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1、2020-2021学年河南省郑州市某校高一（上）12月月考数学试卷一、选择题1. 下列说法正确的是( ) A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥C.棱锥的所有侧面都是三角形D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台2. 若l1，l2为异面直线，直线l3与l2平行，则l1与l3的位置关系是( ) A.相交B.异面C.平行D.异面或相交3. 已知圆锥的全面积是底面积的4倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A.23B.56C.3D.44. 已知直角三角形的两直角边分别为1，3，若绕三角形的斜边旋转一周
2、形成的几何体，则该几何体的体积为( ) A.4B.3C.2D.5. 下列命题正确的是( ) A.三点确定一个平面B.一条直线和一个点确定一个平面C.梯形可确定一个平面D.圆心和圆上两点确定一个平面6. 若边长为2的正A1B1C1是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是( ) A.3B.6C.23D.267. 将一个棱长为1cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为( ) A.33cm2B.cm2C.43cm2D.3cm28. 某四棱台的三视图如图所示，则该棱台的体积为( )(棱台体积公式：V=13(S1+S1S2+S2)h) A.263B.283C.10D.3
3、239. 已知正四棱锥OABCD中，底面边长为2，侧棱长为3，则该四棱锥外接球的表面积为( ) A.92B.9C.4D.10. 下列关于直线l，点A，B与平面的关系推理错误的是( ) A.Al，A，Bl，BlB.A，A，B，B=ABC.l，AlAD.Al，lA11. 三棱锥ABCD的六条棱所在直线成异面直线的有( ) A.3对B.4对C.5对D.6对12. 圆锥和圆柱的底面半径、高都是R，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为( ) A.2+1:4B.2:2C.1:2D.2+1:2二、填空题 若正四面体ABCD的棱长为2，则该正四面体的外接球的表面积为_ 三条直线相交于一点，则它们最多能确定_个平
4、面 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2，AC=BC=1，ACB=90，则四棱锥BA1ACC1的体积为_. 已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则此圆锥外接球的体积是_. 三、解答题 已知球O的半径为5. (1)求球O的表面积； (2)若球O有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点 (1)求证：A1B/平面ADC1； (2)若ABAC，AB=AC=1，AA1=2，求三棱锥C1ABC的体积 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中， AB=AD=1，AA=2，点P为棱DD1的中点 (1)证明：BD1/平面P
5、AC； (2)求异面直线BD1与AP所成角的大小参考答案与试题解析2020-2021学年河南省郑州市某校高一（上）12月月考数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】棱锥的结构特征旋转体（圆柱、圆锥、圆台）棱柱的结构特征【解析】举反例判断A，B，D错误，根据棱锥侧棱交于一点判断C【解答】解：A，棱台的上下底面互相平行，侧面都是四边形，但棱台不是棱柱，故错误；B，当旋转轴为直角边时，所得几何体为圆锥，当旋转轴为斜边时，所得几何体为两个圆锥的组合体，故错误；C，由于棱锥的所有侧棱都交于一点，故棱锥的侧面都是三角形，故正确；D，当平面与棱锥的底面不平行时，截面与棱锥底面间的几何体不是棱台，故错误故选C
6、2.【答案】D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】以正方体为载体，列举出所有情况，由此能判断1与I3的位置关系【解答】解：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中， AB和CC1是异面直线，DD1/CC1， AB和DD1是异面直线. AB和CC1是异面直线，BB1/CC1， AB和BB1是相交直线， 若l1，l2为异面直线，直线l3与l2平行，则l1与l3的位置关系是异面或相交故选D3.【答案】A【考点】弧长公式扇形面积公式【解析】圆锥的全面积是底面积的4倍，那么母线和底面半径的比为3，求出侧面展开图扇形的弧长，可求其圆心角【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，由于圆锥的全面积
7、是底面积的4倍，即r2+122rl=4r2，解得l=3r，即母线和底面半径的比为3.设圆锥底面半径为1，则圆锥母线长为3，圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长，为2，所以该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为23.故选A4.【答案】C【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）柱体、锥体、台体的体积计算【解析】几何体的体积是由上下两个圆锥的体积组成的，它们的底面半径相同，都是直角三角形上的高，利用圆锥体积公式，即可求得结论【解答】解：如图，AC=1，BC=3，所以AB=2，斜边的高h=132=32，以AC为母线的圆锥体积为13322AO，以BC为母线的圆锥体积为13322BO，所以绕斜边旋转一周形成的几何
8、体的体积为13322AB=2.故选C.5.【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】直接利用平面的性质的应用，共面的条件的应用求出结果【解答】解：A，当三点共线时，不能确定一个平面，故错误；B，当该点在直线上时，不能确定一个平面，故错误；C，由于梯形由两条对边平行，所以确定的平面有且只有一个，故另两条边也在该平面上，故正确；D，当圆心和圆上的两点在同一条线上时，不能确定一个平面，故错误故选C6.【答案】D【考点】平面图形的直观图【解析】易得直观图的面积，又由它是一个水平放置的平面图形的斜二侧直观图，可以根据原几何图形的面积：直观图的面积=22;1，快速的计算出答案【解答】解：由于原几何图形
9、的面积：直观图的面积=22:1， 正A1B1C1的边长为2， S直观图=1222sin60=3， 原图形的面积为S=223=26.故选D7.【答案】B【考点】球的表面积和体积多面体的内切球问题【解析】由正方体的棱长求得正方体内切球的半径，代入球的表面积公式求解【解答】解： 正方体的棱长为1，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体，则球的直径为1cm，半径为12cm， 可能制作的最大零件的表面积为4122=cm2.故选B8.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可【解答】解：由三视图可知该几何体为正四棱台，上底面积S1=4，下底面积
10、S2=16， 棱台体积V=134+416+161=283.故选B9.【答案】B【考点】球的表面积和体积球内接多面体【解析】正四棱锥外接球的球心在它的高上，然后根据勾股定理解出外接球的半径【解答】解：过点O作OH平面ABCD，则球心在直线OH上，设球心为M，外接球半径为R，如图所示， 四棱锥OABCD为正四棱锥， 点H为AC与BD的交点， HD=12BD=2 在RtOHD中，OD=3，HD=2， OH=1.在RtMHD中，MD=R，HD=2，MH=OHOM=1R， R2=2+1R2，解得R=32， 该四棱锥外接球的表面积为S=4R2=494=9.故选B10.【答案】C【考点】平面的基本性质及推论
11、【解析】本题考查平面的基本性质及其推论，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化一条直线的两个点在一个平面上，则直线在平面上，故A正确，两个平面有两个交点，则有一条交线，故B正确，直线在平面外可能是相交的关系，故C不正确，根据直线在平面内，则直线上的点在平面内，故D正确【解答】解：A，因为直线上两点在平面内，则直线在平面内，故正确；B，两平面有两个交点，则两平面相交于一条直线，故正确；C，l，AlA或A，故错误；D，直线在平面内，则直线上的所有点在该平面内，故正确.故选C.11.【答案】A【考点】异面直线的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：根据异面直线的定义，可知有三对异面直线，如
12、图：分别是AB与DC、AD与BC、AC与DB.故选A.12.【答案】A【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】直接求出圆锥或圆柱的表面积，即可确定二者的比值【解答】解：由题意，得圆锥的表面积为R2+122R2R=1+2R2，圆柱的表面积为2R2+2RR=4R2，所以圆锥的表面积与圆柱的表面积之比为2+1:4.故选A二、填空题【答案】3【考点】球的表面积和体积球内接多面体【解析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为1，正方体的对角线长为3， 正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长3，即r=
13、32， 外接球的表面积S=4(32)2=3故答案为：3.【答案】3【考点】平面的基本性质及推论【解析】以三棱锥为载体，能求出不重合的三条直线相交于一点，它们最多能确定多少个平面【解答】解：当三条直线共面时，显然只能确定1个平面；当三条直线不共面时，以三棱锥的三条棱为例，任意两条侧棱都确定一个平面，而三棱锥有三个侧面，故相交于一点的三条直线最多能确定3个平面.故答案为：3【答案】23【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】利用三棱柱的体积，转化求解棱锥的体积即可【解答】解：在直三棱柱ABCA1B1C1中， AA1=2，AC=BC=1，ACB=90， V四棱锥BA1ACC1=SABCA1B1C1
14、SBA1B1C1=121121312112=23.故答案为：23.【答案】32327【考点】球的表面积和体积球内接多面体【解析】由题意画出图形，可知轴截面三角形的外接圆的半径就是圆锥外接球的半径，求解三角形得到圆锥外接球的半径，代入球的体积公式得答案【解答】解：如图，DAE是等边三角形，其外接圆的半径就是圆锥外接球的半径， DAE的边长是2， 高DO=3， 外接圆的半径是233，故此圆锥外接球的体积V=432333=32327.故答案为：32327.三、解答题【答案】解：(1)因为球O的半径为R=5，所以球O的表面积为S=4R2=100.(2)如图，设两个半径分别为r1=3和r2=4的平行截面
15、的圆心分别为O1和O2，所以|OO1|=5232=4，|OO2|=5242=3，所以|O1O2|=|OO1|+|OO2|=3+4=7，或|O1O2|=|OO1|OO2|=43=1，所以两个截面的距离为1或7.【考点】球的表面积和体积球面上的勾股定理【解析】（1）由球的表面积公式计算可得所求值；（2）运用球的截面的性质和勾股定理，注意分两种情况，计算可得所求距离【解答】解：(1)因为球O的半径为R=5，所以球O的表面积为S=4R2=100.(2)如图，设两个半径分别为r1=3和r2=4的平行截面的圆心分别为O1和O2，所以|OO1|=5232=4，|OO2|=5242=3，所以|O1O2|=|O
16、O1|+|OO2|=3+4=7，或|O1O2|=|OO1|OO2|=43=1，所以两个截面的距离为1或7.【答案】(1)证明：连接A1C，与AC1交于点O，连接DO，由直三棱柱的性质可得，侧棱垂直底面，侧面为矩形， O为AC1的中点，则A1B/OD. OD平面ADC1，A1B平面ADC1， A1B/平面ADC1.(2) ABAC，AB=AC=1， SABC=1211=12.又 AA1=2， C1到底面ABC的距离为CC1=2， VC1ABC=13SABCCC1=13122=13.【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】（1）连接A1C，与AC1交于点O，由棱柱的结构特征可
17、得0为AC的中点，则A1B/OD，再由直线与平面平行的判定可得A1B/平面ADC（2）由已知条件直接利用棱锥体积公式求解【解答】(1)证明：连接A1C，与AC1交于点O，连接DO，由直三棱柱的性质可得，侧棱垂直底面，侧面为矩形， O为AC1的中点，则A1B/OD. OD平面ADC1，A1B平面ADC1， A1B/平面ADC1.(2) ABAC，AB=AC=1， SABC=1211=12.又 AA1=2， C1到底面ABC的距离为CC1=2， VC1ABC=13SABCCC1=13122=13.【答案】(1)证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点连接PO，因为P是DD1的中点，所以PO/B
18、D1.又因为PO平面PAC，BD1平面PAC，所以直线BD1/平面PAC(2)解：由(1)知PO/BD1，所以APO即为异面直线BD1与AP所成的角因为PA=PC=2，AO=12AC=22，且POAO，所以sinAPO=AOAP=222=12.又APO(0,90，所以APO=30，故异面直线BD1与AP所成角的大小为30.【考点】直线与平面平行的判定异面直线及其所成的角【解析】（1）AC和BD交于点O，则O为BD的中点推导出PO/BD由此能证明直线BD1/平面PAC（2）由PO/BD1，得APO即为异面直线BD1与AP所成的角由此能求出异面直线BD1与AP所成角的大小【解答】(1)证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点连接PO，因为P是DD1的中点，所以PO/BD1.又因为PO平面PAC，BD1平面PAC，所以直线BD1/平面PAC(2)解：由(1)知PO/BD1，所以APO即为异面直线BD1与AP所成的角因为PA=PC=2，AO=12AC=22，且POAO，所以sinAPO=AOAP=222=12.又APO(0,90，所以APO=30，故异面直线BD1与AP所成角的大小为30.第13页 共16页 第14页 共16页