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1、专题17 反比例函数中的平行四边形问题1、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象过等边三角形BOC的顶点B，OC2，点A在反比例函数图象上，连接AC、AO（1）求反比例函数解析式；（2）若四边形ACBO的面积为3，求点A的坐标解：（1）作BDOC于D，如图，BOC为等边三角形，ODCDOC1，BDOD，B（1，），把B（1，）代入y得k1（），反比例函数解析式为y；（2）设A（t，），四边形ACBO的面积为3，2+23，解得t，A点坐标为（，2）2、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点已知AB6，AD8，DAB60，点
2、B的坐标为（6，0）（1）求点D和点M的坐标；（2）如图，将ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点D和点M的对应点M恰好在反比例函数y（x0）的图象上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式；（3）如图，在（2）的条件下，过点M，M作直线l，点P是直线l上的动点，点Q是平面内任意一点，若以B，C，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标解：（1）AB6，点B的坐标为（6，0），点A（12，0），如图1，过点D作DEx轴于点D，则EDADsinDAB84，同理AE4，故点D（8，4），则点C（2，4），由中点公式得，点M（4，2）；（2）图象向右平移了a个单位，
3、则点D（a8，4）、点M（a4，2），点DM都在函数上，（a8）4（a4）2，解得：a12，则k（128）416，故反比例函数的表达式为；（3）由（2）知，点M的坐标为（8，2），点B、C的坐标分别为（6，0）、（10，4），设点P（m，2），点Q（s，t）；当BC是矩形的边时，如图2，求解的矩形为矩形BCPQ和矩形BCQP，过点C作CHl交于点H，CH422，直线BC的倾斜角为60，则MPC30，PHCHtanMPC26，故点P的坐标为（16，2），由题意得：点P、Q关于点C对称，由中点公式得，点Q的坐标为（12，4）；同理点Q、Q关于点M对称，由中点公式得，点Q（4，6）；故点Q的坐标为：
4、（12，4）或（4，6）；当BC是矩形的对角线时，BC的中点即为PQ的中点，且PQBC，解得：，故点Q的坐标为（4，2）或（12，2）；综上，点Q的坐标为：（12，4）或（4，6）或（4，2）或（12，2）3、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，4）反比例函数y（x0）的图象经过点D，点P是一次函数ykx+44k（k0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数ykx+44k（k0）的图象一定过点C；（3）对于一次函数ykx+44k（k0），当随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写过程）解：（1
5、）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，B（4，1），C（4，4），BCx轴，ADBC3，而A点坐标为（1，0），点D的坐标为（1，3）反比例函数y（x0）的函数图象经过点D（1，3），3，m3，反比例函数的解析式为y；（2）当x4时，ykx+44k4k+44k4，一次函数ykx+44k（k0）的图象一定过点C；（3）设点P的横坐标为a，一次函数ykx+44k（k0）过C点，并且y随x的增大而增大时，k0，P点的纵坐标要小于4，横坐标大于4，当纵坐标小于4时，y，4，解得：a，则a的范围为a1或a4、小亮在研究矩形的面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到如表数据：x0.511.523461
6、2y126321.510.5结果发现一个数据被墨水涂黑了，（1）被墨水涂黑的数据为 ；（2）y与x的函数关系式为 ，且y随x的增大而 ；（3）如图是小亮画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形OABC的面积记为S1，矩形ODEF的面积记为S2，请判断S1与S2的大小关系，并说明理由；（4）在（3）的条件下，DE交BC于点G，反比例函数y的图象经过点G交AB于点H，连接OG、OH，则四边形OGBH的面积为 解：（1）从表格可以看出xy6，墨水盖住的数据是61.54；故答案为4；（2）由xy6，得到y，y随x的增大而减少；故答案为y；减少；（3）S1OAOCk6，S2ODOF
7、k6，S1S2；（4）S四边形OCBAOAOB6，SOCGODOG21，SOCGOAOH21，S四边形OGBHS四边形OCBASOCGSOAH6114；故答案为4；5、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点已知AB6，AD8，DAB60，点B的坐标为（6，0）（1）求点D和点M的坐标；（2）如图，将ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点D和点M的对应点M恰好在反比例函数y（x0）的图象上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式；（3）如图，在（2）的条件下，过点M，M作直线l，点P是直线l上的动点，点Q是平面内任意
8、一点，若以B，C，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标解：（1）AB6，点B的坐标为（6，0），点A（12，0），如图1，过点D作DEx轴于点D，则EDADsinDAB84，同理AE4，故点D（8，4），则点C（2，4），由中点公式得，点M（4，2）；（2）图象向右平移了a个单位，则点D（a8，4）、点M（a4，2），点DM都在函数上，（a8）4（a4）2，解得：a12，则k（128）416，故反比例函数的表达式为；（3）由（2）知，点M的坐标为（8，2），点B、C的坐标分别为（6，0）、（10，4），设点P（m，2），点Q（s，t）；当BC是矩形的边时，如图2，求解
9、的矩形为矩形BCPQ和矩形BCQP，过点C作CHl交于点H，CH422，直线BC的倾斜角为60，则MPC30，PHCHtanMPC26，故点P的坐标为（16，2），由题意得：点P、Q关于点C对称，由中点公式得，点Q的坐标为（12，4）；同理点Q、Q关于点M对称，由中点公式得，点Q（4，6）；故点Q的坐标为：（12，4）或（4，6）；当BC是矩形的对角线时，BC的中点即为PQ的中点，且PQBC，解得：，故点Q的坐标为（4，2）或（12，2）；综上，点Q的坐标为：（12，4）或（4，6）或（4，2）或（12，2）6、已知，在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C坐标分别为A（2，0），C（1
10、，2），反比例函数y的图象经过点B（m0）（1）求出反比例函数的解析式（2）将OABC沿着x轴翻折，点C落在点D处，作出点D并判断点D是否在反比例函数y的图象上（3）在x轴是否存在一点P使OCP为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）分别过点C、B作x轴的垂线，垂足分别为：E、F，四边形OABC为平行四边形，则COEBAF，COAB，RtCOERtBAF，AFOE1，故点B（1，2），故m2，则反比例函数表达式为：y；（2）翻折后点D的坐标为：（1，2），（1）（2）2，D在反比例函数y的图象上；（3）当OPOC时，点P（，0）；当OCPC时，点P（2，0）；当OP
11、PC时，设点P（m，0），则m2+（m+1）2+4，解得：m2.5；综上，点P的坐标为：（，0）或（2，0）或（2.5，0）7、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，4）反比例函数y（x0）的图象经过点D，点P是一次函数ykx+44k（k0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数ykx+44k（k0）的图象一定过点C；（3）对于一次函数ykx+44k（k0），当随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写过程）解：（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，B（4，1），C（4，4），BCx轴，AD
12、BC3，而A点坐标为（1，0），点D的坐标为（1，3）反比例函数y（x0）的函数图象经过点D（1，3），3，m3，反比例函数的解析式为y；（2）当x4时，ykx+44k4k+44k4，一次函数ykx+44k（k0）的图象一定过点C；（3）设点P的横坐标为a，一次函数ykx+44k（k0）过C点，并且y随x的增大而增大时，k0，P点的纵坐标要小于4，横坐标大于4，当纵坐标小于4时，y，4，解得：a，则a的范围为a1或a8、如图，A为反比例函数y（其中x0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB4连接OA，AB，且OAAB过点B作BCOB，交反比例函数y（其中x0）的图象于点C，连接OC交AB
13、于点D，则的值为 解：过点A作AHx轴，垂足为H，AH交OC于点M，如图，OAAB，AHOB，OHBHOB，设OHBHa，则A（a，），C（2a，），AHBC，MHBC，AMAHMH，AMBC，ADMBDC，9、如图，点A（1，3）为双曲线上的一点，连接AO并延长与双曲线在第三象限交于点B，M为y轴正半轴上一点，连接MA并延长与双曲线交于点N，连接BM、BN，已知MBN的面积为，则点N的坐标为 解：连接ON，点A（1，3）为双曲线上，k3，即：y；由双曲线的对称性可知：OAOB，SMBOSMAO，SNBOSNAO，SMONSBMN，设点M（0，m），N（n，），mn，即，mn，设直线AM的关系
14、式为ykx+b，将M（0，m）A（1，3）代入得，bm，k3m，直线AM的关系式为y（3m）x+m，把N（n，）代入得，（3m）n+m，由和解得，n，当n时，N（，），故答案为：（，）10、如图，等边OAB的边AB与y轴交于点C，点A是反比例函数y（x0）的图象上一点，且BC2AC，则等边OAB的边长为 解：设点A（a，），等边三角形的边长为b，过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交AM的延长线于点E，过点O作ONAB与点N，则ANABb，ONb，ANb，ACb，CNANACb，CMBE，即，则AE3a，OCNACMABE，ONCAEB，即，解得：BEa，AB2AE2+BE2
15、，则b29a2+a2a2，点A（a，），AB2a2+a2，解得：a23，b2，故答案为211、如图，直线ymx1交y轴于点B，交x轴于点C，以BC为边的正方形ABCD的顶点A（1，a）在双曲线y（x0）上，D点在双曲线y（x0）上，则k的值为 解：A（1，a）在双曲线y（x0）上，a2，A（1，2），点B在直线ymx1上，B（0，1），AB，四边形ABCD是正方形，BCAB，设C（n，0），n3（舍）或n3，C（3，0），点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位，点D是点A向右平移3个单位，再向上平移1个单位，点D（2，3），D点在双曲线y（x0）上，k236，故答案为：612、如图，已知点A
16、（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转度，tan，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为 解：如图，过B作BFAC于F，过F作FDy轴于D，过A作AEDF于E，则AEFFDB，tan，设BDa，则EF2a，点A（2，3）和点B（0，2），DF22a，ODOBBD2a，AE2DF44a，AE+OD3，44a+2a3，解得a，F（ ，），设直线AF的解析式为ykx+b，则，解得 ，yx+，点A在反比例函数y的图象上，y，解方程组 ，可得 或 ，C（，），故答案为（，）13、如图，点A是双曲线y在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长
17、交另一分支于点B，以AB为底作等腰ABC，且ACB120，点C在第一象限，随着点A的运动点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y上运动，则k的值为 解：作ADx轴于D，CEx轴于E，连接OC，如图，AB过原点，点A与点B关于原点对称，OAOB，CAB为等腰三角形，OCAB，ACB120，CAB30，OAOC，AOD+COE90，AOD+OAD90，OADCOE，RtAODRtOCE，（）2（）23，而SOAD|6|3，SOCE1，即|k|1，而k0，k214、以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线y（x0）的图象经过BC的中点D，且与A
18、B交于点E，过OC边上一点F，把BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点C处，且CEBC，若点C的坐标为（2，4），则tanCBF的值为 解：连接OD、OE设BCBCm，则ECm2CDBD，SCDOS矩形ABCD，SAOESCDOS矩形ABCD，AEEB，C（2，4），AEEB4，在RtBEC中，BC2BE2+EC2，m242+（m2）2，m5，E（5，4），B（5，8），则BC5，延长EC交y轴于G，则EGy轴，CG2，CG4，在RtFGC中，CF2CG2+FG2，即（4FG）222+FG2，FG，CF4，tanCBF故答案是：15、如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0
19、），点B在y轴上，若反比例函数y（k0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为 ；解：如图，过点C作CEy轴于E，在正方形ABCD中，ABBC，ABC90，ABO+CBE90，OAB+ABO90，OABCBE，点A的坐标为（4，0），OA4，AB5，OB3，在ABO和BCE中，ABOBCE（AAS），OABE4，CEOB3，OEBEOB431，点C的坐标为（3，1），反比例函数y（k0）的图象过点C，kxy313，反比例函数的表达式为y故答案为：y16、如图，点A在双曲线y的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC2AB，点E在线段AC上，且AE3EC，点D为OB的
20、中点，若ADE的面积为3，则k的值为 解：连DC，如图，AE3EC，ADE的面积为3，CDE的面积为1，ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则ABa，OC2AB2a，而点D为OB的中点，BDODb，S梯形OBACSABD+SADC+SODC，（a+2a）bab+4+2ab，ab，把A（a，b）代入双曲线y，kab故答案为：17、如图，已知直线yx+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y交于E，F两点，若AB2EF，则k的值是 解：作FHx轴，ECy轴，FH与EC交于D，如图，由直线yx+2可知A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），OAOB2，AOB为等腰直角三角形，AB2，EFAB，DEF为等腰直角三角形，FDDEEF1，设F点横坐标为t，代入yx+2，则纵坐标是t+2，则F的坐标是：（t，t+2），E点坐标为（t+1，t+1），t（t+2）（t+1）（t+1），解得t，E点坐标为（，），k故答案为