABCD中，ADBC，ADBDBC，ADBABD，ABBC，四边形ABCD是菱形，ACBD，OBOD，DEBD，OCED，DE6，OC，ABCD的面积为24，BD8，5，设CFx，则BF5+x，由BD2BF2DC2CF2可得：82（5+x）252x2，解得x，DF，sinDCE故选：A5.已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A作APB的平分线PC交AB于点CB过点P作PCAB于点C且AC=BCC取AB中点C，连接PCD过点P作PCAB，垂足为C【答案
13、】B【解析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论A利用SAS判断出PCAPCB，CA=CB，PCA=PCB=90°，点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；C利用SSS判断出PCAPCB，CA=CB，PCA=PCB=90°，点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；D利用HL判断出PCAPCB，CA=CB，点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，B过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意。6如图，ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是BAC、ABC的平分线，BAC=50°，ABC=60°，则EAD+ACD=（）A75&#
14、176;B80°C85°D90°【答案】A【解析】依据AD是BC边上的高，ABC=60°，即可得到BAD=30°，依据BAC=50°，AE平分BAC，即可得到DAE=5°，再根据ABC中，C=180°ABCBAC=70°，可得EAD+ACD=75°AD是BC边上的高，ABC=60°，BAD=30°，BAC=50°，AE平分BAC，BAE=25°，DAE=30°25°=5°，ABC中，C=180°ABCBAC=70&#
15、176;，EAD+ACD=5°+70°=75°7（2019山东滨州）如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点O，BN平分CBD，交边CD于点N，交对角线AC于点M，若OM1，则线段DN的长是多少（）A1.5B2CD2【答案】B【解析】作NEBD于E，如图所示：四边形ABCD是正方形，ACBD，ADCBCD90°，ODC45°，OBOD，BCDC，DEN是等腰直角三角形，DENE，DNNE，BN平分CBD，NENC，NENCDE，设NENCDEx，则DNx，DCx+x，BDDC2x+x，BEBDDEx+x，OBBDx+x，NEBD，NEAC，BO
16、MBEN，即，解得：x，DNx28.（2019陕西）如图，在ABC中，B=30°，C=45°，AD平分BAC交BC于点D，DEAB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为（ ） A.2+ B. C.2+ D.3 【答案】A 【解析】过点D作DFAC于F如图所示，AD为BAC的平分线，且DEAB于E，DFAC于F，DE=DF=1，在RtBED中，B=30°，BD=2DE=2，在RtCDF中，C=45°，CDF为等腰直角三角形，CD=DF=，BC=BD+CD=，故选A9（2019内蒙古）如图，在RtABC中，B90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分
17、别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG1，AC4，则ACG的面积是（）A1BC2D【答案】C【解析】利用基本作图得到AG平分BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算ACG的面积由作法得AG平分BAC，G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，所以ACG的面积×4×12二、填空题10（2020扬州）如图，在ABC中，按以下步骤作图：以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E分别以点D、E为圆心，大于12DE的同样长为半径作弧，两弧交于
18、点F作射线BF交AC于点G如果AB8，BC12，ABG的面积为18，则CBG的面积为 【答案】27【分析】过点G作GMAB于点M，GNAC于点N，根据作图过程可得AG是ABC的平分线，根据角平分线的性质可得GMGN，再根据ABG的面积为18，求出GM的长，进而可得CBG的面积【解析】如图，过点G作GMAB于点M，GNAC于点N，根据作图过程可知：BG是ABC的平分线，GMGN，ABG的面积为18，12×AB×GM18，4GM18，GM=92，CBG的面积为：12×BC×GN=12×12×92=2711如图，ABC中，C=90°
19、;，ABC=60°，BD平分ABC，若AD=8cm，则CD= 【答案】4cm【解析】C=90°，ABC=60°，A=30°，BD平分CBD，CBD=ABD=30°，CD=BD，A=ABD，AD=BD=8cm，CD=4cm12.如图，OC为AOB的平分线，CMOB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为 【答案】3【解析】过C作CFAO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案过C作CFAO，OC为AOB的平分线，CMOB，CM=CF，OC=5，OM=4，CM=3，CF=3，13如图，
20、在ABC中，AF平分BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，B=70°，FAE=19°，则C= 度【答案】24【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC，得到EAC=C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可DE是AC的垂直平分线，EA=EC，EAC=C，FAC=EAC+19°，AF平分BAC，FAB=EAC+19°，B+BAC+C=180°，70°+2（C+19°）+C=180°，解得，C=24°，14（2019内蒙古通辽）如图，在矩形ABCD中，AD8，对角线AC与BD相交于点O，AEBD，
21、垂足为点E，且AE平分BAC，则AB的长为 【答案】【解答】四边形ABCD是矩形AOCOBODO，AE平分BAOBAEEAO，且AEAE，AEBAEO，ABEAOE（ASA）AOAB，且AOOBAOABBODO，BD2AB，AD2+AB2BD2，64+AB24AB2，AB15（2019宁夏）如图，在RtABC中，C90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D若A30°，则 【答案】【解析】由作法得BD平分ABC，C90°，A30°，ABC60&
22、#176;，ABDCBD30°，DADB，在RtBCD中，BD2CD，AD2CD，=三、解答题16（2020泸州）如图，AC平分BAD，ABAD求证：BCDC【答案】见解析。【解析】由“SAS”可证ABCADC，可得BCDC证明：AC平分BAD，BACDAC，又ABAD，ACAC，ABCADC（SAS），BCCD17（2020武汉）如图，在RtABC中，ABC90°，以AB为直径的O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E（1）求证：AD平分BAE；（2）若CDDE，求sinBAC的值【答案】见解析。【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到ODDE，则可判
23、断ODAE，从而得到1ODA，然后利用2ODA得到12；（2）连接BD，如图，利用圆周角定理得到ADB90°，再证明23，利用三角函数的定义得到sin1=DEAD，sin3=DCBC，则ADBC，设CDx，BCADy，证明CDBCBA，利用相似比得到x：yy：（x+y），然后求出x、y的关系可得到sinBAC的值【解析】（1）证明：连接OD，如图，DE为切线，ODDE，DEAE，ODAE，1ODA，OAOD，2ODA，12，AD平分BAE；（2）解：连接BD，如图，AB为直径，ADB90°，2+ABD90°，3+ABD90°，23，sin1=DEAD，s
24、in3=DCBC，而DEDC，ADBC，设CDx，BCADy，DCBBCA，32，CDBCBA，CD：CBCB：CA，即x：yy：（x+y），整理得x2+xy+y20，解得x=-1+52y或x=-1-52y（舍去），sin3=DCBC=5-12，即sinBAC的值为5-1218.已知：OC平分MON，P是OC上任意一点，PAOM，PBON，垂足分别为点A、点B求证：PAPB【答案】见解析。【解析】证明：PAOM，PBONPAOPBO90°OC平分MON12在PAO和PBO中，PAOPBOPAPB19.已知：如图，在RtABC中，C90°，D是AC上一点，DEAB于E，且DE
25、DC（1）求证：BD平分ABC；（2）若A36°，求DBC的度数【答案】见解析。【解析】（1）证明：DCBC，DEAB，DEDC，点D在ABC的平分线上，BD平分ABC（2）C90°，A36°，ABC54°，BD平分ABC，DBCABC27°20.已知：如图，锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC. (1)求证：ABC是等腰三角形； (2)判断点O是否在BAC的角平分线上，并说明理由.【答案】见解析。【解析】（1）证明：OB=OC，OBC=OCB.BD、CE是两条高，BDC=CEB=90°.又BC=CB，BDCCEB(A
26、AS).DCB=EBC.AB=AC，即ABC是等腰三角形. (2)点O是在BAC的角平分线上.理由：连接AO.BDCCEB，DC=EB,CE=BD.OB=OC，OD=OE.又BDC=CEB=90°，AO=AO，ADOAEO(HL).DAO=EAO.点O是在BAC的角平分线上.21.如图，12，AEOB于E，BDOA于D，AE与BD相交于点C求证：ACBC 【答案】见解析。【解析】证明：12，BDOA，AEOB，CDCE，DCAECB，ADCBEC90°，ACDBCE，ACBC22.如图，已知点D为等腰直角ABC内一点，CAD=CBD=15°，E为AD延长线上的一点
27、，且CE=CA. (1)求证：DE平分BDC； (2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.【答案】见解析。【解析】(1)证明：在等腰直角ABC中，CAD=CBD=15°，BAD=ABD=45°-15°=30°，BD=AD，BDCADC，DCA=DCB=45°.由BDE=ABD+BAD=30°+30°=60°，EDC=DAC+DCA=15°+45°=60°，BDE=EDC，DE平分BDC.(2)证明：连接MC，DC=DM，且MDC=60°，MDC是等边三角形，即CM
28、=CD.又EMC=180°-DMC=180°-60°=120°，ADC=180°-MDC=180°-60°=120°，EMC=ADC.又CE=CA，DAC=CEM=15°，ADCEMC，EM=AD=DB.23. 如图所示，在ABC中，C90°，ACBC，DA平分CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由【答案】见解析。【解析】由于点D在CAB的平分线上，若过点D作DEAB于E，则DEDC于是有BDDEBDDCBCAC，
29、只要知道AC与AE的关系即可得出结论能在AB上确定一点E，使BDE的周长等于AB的长。过点D作DEAB于E，则BDE的周长等于AB的长理由如下：AD平分CAB，DCAC，DEAB，DCDE在RtACD和RtAED中，RtACDRtAED（HL）ACAE又ACBC，AEBCBDE的周长BDDEBEBDDCBEBCBEAEBEAB24.如图，OC是AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA交OA于点D，PEOB交OB于点E，F是OC上的另一点，连接DF，EF求证：DF=EF【答案】见解析。【解析】证明：点P在AOB的平分线OC上，PEOB，PDAO，PD=PE，DOP=EOP，PDO=PEO=90&
30、#176;.DPF=90°-DOP，EPF=90°-EOP，DPF=EPF在DPF和EPF中，DPFEPF(SAS) DF=EF25.如图，在四边形ABDC中，D=ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分BAC求证：（1）OC平分ACD；（2）OAOC；（3）AB+CD=AC【答案】见解析。【解析】证明：（1）如图，过点O作OEAC于点E.ABD=90°，OA平分BAC，OB=OE.O为BD的中点，OB=OD，OE=OD，且OEAC,ODCD,OC平分ACD.（2）在RtABO和RtAEO中，RtABORtAEO（HL），AOB=AOE.同理得出CO
31、D=COE，AOC=AOE+COE=12×180°=90°，OAOC.（3）RtABORtAEO，AB=AE.同理可得CD=CE.AC=AE+CE，AB+CD=AC26.如图，在RtABC中，ACB=90°，A=40°，ABC的外角CBD的平分线BE交AC的延长线于点E（1）求CBE的度数；（2）过点D作DFBE，交AC的延长线于点F，求F的度数【答案】见解析。【解析】先根据直角三角形两锐角互余求出ABC=90°A=50°，由邻补角定义得出CBD=130°再根据角平分线定义即可求出CBE=CBD=65°；先根据三角形外角的性质得出CEB=90°65°=25°，再根据平行线的性质即可求出F=CEB=25°（1）在RtABC中，ACB=90°，A=40°，ABC=90°A=50°，CBD=130°BE是CBD的平分线，CBE=CBD=65°；（2）ACB=90°，CBE=65°，CEB=90°65°=25°DFBE，F=CEB=25°