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1、专题38 反比例函数1反比例函数：形如y（k为常数，k0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k、 。 2图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点。它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3性质:（1）当k0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； （2）当k0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩
2、形的面积。5反比例函数解析式的确定由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。【例题1】（2020德州）函数y=kx和ykx+2（k0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）ABCD【答案】D【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题【解析】在函数y=kx和ykx+2（k0）中，当k0时，函数y=kx的图象在第一、三象限，函数ykx+2的图象在第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，当k0时，函数y=kx的图象在第二、四象限，函数ykx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错误，
3、【对点练习】（2019广西贺州）已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能【答案】A【解析】若反比例函数经过第一、三象限，则所以则一次函数的图象应该经过第一、二、三象限；若反比例函数经过第二、四象限，则所以则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限故选项正确。【例题2】（2020天津）若点A（x1，5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y=10x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）Ax1x2x3Bx2x3x1Cx1x3x2Dx3x1x2【答案】C【分析】将点A（x1，5），B（x2，2），C（x3，5）分别代入反比例函数y=10x，求得x1，x2，x3的值后，再来
4、比较一下它们的大小【解析】点A（x1，5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y=10x的图象上，5=10x，即x12，2=10x，即x25；5=10x，即x32，225，x1x3x2【对点练习】（2020湖北黄石模拟）已知反比例函数（为常数），当时，随的增大而增大，则一次函数的图像不经过第几象限（ ）A.一 B. 二 C. 三 D. 四【答案】B。【解析】反比例函数（b为常数），当x0时，y随x的增大而增大，b0。一次函数y=x+b中k=10，b0，此函数的图象经过一、三、四限。此函数的图象不经过第二象限。故选B。【点拨】一次函数图象与系数的关系，反比例函数的性质。【例题3】（20
5、20贵州黔西南）如图，在菱形ABOC中，AB2，A60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y（k0）的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）A. yB. yC. yD. y【答案】B【解析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式解：因为在菱形ABOC中，A60°，菱形边长为2，所以OC2，COB60°如答图，过点C作CDOB于点D，则ODOC·cosCOB2×cos60°2×1，CDOC·sinCOB2×sin60°2×因为点C
6、在第二象限，所以点C的坐标为（1，）因为顶点C在反比例函数y的图象上，所以，得k，所以反比例函数的解析式为y，因此本题选B【点拨】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C的坐标【对点练习】（2020湖北荆门模拟）如图，点A是反比例函数（x0）的图象上任意一点，ABx轴交反比例函数的图象于点B，以AB为边作ABCD，其中C、D在x轴上，则SABCD为（ ）A 2 B 3 C 4 D 5【答案】D【解析】考点有反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。设A的纵坐标是a，则B的纵坐标也是a把y=a代入得，则，即A的横坐标是；同理可得：
7、B的横坐标是：。AB=。SABCD=×a=5。故选D。【例题4】（2020重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE若AD平分OAE，反比例函数y=kx（k0，x0）的图象经过AE上的两点A，F，且AFEF，ABE的面积为18，则k的值为_。【答案】12【分析】如图，连接BD，OF，过点A作ANOE于N，过点F作FMOE于M证明BDAE，推出SABESAOE18，推出SEOF=12SAOE9，可得SFME=13SEOF3，由此即可解决问题【解析】如图，连接BD，OF，过点A作ANOE于N，过点F作FMOE于MANFM，AF
8、FE，MNME，FM=12AN，A，F在反比例函数的图象上，SAONSFOM=k2，12ONAN=12OMFM，ON=12OM，ONMNEM，ME=13OE，SFME=13SFOE，AD平分OAE，OADEAD，四边形ABCD是矩形，OAOD，OADODADAE，AEBD，SABESAOE，SAOE18，AFEF，SEOF=12SAOE9，SFME=13SEOF3，SFOMSFOESFME936=k2，k12【对点练习】（2019湖南郴州）如图，点A，C分别是正比例函数yx的图象与反比例函数y=4x的图象的交点，过A点作ADx轴于点D，过C点作CBx轴于点B，则四边形ABCD的面积为 【答案】
9、8【解析】A、C是两函数图象的交点，A、C关于原点对称，CDx轴，ABx轴，OAOC，OBOD，SAOBSBOCSDOCSAOD，又反比例函数y=4x的图象上，SAOBSBOCSDOCSAOD=12×42，S四边形ABCD4SAOB4×28【例题5】（2020甘孜州）如图，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A（2，m）和B两点（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标【答案】见解析。【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式可求m的值，再将点A坐标代入反比例函数解析式，可求解；（2）联立方程组可求解【解析】（1）一次函数y=12x+1的图象过点
10、A（2，m），m=12×2+12，点A（2，2），反比例函数y=kx的图象经过点A（2，2），k2×24，反比例函数的解析式为：y=4x；（2）联立方程组可得：y=12x+1y=4x，解得：x1=-4y1=-1或x2=2y2=2，点B（4，1）【对点练习】（2019吉林省）已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6,（1） 求y关于x的函数解析式；（2） 当x=4时，求y的值【答案】见解析。【解析】将x=2时，y=6代入解析式即可求出待定系数，即可求出解析式； 当x=4时，代入解析式，可求出y的值（1）y是x的反比例函数，设y=(k0），当x=2时，y=6,k=xy=1
11、2,y=(2)当x=4时，代入y=得，y=一、选择题1（2020武汉）若点A（a1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y=kx（k0）的图象上，且y1y2，则a的取值范围是（）Aa1B1a1Ca1Da1或a1【答案】B【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，当点（a1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上时，当点（a1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上时【解析】k0，在图象的每一支上，y随x的增大而增大，当点（a1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，y1y2，a1a+1，此不等式无解；当点（a1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，y1y2，a10，a+10，
12、解得：1a1，2（2020河南）若点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=-6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay1y2y3By2y3y1Cy1y3y2Dy3y2y1【答案】C【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论【解析】点A（1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y=-6x的图象上，y1=-6-1=6，y2=-62=-3，y3=-63=-2，又326，y1y3y23（2020苏州）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y=kx（k0，x0）的
13、图象经过C、D两点已知平行四边形OABC的面积是152，则点B的坐标为（）A（4，83）B（92，3）C（5，103）D（245，165）【答案】B【分析】求出反比例函数y=6x，设OB的解析式为ymx+b，由OB经过点O（0，0）、D（3，2），得出OB的解析式为y=23x，设C（a，6a），且a0，由平行四边形的性质得BCOA，S平行四边形OABC2SOBC，则B（9a，6a），BC=9a-a，代入面积公式即可得出结果【解析】反比例函数y=kx（k0，x0）的图象经过点D（3，2），2=k3，k6，反比例函数y=6x，设OB的解析式为ymx+b，OB经过点O（0，0）、D（3，2），0=b
14、2=3m+b，解得：m=23b=0，OB的解析式为y=23x，反比例函数y=6x经过点C，设C（a，6a），且a0，四边形OABC是平行四边形，BCOA，S平行四边形OABC2SOBC，点B的纵坐标为6a，OB的解析式为y=23x，B（9a，6a），BC=9a-a，SOBC=12×6a×（9a-a），2×12×6a×（9a-a）=152，解得：a2，B（92，3），故选：B4.（2020长沙）2019年10月，长沙晚报对外发布长沙高铁西站设计方案该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态该高铁站建设初期需要运送大量土
15、石方某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（）Av=106tBv106tCv=1106t2Dv106t2【答案】A【分析】按照运送土石方总量平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，列出等式，然后变形得出v关于t 的函数，观察选项可得答案【解析】运送土石方总量平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，106vt，v=106t5. （2019贵州省毕节市）若点A（4，y1）、B（2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y的图象上，则y1、y2、y3的
16、大小关系是（）Ay1y2y3By3y2y1Cy2y1y3Dy1y3y2【答案】C【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论点A（4，y1）、B（2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y的图象上，y1，y2，y3，又，y3y1y2故选：C6.(2019安徽)已知点A（1，3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y的图象上，则实数k的值为（）A3BC3D【答案】A 【解析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为（1，3），然后把A的坐标代入y中即可得到k的值点A（1，3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A（1，3）
17、代入y得k1×33故选：A7.（2019山东枣庄）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上，ABC90°，CAx轴，点C在函数y（x0）的图象上，若AB1，则k的值为（）A1BCD2【答案】A 【解析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上，ABC90°，CAx轴，AB1，BACBAO45°，OAOB，AC，点C的坐标为（，），点C在函数y（x0）的图象上，k1故选：A8.（2019四川泸州）如图，一次函数y
18、1ax+b和反比例函数y2=kx的图象相交于A，B两点，则使y1y2成立的x取值范围是（）A2x0或0x4Bx2或0x4Cx2或x4D2x0或x4【答案】B【解析】观察函数图象可发现：当x2或0x4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，使y1y2成立的x取值范围是x2或0x4故选：B二、填空题9（2020安顺）如图，点A是反比例函数y=3x图象上任意一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，则四边形OBAC的面积为【答案】3【分析】根据反比例函数y=3x的图象上点的坐标性得出|xy|3，进而得出四边形OQMP的面积【解析】过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，AB×AC
19、|k|3，则四边形OBAC的面积为：310（2020泰州）如图，点P在反比例函数y=3x的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数y=kx（k0）的图象相交于点A、B，则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为【答案】3【分析】点P在反比例函数y=3x的图象上，且横坐标为1，则点P（1，3），则点A、B的坐标分别为（1，k），（13k，3），即可求解【解析】点P在反比例函数y=3x的图象上，且横坐标为1，则点P（1，3），则点A、B的坐标分别为（1，k），（13k，3），设直线AB的表达式为：ymx+t，将点A、B的坐标代入上式得k=m+t3=-13km+t，解得m3，故直线AB
20、与x轴所夹锐角的正切值为3。11（2020哈尔滨）已知反比例函数y=kx的图象经过点（3，4），则k的值为 【答案】-12【分析】把（3，4）代入函数解析式y=kx即可求k的值【解析】反比例函数y=kx的图象经过点（3，4），k3×41212.（2019北京市）在平面直角坐标系中，点在双曲线上点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为_.【答案】0【解析】关于x轴对称的点的坐标特点、双曲线上点的坐标与k的关系.A、B两点关于x轴对称，B点的坐标为.又A、B两点分别在又曲线和上；.；故填0.13.（2019贵州省毕节市） 如图，在平面直角坐标中，一次函数y4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A
21、、B两点正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数y（k0）的图象上若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是 【答案】3.【解析】过点D作DEx轴过点C作CFy轴，可证ABODAE（AAS），CBFBAO（AAS），则可求D（5，1），C（4，5），确定函数解析式y，C向左移动n个单位后为（4n，5），进而求n的值；过点D作DEx轴，过点C作CFy轴，ABAD，BAODAE，ABAD，BOADEA，ABODAE（AAS），AEBO，DEOA，易求A（1，0），B（0，4），D（5，1），顶点D在反比例函数y上，k5，y，易证CBFBAO（A
22、AS），CF4，BF1，C（4，5），C向左移动n个单位后为（4n，5），5（4n）5，n3，故答案为3；14.（2019湖北孝感）如图，双曲线y=9x（x0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y=kx（x0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF若OD：OB2：3，则BEF的面积为 【答案】2518【解析】设D（2m，2n），OD：OB2：3，A（3m，0），C（0，3n），B（3m，3n），双曲线y=9x（x0）经过矩形OABC的顶点B，93m3n，mn1，双曲线y=kx（x0）经过点D，k4mn双曲线y=4mnx（x0），E（3m，43n），F（43m，3n），BE
23、3n-43n=53n，BF3m-43m=53m，SBEF=12BEBF=2518mn=2518故答案为2518三、解答题15. （2020湖北宜昌模拟）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（）的反比例函数，其图象如图所示（1）求这个反比例函数的表达式；（2）当R=10时，电流能是4A吗？为什么？【答案】（1）I=。（2）（2）当R=10时，I=3.64，电流不可能是4A。【解析】根据）电流I（A）是电阻R（）的反比例函数，设出I=（k0）后把（4，9）代入求得k值即可。将R=10代入上题求得的函数关系式后求得电流的值与4比较即可。（1）电流I（A）是电阻R（）的反比例函数，设
24、I=（k0）。 把（4，9）代入得：k=4×9=36。这个反比例函数的表达式I=。（2）当R=10时，I=3.64，电流不可能是4A。16. （2020湖北咸宁模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（，2）两点（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出时的取值范围【答案】（1）一次函数的解析式为，。（2）13。【解析】（1）点A（1，6），B（a，2）在的图象上，得。反比例函数的解析式为。，。B（3，2）。点A（1，6），B（3，2）在函数的图象上，解得。一次函数的解析式为。（2）由A、B两点横坐标可知13。【点拨】反比例函数与一次函数的交点问题，
25、曲线上点的坐标与方程的关系。（1）先把A（1，6）代入反比例函数的解析式求出m的值，从而可得出反比例函数的解析式，再把B（a，2）代入反比例函数的解析式即可求出a的值，把点A（1，6），B（3，2）代入函数y1=kx+b即可求出k、b的值，进而得出一次函数的解析式。（2）根据函数图象可知，当x在A、B点的横坐标之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再由A、B两点的横坐标即可求出x的取值范围。17（2020襄阳）如图，反比例函数y1=mx（x0）和一次函数y2kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）（1）m，n；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1y2时x的取值范围；（3）
26、若点P是反比例函数y1=mx（x0）的图象上一点，过点P作PMx轴，垂足为M，则POM的面积为【答案】见解析。【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标；（2）分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1y2时x的取值范围；（3）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得【解析】（1）把A（1，4）代入y1=mx（x0）得：m1×44，y=4x，把B（n，2）代入y=4x得：2=4n，解得n2；故答案为4，2；（2）把A（1，4）
27、、B（2，2）代入y2kx+b得：k+b=42k+b=2，解得：k2，b6，即一次函数的解析式是y2x+6由图象可知：y1y2时x的取值范围是1x2；（3）点P是反比例函数y1=mx（x0）的图象上一点，过点P作PMx轴，垂足为M，SPOM=12|m|=12×4=2，故答案为218（2020连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x0）的图象经过点A（4，32），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点（1）m，点C的坐标为 ；（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DEy轴，交反比例函数图象于点E，求ODE面积的最大值【答案】见解析。【分析
28、】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到SODE=-38（x1）2+278，由二次函数的性质即可求得结论【解析】（1）反比例函数y=mx（x0）的图象经过点A（4，32），m=4×32=6，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点C（2，0）；故答案为6，（2，0）；（2）设直线AB的解析式为ykx+b，把A（4，32），C（2，0）代入得4k+b=322k+b=0，解得k=34b=-32，直线AB的解析式为y=34x-32；点D为线段AB上的一个动点，设D（x，34x-3
29、2）（0x4），DEy轴，E（x，6x），SODE=12x（6x-34x+32）=-38x2+34x+3=-38（x1）2+278，当x1时，ODE的面积的最大值为27819（2020济宁）在ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，ABC的面积为2（1）y关于x的函数关系式是 ，x的取值范围是 ；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；（3）将直线yx+3向上平移a（a0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值【答案】见解析。【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可；（3）将直线yx+3向上平移a（a0）个单位
30、长度后解析式为yx+3+a，根据一元二次方程根的判别式即可得到结论【解析】（1）在ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，ABC的面积为2，12xy2，xy4，y关于x的函数关系式是y=4x，x的取值范围为x0，故答案为：y=4x，x0；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；（3）将直线yx+3向上平移a（a0）个单位长度后解析式为yx+3+a，解y=-x+3+ay=4x，整理得，x2（3+a）x+40，平移后的直线与上述函数图象有且只有一个交点，（3+a）2160，解得a1，a7（不合题意舍去），故此时a的值为120.（2019年广西柳州市）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0
31、），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，反比例函数y（k0，x0）的图象经过点C（1）求直线AB和反比例函数y（k0，x0）的解析式；（2）已知点P是反比例函数y（k0，x0）图象上的一个动点，求点P到直线AB距离最短时的坐标【答案】见解析。【解析】将点A（1，0），点B（0，2），代入ymx+b，可求直线解析式；过点C作CDx轴，根据三角形全等可求C（3，1），进而确定k；设与AB平行的直线y2x+h，联立2x+b，当b2240时，点P到直线AB距离最短；（1）将点A（1，0），点B（0，2），代入ymx+b，b2，m2，y2x+2；过点C作CDx轴，线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，ABOCAD（AAS），ADAB2，CDOA1，C（3，1），k3，y；（2）设与AB平行的直线y2x+h，联立2x+b，2x2+bx30，当b2240时，b，此时点P到直线AB距离最短；P（，）；