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1、专题12 反比例函数中的最值计算问题k的几何意义与反比例函数对称性1.如图一，直线与反比例函数（）交于、两点，与、轴的交点分别为、，那么，此两种方法是绝大部分学生选用的方法。常规方法，费时、费力、而且还易计算出错。2.如图二，我们知道反比例函数的图象是双曲线，关于原点成中心对称，那么延长交双曲线于点，连接、则，因此可以将的面积转化为梯形的面积1、如图，已知一次函数yx+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、C与反比列函数y的图象在第一象限内交于点P，过点P作PBx轴，垂足为B，且ABP的面积为9（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，点P的坐标为 ；（2）已知点Q在反比例函数y的图象上，其横坐标为6
2、，在x轴上确定一点M使得PQM的周长最小，求出点M的坐标【答案】(1)（4，0），（0，2），（2，3）；(2)当PQM的周长最小时，点M的坐标为（5，0）【解析】【分析】（1）求直线与坐标轴的交点坐标时,令横纵坐标等于零即可求出A,C的坐标,再利用P为直线与双曲线的交点和ABP的面积为9列出二元一次方程组求出P点坐标即可,（2）根据题意作出Q的对称点Q,连接PQ交x轴于点M,求出解析式,即可求出点M的坐标.【详解】（1）当y0时，x+20，解得：x4，当x0时，y2，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），设点P的坐标为（a，b）（a0），则，解得：，（舍去），点P的坐标为（2，3）
3、，故答案为：（4，0），（0，2），（2，3）；（2）如图，作点Q关于x轴的对称轴Q，连接PQ，与x轴交于点M，连接QM，此时PQM的周长最小点P（2，3）在反比例函数y图象上，k236，即反比例函数解析式为y，点Q的坐标为（6，1），点Q的坐标为（6，1），设直线PQ的解析式为ymx+n（m0），将点P（2，3），Q（6，1）代入ymx+n，得：，解得：，直线PQ的解析式为：yx+5，当y0时，x+50，解得：x5，点M的坐标为（5，0），当PQM的周长最小时，点M的坐标为（5，0）2、如图，一次函数yx6的图像与反比例函数y(k0)的图像交于A、B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，AOM
4、的面积为2.5.（1）求反比例函数的表达式；（2）在y轴上有一点P，当PAPB的值最小时，求点P的坐标【答案】（1）反比例函数的表达式为y；（2）P(0，).【解析】【分析】（1）根据反比例系数和三角形面积关系，求出k，即可；（2）作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于P点由两个函数解析式组成方程组，求出交点坐标，再用待定系数法求直线BC的解析式.,再求出P的坐标.【详解】解：(1)设A（m,n），则SAOM2.5，|k|2.5.k0，k5，反比例函数的表达式为y(2) 如图，作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于P点A，B是两个函数图象的交点，解或 A(1，5)，B(5，1)，C(1
5、，5)设yBCkxb，代入B，C两点坐标得 解得 yBCx，P(0，)，3、如图，直线y1k1x+b与双曲线y2在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）（1）k1 ，k2 ，b （2）直接写出不等式y2y1的解集；（3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，E是y轴上一点，求PED的面积S的最大值解：（1）A（1，m），B（2，1）在双曲线y2上，k2m212，A（1，2），则，解得：，k11，k22，b3；故答案为：1，2，3；（2）由图象得：不等式y2y1的解集是：0x1或x2；（3）设点P（x，x+3），且1x2，PDx+3，ODx，则，当时，S有最大值
6、，最大值为4、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1kx+b（k0）的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，3）两点，与x轴交于点C（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）直接写出当y1y2时，x的取值范围；（3）在y轴上找一点P使PBPC最大，求PBPC的最大值及点P的坐标解：（1）把A（3，5）代入，可得m3515，反比例函数的解析式为；把点B（a，3）代入，可得a5，B（5，3）把A（3，5），B（5，3）代入y1x+b，可得，解得，一次函数的解析式为y1x+2；（2）当y1y2时，5x0或x3（3）一次函数的解析式为y1x+2，令x0，则y2，一次函数
7、与y轴的交点为P（0，2），此时，PBPCBC最大，P即为所求，令y0，则x2，C（2，0），5、如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，点C坐标为（1，0），点A坐标为（0，2）一次函数ykx+b的图象经过点B、C，反比例函数y的图象经过点B（1）求一次函数和反比例函数的关系式；（2）直接写出当x0时，kx+b0的解集；（3）在x轴上找一点M，使得AM+BM的值最小，直接写出点M的坐标和AM+BM的最小值解：（1）过点B作BFx轴于点F，点C坐标为（1，0），点A坐标为（0，2）OA2，OC1，BCA90，BCF+ACO90，又CAO+ACO90，BCFCAO，在A
8、OC和CFB中AOCCFB（AAS），FCOA2，BFOC1，点B的坐标为（3，1），将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：1，解得：k3，故可得反比例函数解析式为y；将点B、C的坐标代入一次函数解析式可得：，解得：故可得一次函数解析式为yx（2）结合点B的坐标及图象，可得当x0时，kx+b0的解集为：3x0；（3）作点A关于x轴的对称点A，连接 B A与x轴 的交点即为点M，A（0，2），A（0，2），设直线BA的解析式为yax+b，将点A及点B的坐标代入可得：，解得：故直线BA的解析式为yx2，令y0，可得x20，解得：x2，故点M 的坐标为（2，0），AM+BMBM+MABA3综上可得：
9、点M的坐标为（2，0），AM+BM的最小值为36、定义：若实数x，y，x，y满足xkx+2，yky+2（k为常数，k0），则在平面直角坐标系xOy中，称点（x，y）为点（x，y）的“k值关联点”例如，点（3，0）是点（1，2）的“1值关联点”（1）在A（2，3），B（1，3）两点中，点 是P（1，1）的“k值关联点”；（2）若点C （8，5）是双曲线y（t0）上点D的“3值关联点”，求t的值和点D的坐标；（3）设两个不相等的非零实数m，n满足点E（m2+mn，2n2）是点F（m，n）的“k值关联点”，求点F到原点O的距离的最小值解：（1）若点A（2，3）是P（1，1）的“k值关联点”，k，不合
10、题意，若点B（1，3）是P（1，1）的“k值关联点”，k1，符合题意，故答案为：B；（2）设点D坐标为（x，y），点C （8，5）是点D的“3值关联点”，点D坐标为（2，1），点D是双曲线y（t0）上点，t212；（3）点E（m2+mn，2n2）是点F（m，n）的“k值关联点”，m2n+mn22n2n2m2m，（mn）（mn+2）0，mn，mn2，m，（mn）20，m2+n22mn0，m2+n22mn，m2+n2+n22n4，点F到原点O的距离，点F到原点O的距离的最小值为27、如图，已知反比例函数y1的图象与一次函数y2k2x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，m）两点，一次函数的
11、图象与x轴交于点C（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当x为何值时，y20？（3）已知点P（0，a）（a0），过点P作x轴的平行线，在第一象限内交一次函数y2k2x+b的图象于点M，交反比例函数y1的图象于点N结合函数图象直接写出当PMPN时a的取值范围解：（1）反比例函数的图象过点A（1，3），k13，反比例函数表达式为：；点B（3，m）在函数的图象上，B（3，1）一次函数y2k2x+b的图象过点A（1，3），B（3，1），解得，一次函数的表达式为：y2x+4；反比例函数和一次函数的表达式分别为，y2x+4（2）当y20时，x+40，x4，C（4，0），由图象可知，当x4时，y20（
12、3）如图，由图象可得，当1a3时，PMPN8、如图，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y（x0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，PBx轴于点B，且ACBC（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出kx+b的x的取值范围；（3）点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点，点E为y轴上的一动点，当|DEPE|最大时，求点E的坐标解：（1）ACBC，COAB，A（4，0），O为AB的中点，即OAOB4，P（4，2），B（4，0），将A（4，0）与P（4，2）代入ykx+b得：，解得：，一次函数解析式为yx+1，将P（4，2）代入反比例
13、解析式得：m8，即反比例解析式为y；（2）观察图象可知：kx+b时x的取值范围0x4；（3）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如下图所示，连接DC交PB于F，四边形BCPD为菱形，CFDF4，CD8，将x8代入反比例函数y得y1，D点的坐标为（8，1）则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）；延长DP交y轴于点E，则点E为所求，则|DEPE|PD为最大，设直线PD的表达式为：ysx+t，将点P、D的坐标代入上式得：，解得：，故直线PD的表达式为：yx+3，令x0，则y3，故点E（0，3）9、已知，在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C坐标分别
14、为A（2，0），C（1，2），反比例函数y的图象经过点B（m0）（1）求出反比例函数的解析式（2）将OABC沿着x轴翻折，点C落在点D处，作出点D并判断点D是否在反比例函数y的图象上（3）在x轴是否存在一点P使OCP为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）分别过点C、B作x轴的垂线，垂足分别为：E、F，四边形OABC为平行四边形，则COEBAF，COAB，RtCOERtBAF，AFOE1，故点B（1，2），故m2，则反比例函数表达式为：y；（2）翻折后点D的坐标为：（1，2），（1）（2）2，D在反比例函数y的图象上；（3）当OPOC时，点P（，0）；当OCPC时，
15、点P（2，0）；当OPPC时，设点P（m，0），则m2+（m+1）2+4，解得：m2.5；综上，点P的坐标为：（，0）或（2，0）或（2.5，0）10、正方形ABCD的顶点A（1，1），点C（3，3），反比例函数y（x0）（1）如图1，双曲线经过点D时求反比例函数y（x0）的关系式；（2）如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形ABCD，边AB在x轴上，反比例函数y（x0）的图象分别交正方形ABCD的边CD、边BC于点F、E，求AEF的面积；如图3，x轴上一点P，是否存在PEF是等腰三角形，若存在直接写出点P坐标，若不存在明理由解：（1）点A（1，1），点C（3，3），点D（1，3），将点D的
16、坐标代入反比例函数表达式得：k3，故反比例函数表达式为：y；（2）平移后点A、B、C、D的坐标分别为：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2），则平移后点E纵坐标为3，则点E（3，1），同理点F（，2），AEF的面积S正方形ABCDSABESADFSEFC222211；（3）点E、F的坐标分别为：（3，1）、（，2），设点P（m，0），则EF2（3）2+（21）2，EP2（m3）2+1，PF2（m）2+4，当EFEP时，即（m3）2+1，解得：m（舍去）或；当EFPF时，同理可得：m（舍去负值）；当EPPF时，同理可得：m，故点P的坐标为：（，0）或（，0）或（，0）11、如图所示，一次
17、函数yx6与x轴，y轴分别交于点A，B将直线AB沿y轴正方向平移与反比例函数y（x0）的图象分别交于点C，D，连接BC交x轴于点E，连接AC，已知BE3CE，且SABE27（1）求直线AC和反比例函数的解析式；（2）连接AD，求ACD的面积解：（1）在yx6中，当x0时，y6；当y0时，x6A（6，0），B（0，6），OBOA6，又SABE27，OBAE27，AE9，OE3过C作CNx轴于N，则CNOB，又BE3CE，EN1，CN2，ON4，C（4，2）反比例函数的解析式为y设直线AC的解析式为ykx+b（k0），将A（6，0），C（4，2）代入得：，解得：直线AC的解析式为yx+；（2）根据
18、题意设直线CD的解析式为yx+b1，将点C（4，2）代入得：4+b12，b16直线CD的解析式为yx+6将直线CD和反比例函数解析式联立得：，解得：，D（2，4）过D作DMy轴交AC于M，则M（2，1.6），SACDSADM+SCDMDM|xMxA|+DM|xCxM|DM|xCxA|（41.6）|4（6）|1212、菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B落在y轴正半轴上，点A、D落在第一象限内，且D点坐标为（4，3）（1）如图1，若反比例函数y（x0）的图象经过点A，求k的值；（2）菱形ABCD向右平移t个单位得到菱形A1B1C1D1，如图2请直接写出点B1、D1的坐标（用含t的代数式表示）：
19、B1 、D1 ；是否存在反比例函数y（x0），使得点B1、D1同时落在y（x0）的图象上？若存在，求n的值；若不存在，请说明理由解：（1）如图，作DFx轴于点F，点D的坐标为（4，3），FO4，DF3，DO5，AD5A点坐标为（4，8），xy4832，k32；（2）平移后B1、D1的坐标分别为：（t，5），（t+4，3），故答案为：（t，5），（t+4，3）；存在，理由如下：点B1、D1同时落在（x0）的图象上B1（t，5），D1（t+4，3），5tn，3（t+4）n，解得：t6，n30所以，存在，此时n3013、如图，直线yx+6与反比例函数y（x0）分别交于点D、A（ABAC），经探索研究
20、发现：结论ABCD始终成立另一直线ymx（m0）交线段BC于点E，交反比例函数y（x0）图象于点F（1）当BC5时：求反比例函数的解析式若BE3CE，求点F的坐标（2）当BE：CD1：2时，请直接写出k与m的数量关系解：（1）针对于直线yx+6，令x0，则y6，A（0，6），OA6，令y0，则0x+6，x8，D（8，0），OD8，AD10，BC5，AB+CDADBC5，ABCD，AB，过点B作BGy轴于G，AGB90AOB，BAGDAO，ABGADO，AG，BG2，OGOAAG，B（2，），点B在反比例函数y（x0）图象上，k29，反比例函数的解析式为y；BC5，BE+CE5，BE3CE，BE
21、，AEAB+BE，过点E作EHy轴于H，AHE90AOB，HAEOAD，HAEOAD，AH，BG5，OHOAAH，E（5，），直线OE的解析式为yx，联立，解得，（舍）或，F（2，）；（2）BE：CD1：2，BEa，则CD2a，ABCD2a，AEAB+BE3a，过点E作EHy轴于H，同（1）的方法得，HAEOAD，AHa，EHa，OHOAAH6a，E（a，6a），将点E坐标代入直线ymx（m0）中，解得am6a，a，将点E的坐标代入反比例函数y（x0）中，解得，ka（6a）a（103a）（10）14、如图，过原点的直线y1mx（m0）与反比例函数y2（k0）的图象交于A、B两点，点A在第二象限
22、，且点A的横坐标为1，点D在x轴负半轴上，连接AD交反比例函数图象于另一点E，AC为BAD的平分线，过点B作AC的垂线，垂足为C，连接CE，若AD2DE，AEC的面积为（1）根据图象回答：当x取何值时，y1y2；（2）求AOD的面积；（3）若点P的坐标为（m，k），在y轴的轴上是否存在一点M，使得OMP是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）直线y1mx（m0）与反比例函数y2（k0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为1，点A，点B关于原点对称，点B的横坐标为1，当x取1x0或x1时，y1y2；（2）连接OC，OE，由图象知，点A，点B关于原点对称，OAO
23、B，ACCB，ACB90，OCABAO，OACOCA，AC为BAD的平分线，OACDAC，OCADAC，ADOC，SAEOSACE，AD2DE，AEDE，SAOD2SAOE3；（3）作EFx轴于F，作AHx轴于H，则EFAH，AD2DE，DEEA，EFAH，1，DFFH，EF是DHA的中位线，EFAH，SOEFSOAH，OFEFOHHA，OHOF，OHHF，DFFHHODO，SOAHSADO31，1，k2，y，点A在y的图象上，把x1代入得，y2，A（1，2），点A在直线ymx上，m2，P（2，2），在y轴上找到一点M，使得OMP是直角三角形，当OMP90时，PMy轴，则OM2，点M的坐标为（
24、02）；当OPM90时，过P作PGy轴于G，则OPM是等腰直角三角形，OM2PG4，点M的坐标为（04）；综上所述，点M的坐标为（02）或（0，4）15、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，4）反比例函数y（x0）的图象经过点D，点P是一次函数ykx+44k（k0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数ykx+44k（k0）的图象一定过点C；（3）对于一次函数ykx+44k（k0），当随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写过程）解：（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，B（4，1），C（4，4），BCx轴，ADBC3，而A点坐标为（1，0），点D的坐标为（1，3）反比例函数y（x0）的函数图象经过点D（1，3），3，m3，反比例函数的解析式为y；（2）当x4时，ykx+44k4k+44k4，一次函数ykx+44k（k0）的图象一定过点C；（3）设点P的横坐标为a，一次函数ykx+44k（k0）过C点，并且y随x的增大而增大时，k0，P点的纵坐标要小于4，横坐标大于4，当纵坐标小于4时，y，4，解得：a，则a的范围为a1或a