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1、专题20 反比例函数中的特殊图形存在性问题1、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数ykx+b（k0）与反比例函数y（m0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作ADx轴于D，AD4，sinAOD，且点B的坐标为（n，2）（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）E是y轴上一点，且AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标【分析】（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，确定出A坐标，进而求出m的值确定出反比例解析式，把B的坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）分类讨论：当AO为等腰三角形腰与
2、底时，求出点E坐标即可【解答】解：（1）一次函数ykx+b与反比例函数y图象交于A与B，且ADx轴，ADO90，在RtADO中，AD4，sinAOD，即AO5，根据勾股定理得：DO3，A（3，4），代入反比例解析式得：m12，即y，把B坐标代入得：n6，即B（6，2），代入一次函数解析式得：，解得：，即yx+2；（2）当OE3OE2AO5，即E2（0，5），E3（0，5）；当OAAE15时，得到OE12AD8，即E1（0，8）；当AE4OE4时，由A（3，4），O（0，0），得到直线AO解析式为yx，中点坐标为（1.5，2），AO垂直平分线方程为y2（x+），令x0，得到y，即E4（0，），综
3、上，当点E（0，8）或（0，5）或（0，5）或（0，）时，AOE是等腰三角形【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键2、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+b的图象经过点A（2，0），与反比例函数y（x0）的图象交于B（a，4）（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MNx轴，交反比例函数y（x0）的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标【分析】（1）根据一次函数yx+b的图象经过点A（2，0），可以求得b的值，从而可以解答本题；（2）根据平行四边形的性质和题意，可以求得点M的坐标
4、，注意点M的横坐标大于0【解答】解：（1）一次函数yx+b的图象经过点A（2，0），02+b，得b2，一次函数的解析式为yx+2，一次函数的解析式为yx+2与反比例函数y（x0）的图象交于B（a，4），4a+2，得a2，4，得k8，即反比例函数解析式为：y（x0）；（2）点A（2，0），OA2，设点M（m2，m），点N（，m），当MNAO且MNAO时，四边形AOMN是平行四边形，|2，解得，m2或m+2，点M的坐标为（2，）或（，2+2）【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答3、如图，一次函数yx+b的图象与y轴交于点B（0，2），与反
5、比例函数y（x0）的图象交于点D（m，n）以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A，C落在x轴上（点A在点C的右边），BD与AC交于点E（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点A的坐标【分析】（1）根据点B坐标可以确定b的值，作DFOB于F，由BEDE，OEDF，推出OFOB2，推出点D（3，2）即可解决问题；（2）求出BE的值，利用矩形的性质EAEB，求出OA即可解决问题；【解答】解：（1）一次函数yx+b的图象与y轴交于点B（0，2），b2，一次函数的解析式为yB（0，2），OB2，作DFOB于F四边形ABCD是矩形，BEED，OEDF，OBOF2，n2，D（m，2）在y上，m3，D
6、（3，2），点D在y上，k6，反比例函数的解析式为y（2）由（1）可知：OEDF，在RtBOE中，BE，在矩形ABCD中，AEBE，OAAEEO1，A（1，0）【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，平行线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型4、如图，一次函数yax+b的图象与反比例函数y（x0）的图象交于点P（m，4），与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点C，PBx轴于点B，且ACBC（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理
7、由【分析】（1）先根据题意得出P点坐标，把点P（3，4）代入反比例函数y即可得出k的值，再将A、P两点的坐标代入yax+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，进而得出结论；（2）先求得y2时，x6，再根据菱形的判定即可求解【解答】解：（1）ACBC，COAB，A（3，0），O为AB的中点，即OAOB3，P（3，4），B（3，0），将P（3，4）代入反比例解析式得：k12，即反比例解析式为y将A（3，0）与P（3，4）代入yax+b得：，解得：，一次函数解析式为yx+2；（2）如图所示，C（0，2），PBx轴，点D的纵坐标为2，把y2代入y中，得x6，得D（6，2），则点D（6，2）【点评】
8、本题考查的是反比例函数综合题，涉及到一次函数与反比例函数图象上点的坐标特点、菱形的判定与性质等知识，难度适中5、如图，正比例函数y2x的图象与反比例函数y的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC若ABC的面积为2（1）求k的值；（2）x轴上是否存在一点D，使ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故BOC的面积等于AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数y的比例系数k的几何意义，可知AOC的面积等于|k|，从而求出k的值；（2）先将y2x与y联立成
9、方程组，求出A、B两点的坐标，然后分三种情况讨论：当ADAB时，求出直线AD的关系式，令y0，即可确定D点的坐标；当BDAB时，求出直线BD的关系式，令y0，即可确定D点的坐标；当ADBD时，由O为线段AB的中点，可得ODABOA，然后利用勾股定理求出OA的值，即可求出D点的坐标【解答】解：（1）反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，A、B两点关于原点对称，OAOB，BOC的面积AOC的面积221，又A是反比例函数y图象上的点，且ACx轴于点C，AOC的面积|k|，|k|1，k0，k2故这个反比例函数的解析式为y；（2）x轴上存在一点D，使ABD为直角三角形将y2x与y联立成方程组得：
10、，解得：，A（1，2），B（1，2），当ADAB时，如图1，设直线AD的关系式为yx+b，将A（1，2）代入上式得：b，直线AD的关系式为yx+，令y0得：x5，D（5，0）；当BDAB时，如图2，设直线BD的关系式为yx+b，将B（1，2）代入上式得：b，直线BD的关系式为yx，令y0得：x5，D（5，0）；当ADBD时，如图3，O为线段AB的中点，ODABOA，A（1，2），OC1，AC2，由勾股定理得：OA，OD，D（，0）根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（，0）故x轴上存在一点D，使ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（5，0）或（，0）或（，0）【点评】本题
11、主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键另外第2问要分3种情况讨论6、如图，已知反比例函数y的图象与正比例函数ykx的图象交于点A（m，2）（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；（2）试根据图象写出不等式kx的解集；（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）把点A的坐标代入y求出m的值，再运用A的坐标求出k，两函数解析式联立得出B点的坐标（2）把k的值代入不等式，讨论当a0和当a0时分别求出不等式的解（3）讨论当C在第一象限时，OAC不可能为
12、等边三角形，当C在第三象限时，根据OAOC，求出点C的坐标，再看AC的值看是否构成等边三角形【解答】解：（1）把A（m，2）代入y，得2，解得m1，A（1，2）代入ykx，2k（1），解得，k2，y2x，又由2x，得x1或x1（舍去），B（1，2），（2）k2，kx为2x，根据图象可得：当x1和0x1时，反比例函数y的图象恒在正比例函数y2x图象的上方，即2x（3）当点C在第一象限时，OAC不可能为等边三角形，如图，当C在第三象限时，要使OAC为等边三角形，则OAOC，设C（t，）（t0），A（1，2）OAt2+5，则t45t2+40，t21，t1，此时C与A重合，舍去，t24，t2，C（2，
13、1），而此时AC，ACAO，不存在符合条件的点C【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出点C的坐标，看是否构成等边三角形7、反比例函数y在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数y的图象于点M，AOM的面积为3（1）求反比例函数的解析式；（2）设点B的坐标为（t，0），其中t1若以AB为一边的正方形ABCD有一个顶点在反比例函数y的图象上，求t的值【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义得到|k|3，可得到满足条件的k6，于是得到反比例函数解析式为y；（2）分类讨论：当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y的图象上，则D点与M
14、点重合，即ABAM，再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定M点坐标为（1，6），则ABAM6，所以t1+67；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y的图象上，根据正方形的性质得ABBCt1，则C点坐标为（t，t1），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t1）6，再解方程得到满足条件的t的值【解答】解：（1）AOM的面积为3，|k|3，而k0，k6，反比例函数解析式为y；（2）当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y的图象上，则D点与M点重合，即ABAM，把x1代入y得y6，M点坐标为（1，6），ABAM6，t1+67；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反
15、比例函数y的图象上，则ABBCt1，C点坐标为（t，t1），t（t1）6，整理为t2t60，解得t13，t22（舍去），t3，以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y的图象上时，t的值为7或3【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式yxk（k为常数，k0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式也考查了反比例函数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质8、如图，反比例函数y的图象经过点，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B（1，a），射线A
16、C与x轴交于点E，与y轴交于点C，BAC75，ADy轴，垂足为D（1）求反比例函数的解析式；（2）求DC的长；（3）在x轴上是否存在点P，使得APE与ACD相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由解：（1）反比例函数y的图象经过点，k2，反比例函数的解析式为：；（2）过点B作BMAD于M，把B（1，a）代入得，B（1，2），AMBM21，BAM45，BAC75，DAC754530，CDADtanDAC22；（3）存在，如图，OCCDOD1，OEOC，当APx轴时，APECDA，则：OP1AD2，P1（2，0），当APAE时，APEDCA，AP11，AP2P1903060则，
17、综上所述，满足条件点P的坐标为（2，0），（，0）9、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1kx+b（k0）的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，3）两点，与x轴交于点C（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）直接写出当y1y2时，x的取值范围；（3）在y轴上找一点P使PBPC最大，求PBPC的最大值及点P的坐标解：（1）把A（3，5）代入，可得m3515，反比例函数的解析式为；把点B（a，3）代入，可得a5，B（5，3）把A（3，5），B（5，3）代入y1x+b，可得，解得，一次函数的解析式为y1x+2；（2）当y1y2时，5x0或x3（3）一次函数的解析
18、式为y1x+2，令x0，则y2，一次函数与y轴的交点为P（0，2），此时，PBPCBC最大，P即为所求，令y0，则x2，C（2，0），10、如图，一次函数ykx+b（k0）与反比例函数y（a0）的图象在第一象限交于A，B两点，A点的坐标为（m，6），B点的坐标为（2，3），连接OA，过B作BCy轴，垂足为C（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在射线CB上是否存在一点D，使得AOD是直角三角形，求出所有可能的D点坐标解：（1）点B（2，3）在反比例函数y的图象上，a326，反比例函数的表达式为y，点A的纵坐标为6，点A在反比例函数y图象上，A（1，6），一次函数的表达式为y3x+9；（2
19、）如图，当OD1A90时，设BC与AO交于E，则E（，3），AEOED1E，E（，3），D1的坐标为（，3）；当OAD290时，可得直线AD2的解析式为：yx+，当y3时，x19，D2的坐标为（19，3），综上所述，当AOD是直角三角形，D点坐标为（，3）或（19，3）11、如图，直线yax+2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y（x0）相交于点P，PCx轴于点C，且PC4，点A的坐标为（4，0）（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，过点Q作QHx轴于点H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与AOB相似时，求点Q的坐标解：（1）把A（4，0）代入yax+2，得，4a
20、+20，解得a，故直线AB的解析式为yx+2，把y4代入yx+2，得，x+24，解得x4，点P（4，4）把P（4，4）代入y，得k16，故双曲线的解析式为y；（2）把x0代入yx+2，得y2，点B的坐标为（0，2），OB2，A（4，0），OA4，设Q（m，），则CHm4，QH，由题意可知AOBQHC90，当AOBQHC时，即，解得：m12+2，m222 （不合题意，舍去），点Q的坐标为（2+2，44），当BOAQHC时，即，解得m18，m24（不合题意，舍去），点Q的坐标为（8，2）综上可知，点Q的坐标为（2+2，44）或（8，2）12、如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y（k0）的图
21、象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变（1）若点A的横坐标为5，求点D的纵坐标；（2）如图（2），当k8时，分别求出正方形ABCD的顶点A、B两点的坐标；（3）当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形ABCD有重叠部分时，求k的取值范围解：（1）如图，过点A作AEy轴于点E，则AED90四边形ABCD为正方形，ADDC，ADC90，ODC+EDA90ODC+OCD90，EDAOCD，在AED和DOC中，AEDDOC（AAS），ODEA5，点D的纵坐标为5；（2）作AMy轴于M，BNx轴于点N，设ODa，OCb，同理可得BCNCDOADE，CNO
22、DAMa，BNCODMb，A（a，a+b），B（a+b，b），点A、B在反比例函数y的图象上，a（a+b）8，b（a+b）8，解得ab2或ab2（舍去），A、B两点的坐标分别为（2，4），（4，2）；（3）设直线AB的解析式为ymx+n，把A（2，4），B（4，2）代入得，解得，直线AB解析式为yx+6，同样可求得直线CD解析式为yx+2，由（2）可知OCD是等腰直角三角形，设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，m），当A点在直线CD上时，则2mm+2，解得m，此时点A的坐标为（，），k；当点D在直线AB上时，有m6，此时点A的坐标为（6，12），k61272；综上可知：当变化的正方形A
23、BCD与（2）中的正方形ABCD有重叠部分时，k的取值范围为x7213、如图，一次函数yx+3的图象与反比例函数y（k0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且APC的面积为5，求点P的坐标；（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由解：（1）把点A（1，a）代入yx+3，得a2，A（1，2），把A（1，2）代入反比例函数，k122；反比例函数的表达式为；（2）一次函数yx+3的图象与x轴交于点C，C（3，0），设P（x，0），PC|3
24、x|，SAPC|3x|25，x2或x8，P的坐标为（2，0）或（8，0）；（3）存在，理由如下：联立，解得：或，B点坐标为（2，1），点P在y轴上，设P（0，m），AB，AP，PB，若BP为斜边，BP2AB2+AP2 ，即 2+，解得：m1，P（0，1）；若AP为斜边，AP2PB2+AB2 ，即 +2，解得：m1，P（0，1）；综上所述：P（0，1）或 P（0，1）14、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标（2，3），过点A作AHx轴，垂足为点H，AH交反比例函数在第一象限的图象于点B，且满足2（1）求该反比例函数的解析式；（2）点C在x正半轴上，点D在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标解：点A坐标（2，3），AH3，2，BH1，AB2，点B（2，1），设反比例函数的解析式为y（k0），点B在反比例函数的图象上，k212，反比例函数的解析式为y；（2）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD2，ABx轴，CDx轴，点D纵坐标2，点D坐标（1，2）题解析著作权属菁优网所有，未经书面同不得复制发布