《二次函数与特殊图形的存在性问题-2022年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（解析版）【江苏专用】.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数与特殊图形的存在性问题-2022年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（解析版）【江苏专用】.docx（81页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1/81学科网（北京）股份有限公司20222022 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）专题专题 4 二次函数与特殊图形的存在性问题二次函数与特殊图形的存在性问题【真题再现】【真题再现】1（2021江苏淮安中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y14x2bxc 的图象与 x 轴交于点 A（3，0）和点 B（5，0），顶点为点 D，动点 M、Q 在 x 轴上（点 M 在点 Q 的左侧），在 x 轴下方作矩形 MNPQ，其中 MQ3，MN2矩形 MNPQ 沿 x 轴以每秒 1 个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点 M
2、的坐标为（6，0），当点 M 与点 B 重合时停止运动，设运动的时间为 t 秒（t0）（1）b，c（2）连接 BD，求直线 BD 的函数表达式（3）在矩形 MNPQ 运动的过程中，MN 所在直线与该二次函数的图象交于点 G，PQ 所在直线与直线 BD 交于点 H，是否存在某一时刻，使得以 G、M、H、Q 为顶点的四边形是面积小于 10 的平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由（4）连接 PD，过点 P 作 PD 的垂线交 y 轴于点 R，直接写出在矩形 MNPQ 整个运动过程中点 R 运动的路径长【答案】（1）12，154；（2）yx5；（3）存在，t5 或 t52 6；（4
3、）1374【解析】【分析】（1）把3,0,5,0AB代入214yxbxc，列方程组求出 b，c 的值；（2）将抛物线的函数表达式由一般式配成顶点式，求出顶点 D 的坐标，再用待定系数法求直线 BD 的函数表达式；（3）先由10QM QH，且0QH，确定 t 的取值范围，再用含 t 的代数式分别表示点 G、点 H 的坐标，由MGHQ列方程求出 t 的值；（4）过点 P 作直线1x 的垂线，垂足为点 F，交 y 轴于点 G，由PRGDPF，确定点 R的最低点和最高点的坐标，再求出点 R 运动的路径长2/81学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）把3,0,5,0AB代入214yxbxc，得93
4、0425504bcbc，解得12154bc ，故答案为：12，154（2）21115424yxx14214x，该抛物线的顶点坐标为1,4D；设直线 BD 的函数表达式为ymxn，则504mnmn，解得15mn，5yx（3）存在，如图 1、图 2由题意得，6,0,3,0M tQ t，217336,424G ttt，3,8H tt；10QM QH，且0QH，3(8)103(8)1080ttt，解得143t343，且8t；MG/HQ，当MGHQ时，以,G M H Q为顶点的四边形是平行四边形，217338424tt；由217338424tt，解得，125,13tt（不符合题意，舍去）；由217338
5、424tt ，解得，1252 6,52 6tt（不符合题意，舍去），综上所述，5t 或52 6t 3/81学科网（北京）股份有限公司（4）由（2）得，抛物线21115424yxx的对称轴为直线1x，过点 P 作直线1x 的垂线，垂足为点 F，交 y 轴于点 G，如图 3，点 Q 在 y 轴左侧，此时点 R 在点 G 的上方，当点 M 的坐标为（6，0）时，点 R 的位置最高，此时点 Q 与点 A 重合，90,90PGRDFPRPGFPDPDF ，PRGDPF，RGPGPFDF，RG PG PFDF3 426，R（0，4）；如图 4，为原图象的局部入大图，当点 Q 在 y 轴右侧且在直线1x 左
6、侧，此时点 R 的最低位置在点 G 下方，由PRGDPF，得，RGPGPFDF，4/81学科网（北京）股份有限公司GRPG PFDF；设点 Q 的坐标为（r，0）（0r1），则 P（r，2），GR(1)2rr12r212r2111()228r，当 r12时，GR 的最小值为18，R（0，178）；如图 5，为原图象的缩小图，当点 Q 在直线1x 右侧，则点 R 在点 G 的上方，当点 M 与点 B 重合时，点 R 的位置最高，由PRGDPF，得，RGPGPFDF，GRPG PFDF8 7228，R（0，26），17171374+26+=884，点 R 运动路径的长为13745/81学科网（北京
7、）股份有限公司【点睛】本题重点考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、解一元二次方程以及动点问题的求解等知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，综合性强、难度大，属于考试压轴题2（2021江苏宿迁中考真题）如图，抛物线21y2xbxc 与x轴交于 A(-1，0)，B(4，0)，与y轴交于点 C连接 AC，BC，点 P 在抛物线上运动(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若点 P 在第四象限，点 Q 在 PA 的延长线上，当CAQ=CBA45时，求点 P的坐标；(3)如图，若点 P 在第一象限，直线 AP 交 BC
8、 于点 F，过点 P 作x轴的垂线交 BC 于点 H，当PFH 为等腰三角形时，求线段 PH 的长6/81学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）213222yxx；（2）（6，-7）；（3）PH=3 55或 1.5 或158【解析】【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）求得点 C 的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断ACB=90，继而可得ACO=CBA，在 x 轴上取点 E（2，0），连接 CE，易得OCE 是等腰直角三角形，可得OCE=45，进一步可推出ACE=CAQ，可得 CEPQ，然后利用待定系数法分别求出直线 CE 与 PQ 的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；（3）
9、设直线 AP 交 y 轴于点 G，如图，由题意可得若PFH 为等腰三角形，则CFG 也为等腰三角形，设 G（0，m），求出直线 AF 和直线 BC 的解析式后，再解方程组求出点 F 的坐标，然后分三种情况求出 m 的值，再求出直线 AP 的解析式，进而可求出点 P 的坐标，于是问题可求解【详解】解：（1）把 A(-1，0)，B(4，0)代入21y2xbxc，得102840bcbc ，解得：322bc，7/81学科网（北京）股份有限公司抛物线的解析式是213222yxx；（2）令 x=0，则 y=2，即 C（0，2），222125AC，2222420BC，AB2=25，222ACBCAB，ACB
10、=90，ACO+CAO=CBA+CAO=90，ACO=CBA，在 x 轴上取点 E（2，0），连接 CE，如图，则 CE=OE=2，OCE=45，ACE=ACO+45=CBA+45=CAQ，CEPQ，C（0，2），E（2，0），直线 CE 的解析式为 y=-x+2，设直线 PQ 的解析式为 y=-x+n，把点 A（-1，0）代入，可得 n=-1，直线 PQ 的解析式为 y=-x-1，解方程组2132221yxxyx ，得10 xy 或67xy，点 P 的坐标是（6，-7）；（3）设直线 AP 交 y 轴于点 G，如图，PHy 轴，PHC=OCB，FPH=CGF，若PFH 为等腰三角形，则CFG
11、 也为等腰三角形，C（0，2），B（4，0），8/81学科网（北京）股份有限公司直线 BC 的解析式为122yx，设 G（0，m），A（-1，0），直线 AF 的解析式为 y=mx+m，解方程组122yxymxm，得4221521mxmmym，点 F 的坐标是425,21 21mmmm，222222224254252,2,21212121mmmmCGmCFFGmmmmm，当 CG=CF 时，222425222121mmmmm，解得：512m（舍去负值），此时直线 AF 的解析式为 y=512x+512，解方程组213222515122yxxyx，得10 xy 或557 5112xy，点 P 的
12、坐标是（55，7 5112），此时点 H 的坐标是（55，512），PH=7 511513 5522；当FG=FC时，2222425425221212121mmmmmmmmm，解得m=12或m=12（舍）或 m=2（舍），此时直线 AF 的解析式为 y=12x+12，解方程组2132221122yxxyx，得10 xy 或32xy，点 P 的坐标是（3，2），此时点 H 的坐标是（3，12），PH=2-12=1.5；当 GF=GC 时，22242522121mmmmmm，解得34m 或 m=2（舍去），9/81学科网（北京）股份有限公司此时直线 AF 的解析式为 y=34x+34，解方程组21
13、32223344yxxyx，得10 xy 或52218xy，点 P 的坐标是（52，218），此时点 H 的坐标是（52，34），PH=21315848；综上，PH=3 55或 1.5 或158【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键3（2020 年盐城第 25 题）若二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点 M（x1，0），N（x2，0）（0 x1x2），且经过点 A（0，2）过点 A
14、的直线 l 与 x 轴交于点 C，与该函数的图象交于点 B（异于点 A）满足ACN 是等腰直角三角形，记AMN 的面积为 S1，BMN 的面积为 S2，且 S2?S1（1）抛物线的开口方向上（填“上”或“下”）；（2）求直线 l 相应的函数表达式；（3）求该二次函数的表达式10/81学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据题意借助图象即可得到结论；（2）由点 A（0，2）及CAN 是等腰直角三角形，可知 C（2，0），N（2，0），由 A、C 两点坐标可求直线 l；（3）由 S2?S1，可知 B 点纵坐标为 5，代入直线 AB 解析式可求 B 点横坐标，将 A、B、N 三点坐标代入 yax
15、2+bx+c 中，可求抛物线解析式【解析】（1）如图，如二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点 M（x1，0），N（x2，0）（0 x1x2），且经过点 A（0，2）yax2+bx+2，令 y0，则 ax2+bx+20，0 x1x2，?0，a0，抛物线开口向上，故答案为：上；（2）若ACN90，则 C 与 O 重合，直线 l 与抛物线交于 A 点，因为直线 l 与该函数的图象交于点 B（异于点 A），所以不合题意，舍去；若ANC90，则 C 在 x 轴的下方，与题意不符，舍去；若CAN90，则ACNANC45，AOCONO2，C（2，0），N（2，0），设直线 l 为 ykx
16、+b，将 A（0，2）C（2，0）代入得?入得?，解得入?，直线 l 相应的函数表达式为 yx+2；（3）过 B 点作 BHx 轴于 H，S1?t?t，S2?t?t，S2?S1，11/81学科网（北京）股份有限公司BH?OA，OA2，BH5，即 B 点的纵坐标为 5，代入 yx+2 中，得 x3，B（3，5），将 A、B、N 三点的坐标代入 yax2+bx+c 得?得?得?得?得?，解得?，抛物线的解析式为 y2x25x+24（2020 年徐州第 28 题）如图，在平面直角坐标系中，函数 yax2+2ax+3a（a0）的图象交 x 轴于点 A、B，交 y 轴于点 C，它的对称轴交 x 轴于点
17、E过点 C 作 CDx 轴交抛物线于点 D，连接 DE 并延长交 y 轴于点 F，交抛物线于点 G直线 AF 交 CD 于点 H，交抛物线于点 K，连接 HE、GK（1）点 E 的坐标为：（1，0）；（2）当HEF 是直角三角形时，求 a 的值；（3）HE 与 GK 有怎样的位置关系？请说明理由12/81学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用对称轴公式求解即可（2）连接 EC，分两种情形：当HEF90时，当HFE90，分别求解即可（3）求出直线 HF，DF 的解析式，利用方程组确定点 K，G 的坐标，再求出直线 EH，GK 的解析式即可判断【解析】（1）对于抛物线 yax2+2ax+3a
18、，对称轴 x?1，E（1，0），故答案为（1，0）（2）如图，连接 EC对于抛物线 yax2+2ax+3a，令 x0，得到 y3a，令 y0，ax2+2ax+3a0，解得 x1 或 3，A（1，0），B（3，0），C（0，3a），C，D 关于对称轴对称，D（2，3a），CD2，ECDE，当HEF90时，EDEC，ECDEDC，DCF90，CFD+EDC90，ECF+ECD90，ECFEFC，ECEFDE，EADH，13/81学科网（北京）股份有限公司FAAH，AE?DH，AE2，DH4，HEDFEFED，FHDH4，在 RtCFH 中，则有 4222+（6a）2，解得 a?或?（不符合题意舍弃
19、），a?当HFE90时，OAOE，FOAE，FAFE，OFOAOE1，3a1，a?，综上所述，满足条件的 a 的值为?或?（3）结论：EHGK理由：由题意 A（1，0），F（0，3a），D（2，3a），H（2，3a），E（1，0），直线 AF 的解析式 y3ax3a，直线 DF 的解析式为 y3ax3a，由?得?得?，解得?或?h?，K（6，21a），由?得?得?，解得?或?，G（3，12a），直线 HE 的解析式为 yax+a，直线 GK 的解析式为 yax15a，k 相同，a15a，HEGK14/81学科网（北京）股份有限公司5（2020 年苏州第 25 题）如图，二次函数 yx2+bx
20、的图象与 x 轴正半轴交于点 A，平行于x 轴的直线 l 与该抛物线交于 B、C 两点（点 B 位于点 C 左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，3）（1）求 b 的值；（2）设 P、Q 是 x 轴上的点（点 P 位于点 Q 左侧），四边形 PBCQ 为平行四边形过点P、Q 分别作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 P（x1，y1）、Q（x2，y2）若|y1y2|2，求x1、x2的值【分析】（1）抛物线的对称轴为 x2，即?b2，解得：b4，即可求解；（2）求出点 B、C 的坐标分别为（1，3）、（3，3），则 BC2，而四边形 PBCQ 为平行四边形，则 PQBC2，故 x2x12，即可求解【解析
21、】（1）直线与抛物线的对称轴交于点 D（2，3），故抛物线的对称轴为 x2，即?b2，解得：b4，15/81学科网（北京）股份有限公司（2）b4抛物线的表达式为：yx24x；把 y3 代入 yx24x 并解得 x1 或 3，故点 B、C 的坐标分别为（1，3）、（3，3），则 BC2，四边形 PBCQ 为平行四边形，PQBC2，故 x2x12，又y1x124x1，y2x224x2，|y1y2|2，故|（x124x1）（x224x2）|2，|x1+x24|1x1+x25 或 x1+x23，由?得?，解得?；由?得?，解得?6（2020 年无锡第 28 题）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线
22、 OA 交二次函数 y?x2的图象于点 A，AOB90，点 B 在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中 m0）且平行于 x 轴的直线交直线 OA 于点 M，交直线 OB 于点 N，以线段 OM、ON 为邻边作矩形 OMPN（1）若点 A 的横坐标为 8用含 m 的代数式表示 M 的坐标；点 P 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由（2）当 m2 时，若点 P 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线 OA 的函数表达式【分析】（1）求出点 A 的坐标，直线直线 OA 的解析式即可解决问题求出直线 OB 的解析式，求出点 N 的坐标，利用
23、矩形的性质求出点 P 的坐标，再利用待定系数法求出 m 的值即可（2）分两种情形：当点 A 在 y 轴的右侧时，设 A（a，?a2），求出点 P 的坐标利用待定系数法构建方程求出 a 即可16/81学科网（北京）股份有限公司当点 A 在 y 轴的左侧时，即为中点 B 的位置，利用中结论即可解决问题【解析】（1）点 A 在 y?x2的图象上，横坐标为 8，A（8，16），直线 OA 的解析式为 y2x，点 M 的纵坐标为 m，M（?m，m）假设能在抛物线上，连接 OPAOB90，直线 OB 的解析式为 y?x，点 N 在直线 OB 上，纵坐标为 m，N（2m，m），MN 的中点的坐标为（?m，m
24、），P（?m，2m），把点 P 坐标代入抛物线的解析式得到 m?（2）当点 A 在 y 轴的右侧时，设 A（a，?a2），直线 OA 的解析式为 y?ax，M（?，2），OBOA，直线 OB 的解析式为 y?x，可得 N（?，2），P（?，4），代入抛物线的解析式得到，?4，解得，a4?4，直线 OA 的解析式为 y（?1）x当点 A 在 y 轴的左侧时，即为中点 B 的位置，直线 OA 的解析式为 y?x（?1）x，综上所述，满足条件的直线 OA 的解析式为 y（?1）x 或 y（?1）x17/81学科网（北京）股份有限公司【专项突破】【专项突破】1（2020灌南县一模）如图，抛物线 yx2
25、+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），点 A 的坐标为（1，0），与 y 轴交于点 C（0，3），作直线 BC动点 P 在 x 轴上运动，过点 P 作 PMx 轴，交抛物线于点 M，交直线 BC 于点 N，设点 P 的横坐标为m（1）求抛物线的解析式和直线 BC 的解析式；（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，求线段 MN 的最大值；（3）当点 P 在线段 OB 上运动时，若CMN 是以 MN 为腰的等腰直角三角形时，求 m的值；（4）当以 C、O、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 m 的值【分析】（1）由 A、C 两点的坐标利用待定系数法可求得
26、抛物线解析式，则可求得 B 点坐标，再利用待定系数法可求得直线 BC 的解析式；（2）用 m 可分别表示出 N、M 的坐标，则可表示出 MN 的长，再利用二次函数的最值可求得 MN 的最大值；（3）由题意可得当CMN 是以 MN 为腰的等腰直角三角形时则有 MNMC，且 MCMN，则可求表示出 M 点坐标，代入抛物线解析式可求得 m 的值；（4）由条件可得出 MNOC，结合（2）可得到关于 m 的方程，可求得 m 的值【解析】（1）抛物线过 A、C 两点，18/81学科网（北京）股份有限公司代入抛物线解析式可得?得?，解得?，抛物线解析式为 yx2+2x+3，令 y0 可得，x2+2x+30，
27、解 x11，x23，B 点在 A 点右侧，B 点坐标为（3，0），设直线 BC 解析式为 ykx+s，把 B、C 坐标代入可得?入得 为?为?，解得入?为?，直线 BC 解析式为 yx+3；（2）PMx 轴，点 P 的横坐标为 m，M（m，m2+2m+3），N（m，m+3），P 在线段 OB 上运动，M 点在 N 点上方，MNm2+2m+3（m+3）m2+3m（m?）2得?，当 m?时，MN 有最大值，MN 的最大值为?；（3）PMx 轴，当CMN 是以 MN 为腰的等腰直角三角形时，则有 CMMN，M 点纵坐标为 3，m2+2m+33，解得 m0 或 m2，当 m0 时，则 M、C 重合，不
28、能构成三角形，不符合题意，舍去，m2；（4）PMx 轴，MNOC，当以 C、O、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，则有 OCMN，当点 P 在线段 OB 上时，则有 MNm2+3m，m2+3m3，此方程无实数根，当点 P 不在线段 OB 上时，则有 MNm+3（m2+2m+3）m23m，m23m3，解得 m?得?或 m?，综上可知当以 C、O、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，m 的值为?得?或?2（2021常州模拟）如图，抛物线 ymx2+nx3（m0）与 x 轴交于 A（3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C，直线 yx 与该抛物线交于 E，F 两点（1）求点 C 坐标及
29、抛物线的解析式19/81学科网（北京）股份有限公司（2）P 是直线 EF 下方抛物线上的一个动点，作 PHEF 于点 H，求 PH 的最大值（3）以点 C 为圆心，1 为半径作圆，C 上是否存在点 D，使得BCD 是以 CD 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出 D 点坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）抛物线的表达式为：ya（x+3）（x1）a（x2+2x3），即3a3，解得：a1，即可求解；（2）设点 P（x，x2+2x3）、点 M（x，x），则 PH?PM?（xx22x+3），即可求解；（3）分BCD90、CDB90两种情况，分别求解即可【解析】（1）抛物线的表达式为：ya（x+3
30、）（x1）a（x2+2x3），即3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+2x3；（2）过点 P 作 PMy 轴交直线 EF 于点 M，设点 P（x，x2+2x3）、点 M（x，x），则 PH?PM?（xx22x+3），当 x?时，PH 的最大值为：?；（3）当BCD90时，如图 2 左侧图，20/81学科网（北京）股份有限公司当点 D 在 BC 右侧时，过点 D 作 DMy 轴于点 M，则 CD1，OB1，OC3，tanBCO?tanCDMtan，则 sin?，cos?；xDCDcos?，同理 yD3?，故点 D（?，3?）；同理当点 D（D）在 BC 的左侧时，同理可得：点 D（?，
31、3得?）；当CDB90时，当点 D 在 BC 右侧时，如右侧图，CDOB1，则点 D（1，3）；当点 D 在 BC 左侧时，由点的对称性，同理可得：点 D（?，?）；综上，点 D 的坐标为：（?，3?）、（?，3得?）、（1，3）或（?，?）3（2021江苏锡山二模）如图，抛物线21yxmxm 与直线ykxk交于点 A、B，其中 A 点在 x 轴上，它们与 y 轴交点分别为 C 和 D，P 为抛物线的顶点，且点纵坐标为 4，抛物线的对称轴交直线于点 Q21/81学科网（北京）股份有限公司（1）求点 A 的坐标，并用含 k 的代数式表示点 B 的坐标；（2）如图，当四边形 CDOP 为平行四边形
32、时，求 k 的值；设 E、F 为线段 DB 上的点（含端点），横坐标分别为 a，an（n 为正整数），/EG y轴交抛物线于点 G问是否存在正整数 n，使满足1tan2EGF的点 E 有两个？若存在，求出n；若不存在，请说明理由【答案】（1）23,4Bkkk；（2）1k；不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴在 y 轴右侧和顶点的横坐标已知，求得点 A，再根据直线ykxk与对称轴交于点Q，得到1,2Qk，联立方程组求解即可；（2）先求出直线 CP 的解析式，再根据两直线平行即可得到 k；过点F作FHEG于点 H，得到90FHEFHG，根据点 E 在线段 DB 上横坐标为 a
33、，/EG y轴交抛物线于点 G，得到,1E a a，2,23G aaa，求出 FH、GH，再根据正切的定义计算判定即可；【详解】（1）抛物线21yxmxm 的顶点P纵坐标为 4，24144mm，解得：13m，25m 抛物线对称轴在y轴右侧，102m，解得：1m，3m抛物线为2yx2x3，顶点1,4P直线ykxk与对称轴交于点Q，1,2Qk2230yxx 时，解得：11x ，23x 1,0A 由223yxxykxk，整理得：2230 xkxk，AB2xxk BA2213xkxkk ，22/81学科网（北京）股份有限公司2BB4yk xkkk，23,4Bkkk；（2）0,3C，1,4P，直线CP解
34、析式为3yx=+四边形CDQP为平行四边形，/DQ CP，即直线ykxk平行直线CP1k 不存在满足条件的正整数n如图，过点F作FHEG于点 H，90FHEFHG 1k，直线:1AB yx点 E 在线段 DB 上横坐标为 a，/EG y轴交抛物线于点 G，,1E a a，2,23G aaa点 F 在线段 DB 上横坐标为an，FEFHxxn，,1F an an222312GFGHyyaaanaan Rt FGH中，1tan2FHEGFGH，2GHFH，222aann，整理得：2320aan，满足1tan2EGF的点E有两个，关于a的方程2320aan有两个不相等的实数根，1 4 320n，解得
35、：304n23/81学科网（北京）股份有限公司不存在正整数n，使满足1tan2EGF的点E有两个【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合平行四边形的性质、一次函数的性质、正切的定义、一元二次方程的求解计算是解题的关键4（2021江苏靖江市靖城中学一模）如图，抛物线 ymx24mxn（m0）与 x 轴交于 A，B 两点，点 B 在点 A 的右侧，抛物线与 y 轴正半轴交于点 C，连接 CA、CB，已知 tanCAO3，sinCBO22（1）求抛物线的对称轴与抛物线的解析式；（2）设 D 为抛物线对称轴上一点当BCD 的外接圆的圆心在BCD 的边上时，求点 D 的坐标；若BCD 是锐角三角形，直接
36、写出点 D 的纵坐标 n 的取值范围【答案】（1）243yxx，对称轴是直线2x；（2）D（2，5）或 D（2，3172）或（0，3172）或 D（2，-1）；31752n或31712n【解析】【分析】（1）先根据tan=3OCCAOOA，2sin2CBO，得到 OC=3OA，CBO=45，则 OC=OB，再求出抛物线对称轴为422mxm，OC=n，13OAn，OBn，A（13n，0），B（n，0），由此求出 n 的值即可求出抛物线的解析式；（2）当BCD 的外接圆圆心在BCD 边上时，BCD 是直角三角形，设 D（2，t），则2222203613CDaaa，22222301BDaa，2223
37、00318BC，然后分别讨论当 B、C、D 为直角顶点时，利用勾股定理求解；由图形可知当 D 在 D1和 D3之间或 D4与 D2之间时，BCD 是锐角三角形，其中 D1是 C为直角顶点时 D 点的位置，D3是 D 为直角顶点 D 的位置，D4和 D2分别是以 B 和 D 为直角24/81学科网（北京）股份有限公司顶角的位置【详解】解：（1）由题意可知，COA=90，tan=3OCCAOOA，2sin2CBO OC=3OA，CBO=45，OC=OB，抛物线 ymx24mxn（m0）与 x 轴交于 A，B 两点，点 B 在点 A 的右侧，抛物线与y 轴正半轴交于点 C，C（0，n），抛物线对称轴
38、为422mxm，OC=n，13OAn，OBn，A（13n，0），B（n，0），13=22nn，n=3，C（0，3），B（3，0），A（1，0），把 A（1，0）代入抛物线解析式得：430mm，m=1，抛物线解析式为243yxx；（2）当BCD 的外接圆圆心在BCD 边上时，BCD 是直角三角形，D 为抛物线对称轴上的一点，设 D（2，a）C（0，3）B（3，0），2222203613CDaaa，22222301BDaa，222300318BC，当 C 为直角顶点时，222DCBCBD即22613181aaa，解得 a=5，D（2，5）；当 D 为直角顶点时，222DCBDBC即22613118
39、aaa，25/81学科网（北京）股份有限公司解得3172a，D（2，3172）或（0，3172）；当 B 为直角顶点时，222BCBDCD即22613181aaa，解得 a=-1，D（2，-1）；综上所述：D（2，5）或 D（2，3172）或（0，3172）或 D（2，-1）；由图形可知当 D 在 D1和 D3之间或 D4与 D2之间时，BCD 是锐角三角形，其中 D1是 C为直角顶点时 D 点的位置，D3是 D 为直角顶点 D 的位置，D4和 D2分别是以 B 和 D 为直角顶角的位置，31752n或31712n【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，两点距离公式，勾股定理，二次函
40、数与直角三角形的综合，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解5（2021江苏无锡市天一实验学校一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx2+bx+c与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，顶点为 M；（1）已知10A-，4 0B，两点，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，如图 1，点 D 为第四象限抛物线上一点，连接 AD，BC 交于点 E，连接 BD，记BDE 的面积为 S1，ABE 的面积为 S2，求12SS的最大值；26/81学科网（北京）股份有限公司（3）如图 2，过点 C 的直线 PQ 与抛物线交于另一 点 P（点 P 在对称轴右侧）
41、，点 Q 在 PC的延长线上，连结 OP，OQ，MP 和 MQ若 b2，PC=3QC，是否存在这样的点 P，使四边形 POQM 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）234yxx；（2）45；（3）存在，35(,)24P【解析】【分析】（1）将 A，B 两点坐标代入，解方程即可；（2）过点 D 作DGx轴于点 G，过点 A 作AKx轴交 BC 的延长线于点 K，证出AKEDFE，即可将面积比转化为12BDEABESSDEDFSSAEAK，求得 AK 长度，表示出 DF，即可求得面积比的最大值；（3）若2b=，22211yxxcx-c，可以表示出222kkk
42、cP，通过3PCQC可得22233Qkkkc，通过平行四边形对角线平分即可得出 k，c 的值，进而得出 P 点坐标【详解】解：（1）抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于10A ，4 0B，两点，101640bcbc，解得：34bc ，234yxx，故抛物线解析式为234yxx；（2）过点 D 作DGx轴于点 G，交 BC 于点 F，过点 A 作AKx轴交 BC 的延长线于点 K，27/81学科网（北京）股份有限公司AKDG，AKEDFE，DFDEAKAE，12BDEABESSDEDFSSAEAK，设直线 BC 的解析式为y=kxb，代入4 0B，04C，即044kbb，解得：14kb，直线
43、 BC 的解析式为4yx，A（1，0），1KKy，1 45K=y，AK=5，设234D mmm，则4F mm，224344DFmmmmm，2221241414255555SmmmmmS ，当2m 时，12SS有最大值，最大值是45；（3）若2b=，22211yxxcx-c，点 M 为抛物线顶点，又抛物线22yxxc与 y 轴交于点 C，28/81学科网（北京）股份有限公司C 点坐标为（0，c），设过 C 点的直线 PQ 的解析式为ykxc，联立22yxxcykxc，22xxkx，22xkx，1x=0，22xk，2pxk，22ppykxckkc，即222kkkcP，又3PCQC，3pccQxxx
44、x，即23Qkx，23Qkx，223QQkkykxcc，22233Qkkkc，四边形 POQM 是平行四边形，平行四边形对角线互相平分，OMpQOMpQxxxxyyyy，222012320123kkkkckkcc 解得：1212kc ，132222pxk=，221115222224py=kkc=，P 点的坐标为3524，【点睛】本题是二次函数的综合应用题目，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次29/81学科网（北京）股份有限公司函数的性质，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键6（2021江苏连云港市新海实验中学二模）如图，抛物
45、线2:-Lyxbxc经过点 A(0，2)，与它的对称轴直线 x=2 交于点 B（1）求抛物线 L 的解析式；（2）在平面内是否存在点 D，使得以 A、B、O、D 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出所有满足条件的点 D 坐标；若不存在，请说明理由；（3）过定点的直线-28ykxk(k0)与抛物线 L 交于点 M、N若BMN 的面积等于 2，求 k 的值【答案】（1）242yxx；（2）(2,4)，(2,8)或(-2，-4)；（3）2 3k 【解析】【分析】（1）把 A(0，2)代入解析式中，再利用对称轴即可得解；（2）分三种情况，如下图 1，当OA平行且等于1BD=2 时，四边形1AOD
46、B是平行四边形，根据OA平行且等于2BD=2 求解即可；当OA平行且等于2BD=2 时，四边形2AOBD是平行四边形，同样求解；当3AD平行且等于OB时，四边形3ABOD是平行四边形，作3D Hy轴于H 点，证明出3AD HBOG AAS，即可得出坐标；（3）先求出直线的定点 R（2,8），如图 2，设直线与抛物线的交点1122,M x yN xy，联立方程得到根与系数关系，作MP 对称轴与 P 点，作NQ 对称轴于 Q 点，利用11,22BMNRBNRBMSSSRB NQRB MP还有韦达定理求解即可【详解】解：（1）把 A(0，2)代入2:-Lyxbxc中，解得：c=2，30/81学科网（
47、北京）股份有限公司对称轴为直线 x=2，22b，4b，抛物线 L 的解析式为242yxx；（2）如下图 1，当OA平行且等于1BD=2 时，四边形1AOD B是平行四边形，顶点2,6B，12,4D；当OA平行且等于2BD=2 时，四边形2AOBD是平行四边形，22,8D；当3AD平行且等于OB时，四边形3ABOD是平行四边形，作3D Hy轴于 H 点，33,90,ADOBAHDOGB 32333,6,2,4,2,4,D AHAD BOBGAD HBOG AASAHBGD HOGOHAHAOD 综上，D 的坐标为(2,4)，(2,8)或(-2，-4)；（3）-28ykxk=28k x，直线过定点
48、 R（2,8），如图 2，设直线与抛物线的交点1122,M x yN xy，31/81学科网（北京）股份有限公司将两个方程联立，得：2242,284260yxxykxkxk xk 作MP 对称轴与 P 点，作NQ 对称轴于 Q 点，12212112122222112122122,2,11,221122221,24,62,444 628,862,1282,22 3,2 3,BMNRBNRBMMPxNQxSSSRB NQRB MPRB NQMPRB xxRB xxxxk x xkxxxxx xkkkRBkkk 0,k 2 3k 舍去，2 3k【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及和几何的结合，难
49、度比较大，属于压轴题，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想是解题的关键32/81学科网（北京）股份有限公司7（2021江苏泰州中学附属初中三模）如图，已知抛物线2yxmxn 和直线yx，抛物线顶点为 A，与 y 轴交点为 B，直线yx与抛物线对称轴交于点 C（1）抛物线顶点坐标为（用 m，n 表示），（2）当抛物线的顶点落在直线21yx上时，求 n 的最大值（3）若四边形 ABOC 为平行四边形求 m 的值若直线yx与抛物线在对称轴右侧部分的交点为 D，当BOD为直角三角形时，求 n 的值过 C 点作线段CEAC，设 CE=a，是否存在实数 a 值使ACE的重心恰好落在抛物线上，若存在直
50、接写出 a 和 n 的关系式，若不存在，请说明理由33/81学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）A2(,)24mmn；（2）2；（3）2；2或6；存在，26an【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标公式求解即可；（2）将（1）的结果代入直线21yx得到n关于m的函数，根据求二次函数的最值方法求解即可；（3）根据题意若四边形 ABOC 为平行四边形，根据已知条件写出,A B C的坐标，由BOAC即可求得m的值；当BOD为直角三角形时，分为90DBO,90BDO两种情况，由题意可知BOD是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质即可求得 n 的值；过 C 点作线段CEAC，设点E在抛物线的左侧