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1、数列通项公式的求法课件第1页，共39页，编辑于2022年，星期六等差数列的通项公式等差数列的通项公式：等比数列的通项公式：等比数列的通项公式：第2页，共39页，编辑于2022年，星期六 1 1、观察法、观察法 观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的结观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的结构，纵向看各项与项数构，纵向看各项与项数n n的内在联系。适用于一些的内在联系。适用于一些较简单、特殊的数列。较简单、特殊的数列。第3页，共39页，编辑于2022年，星期六例例1 1 写出下列数列的一个通项公式写出下列数列的一个通项公式（1 1）-1-1，4 4，-9-9，1616，-25-25，3636
2、，；解：解：（如果数列是正负相间（如果数列是正负相间的，把相应的关于的，把相应的关于 的式子乘以的式子乘以 或或 就可以了）就可以了）（2 2）2 2，3 3，5 5，9 9，17 17，33 33，；解：解：第4页，共39页，编辑于2022年，星期六1 1、累加法、累加法 若数列若数列 ,满足满足其中其中 是可求和数列，那么可用逐项作差后累加是可求和数列，那么可用逐项作差后累加的方法求的方法求 ，适用于差为特殊数列的数列。，适用于差为特殊数列的数列。第5页，共39页，编辑于2022年，星期六 例例1 1 已知数列已知数列 ,满足满足 ，求数列，求数列 的通项公式。的通项公式。解：由解：由 得
3、得则则 所以数列所以数列 的通项公式的通项公式第6页，共39页，编辑于2022年，星期六2 2、累乘法、累乘法 若数列若数列 ,满足满足其中数列其中数列 前前n n项积可求，则通项项积可求，则通项 可用可用逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。第7页，共39页，编辑于2022年，星期六例例2 2、已知、已知 ，,求通项公式求通项公式 解：解：，即即第8页，共39页，编辑于2022年，星期六3 3、利用数列前利用数列前 项和项和 求通项公式：求通项公式：数列前数列前 项和项和 与与 之间有如下关系：之间有如下关系：第9页，共39页，编辑于20
4、22年，星期六例例 4 4、设数列、设数列 的前项的和的前项的和（1 1）、求）、求 ；（2 2）、求证数列）、求证数列 为等比数列。为等比数列。解解(1)(1)、由由 ，得，得 第10页，共39页，编辑于2022年，星期六例例3 3 已知数列已知数列 的前的前 项和项和 求证：求证：为等比数列并求通项公式。为等比数列并求通项公式。第11页，共39页，编辑于2022年，星期六4 4、构造等差、等比数列法、构造等差、等比数列法 对对于于一一些些递递推推关关系系较较复复杂杂的的数数列列，可可通通过过对对递递推推关关系系公公式式的的变变形形、整整理理，从从中中构构造造出出一一个个新新的的等等比比或或
5、等等差差数数列列，从从而而将将问问题题转转化化为为前前面面已已解解决决的的几几种种情情形形来处理。来处理。（1 1）构造等差列法）构造等差列法 第12页，共39页，编辑于2022年，星期六例例5 5、已知数列、已知数列 中，中，（1 1）、求证）、求证 是等差数列是等差数列（2 2）、求）、求 的通项公式的通项公式解：解：首项为首项为1 1，公差为，公差为 的等差数列的等差数列第13页，共39页，编辑于2022年，星期六变式题：变式题：已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1=1,=1,a an+1n+1+3a+3an+1n+1a an n-a-an n=0,=0,求数列求数列aan
6、n 的通项公式的通项公式.第14页，共39页，编辑于2022年，星期六（1 1）若）若c=1c=1时，数列时，数列aan n 为等差数列为等差数列;（2 2）若）若d=0d=0时，数列时，数列aan n 为等比数列为等比数列;（3 3）若）若c1c1且且d0d0时，数列时，数列aan n 为线性递推数列，为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求其通项可通过构造辅助数列来求.方法方法1 1：待定系数法：待定系数法 设设a an+1n+1+m=c(a+m=c(an n+m),+m),得得a an+1n+1=c a=c an n+(c-1)m,+(c-1)m,与题设与题设a an+1n+1=c
7、a=c an n+d,+d,比较系数得比较系数得:(c-1)m=d,:(c-1)m=d,所以有：所以有：m=d/(c-1)m=d/(c-1)因此数列因此数列 构成以构成以 为首项，以为首项，以c c为公比的等比数列，为公比的等比数列，这种方法类似于换元法这种方法类似于换元法,主要用于形如主要用于形如a an+1n+1=c=c a an n+d(c+d(c0,a0,a1 1=a)=a)的已知递推关系式求通项公式。的已知递推关系式求通项公式。（构造法或待定系数法）（构造法或待定系数法）6.6.辅助数列法辅助数列法第15页，共39页，编辑于2022年，星期六第16页，共39页，编辑于2022年，星期
8、六方法四：归纳、猜想、证明方法四：归纳、猜想、证明.先计算出先计算出a a1 1,a,a2 2,a,a3 3;再猜想出通项再猜想出通项a an n;最后用数学归纳法证明最后用数学归纳法证明.方法三：迭代法方法三：迭代法 由由 递推式递推式直接迭代得直接迭代得第17页，共39页，编辑于2022年，星期六例例6:6:已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1=3,a=3,an+1n+1=2a=2an n+3,+3,求数列求数列的通项公式的通项公式解法解法1 1：由由a an+1n+1=2a=2an n+3+3得得 a an+1n+1+3=2+3=2（a an n+3+3）所以所以aan n+
9、3+3是以是以a a1 1+3+3为首项，以为首项，以2 2为公比的等比数为公比的等比数列，所以列，所以:a:an n+3=+3=（a a1 1+3+3）2 2n-1n-1故故a an n=62=62n-1n-1-3-3解法解法2 2：因为因为a an+1n+1=2a=2an n+3+3，所以，所以n1n1时，时，a an n=2a=2an-1n-1+3+3，两式相减，得：，两式相减，得：a an+1 n+1-a-an n=2(a=2(an n-a-an-1n-1).).故故aan n-a-an-1n-1 是以是以a a2 2-a-a1 1=6=6为首项，以为首项，以2 2为公比的等比数列为公
10、比的等比数列.a.an n-a-an-1n-1=(a(a2 2-a-a1 1)2)2n-1n-1=62=62n-1n-1,a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+(a)+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1 =6(2=6(2n-1n-1-1)+3=3(2-1)+3=3(2n-1n-1-1)-1)第18页，共39页，编辑于2022年，星期六第19页，共39页，编辑于2022年，星期六例例7.7.已知已知求数列求数列 a an n 的通项公式的通项公式.第20页，共39页，编辑于2022年，星期六7.7.逐差法逐差法 形如形如a
11、an+1n+1+a+an n=f(n)=f(n)的数列的数列.（1 1）若）若a an+1n+1+a+an n=d=d （d d为常数），则数列为常数），则数列 a an n 为为“等和等和数列数列”，它是一个周期数列，周期为，它是一个周期数列，周期为2 2，其通项分奇，其通项分奇数项和偶数项来讨论数项和偶数项来讨论;（2 2）若）若f(n)f(n)为为n n的函数（非常数）时，可通过构造的函数（非常数）时，可通过构造转化为转化为a an+1n+1-a-an n=f(n)=f(n)型，通过累加来求出通项型，通过累加来求出通项;或用逐或用逐差法差法(两式相减两式相减)转化为转化为a an+1n+
12、1-a-an-1n-1=f(n)-f(n-1),=f(n)-f(n-1),分奇偶项来分奇偶项来分求通项分求通项.第21页，共39页，编辑于2022年，星期六例例8.8.数列数列aan n 满足满足a a1 1=0,a=0,an+1n+1+a+an n=2n,=2n,求数求数列列aan n 的通项公式的通项公式.第22页，共39页，编辑于2022年，星期六第23页，共39页，编辑于2022年，星期六.第24页，共39页，编辑于2022年，星期六课时小结课时小结 这这节节课课我我们们主主要要学学习习了了数数列列的的通通项项公公式式的的求求法法，大大家家需要注意以下几点需要注意以下几点:1 1、若数
13、列、若数列 满足满足 可用累加法可用累加法来求通项公式；若数列来求通项公式；若数列 满足满足 可用累乘法来求通项公式可用累乘法来求通项公式;若数列若数列 满足满足 可用构造等差数列来求通项公式；若数列可用构造等差数列来求通项公式；若数列 满足，满足，可用构造等比数列来求通项公式；若数列可用构造等比数列来求通项公式；若数列已知前已知前 项项 和和 的关系可用的关系可用第25页，共39页，编辑于2022年，星期六课后作业课后作业第26页，共39页，编辑于2022年，星期六第27页，共39页，编辑于2022年，星期六第28页，共39页，编辑于2022年，星期六第29页，共39页，编辑于2022年，星期六第30页，共39页，编辑于2022年，星期六第31页，共39页，编辑于2022年，星期六第32页，共39页，编辑于2022年，星期六第33页，共39页，编辑于2022年，星期六第34页，共39页，编辑于2022年，星期六第35页，共39页，编辑于2022年，星期六第36页，共39页，编辑于2022年，星期六第37页，共39页，编辑于2022年，星期六第38页，共39页，编辑于2022年，星期六第39页，共39页，编辑于2022年，星期六