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1、数列的递推公式第1页，共12页，编辑于2022年，星期六 观察数列观察数列an，a1=2，a2=4，a3=8，a4=16，即即a1=2，从第，从第2项开始，每一项是它前一项的项开始，每一项是它前一项的2倍，因此该数列可以用如下方式给出：倍，因此该数列可以用如下方式给出：a1=2，an=2an1，(n=2，3，4，)再如数列，由操作计算器给出：再如数列，由操作计算器给出：1coscoscos a1=1，an=cos(an1)，(n=2，3，4，)第2页，共12页，编辑于2022年，星期六 如果已知数列的第如果已知数列的第1项项(或前几项或前几项)，且从第，且从第2项项(或某一项或某一项)开始的任
2、一项开始的任一项an与它的前一项与它的前一项an1(或前几项或前几项)间的关系可以用一个公式表示，那么间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式，递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。也是给出数列的一种方法。数列的递推公式数列的递推公式 a1=a，an=f(an1)，(n=2，3，4，)第3页，共12页，编辑于2022年，星期六例例1已知数列已知数列an的第的第1项是项是2，以后各项由公，以后各项由公式式 给出，写出这个数列的前给出，写出这个数列的前5项项.解：解：a1=2，第4页，共12页，编辑于2022年，星期六例例2.已知直线已知
3、直线l：y=x与曲线与曲线c：（如图所示），（如图所示），过曲线过曲线c上横坐标为上横坐标为1的一点的一点P1作作x轴的平行线交轴的平行线交l于于Q2，过，过Q2作作x轴的垂线交曲线轴的垂线交曲线c于于P2，再过，再过P2作作x轴的平行轴的平行线交线交l于于Q3，过，过Q3作作x轴的垂线交曲线轴的垂线交曲线c于于P3，设，设点点P1，P2，Pn，的纵坐标分别为的纵坐标分别为a1，a2，an，试求数列，试求数列an的递推公式。的递推公式。第5页，共12页，编辑于2022年，星期六解：由题意，点解：由题意，点P1的横坐标为的横坐标为1，纵坐标为，纵坐标为a1=，点点Qn+1与与Pn的纵坐标相同，都
4、是的纵坐标相同，都是an，同时点同时点Pn+1与与Qn+1的横坐标相等，的横坐标相等，点点Pn+1在曲线在曲线c：上，上，由横坐标得它的纵坐标为由横坐标得它的纵坐标为 即即这就是数列这就是数列an的递推公式。的递推公式。第6页，共12页，编辑于2022年，星期六例例3.根据下列各个数列根据下列各个数列an的首项及其递推公的首项及其递推公式，写出数列的前式，写出数列的前5项，并归纳出通项公式：项，并归纳出通项公式：（1）a1=0，an+1=an+(2n1)，nN+；（2）a1=1，,nN+；解：（解：（1）因为）因为a1=0，an+1=an+(2n1)，nN+；所以，所以，a2=1，a3=4，a
5、4=9，a5=16，归纳出它的通项公式是归纳出它的通项公式是an=(n1)2。第7页，共12页，编辑于2022年，星期六（2）a1=1，,nN+；解解:归纳出它的通项公式是归纳出它的通项公式是第8页，共12页，编辑于2022年，星期六例例4.数列数列an中，中，a1=1，对于所有的，对于所有的n2且且nN+，都有，都有 （1）求）求a3+a5；（2）是此数列中的项吗？是此数列中的项吗？解法解法1：（：（1）因为）因为所以，两式相除得所以，两式相除得n2，nN+，第9页，共12页，编辑于2022年，星期六所以所以解法解法2：（：（1）因为）因为 ，所以所以解得解得a2=4，又又解得解得同理可得同理可得第10页，共12页，编辑于2022年，星期六解：（解：（2）令）令 则则 解得解得n=16.所以所以 是此数列中的一项。是此数列中的一项。（2）是此数列中的项吗？是此数列中的项吗？第11页，共12页，编辑于2022年，星期六第12页，共12页，编辑于2022年，星期六