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1、【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第6章 第3节 基本不等式课后限时自测 理 苏教版A级基础达标练一、填空题1(2014徐州期中检测)如果log2xlog2y1，则x2y的最小值是_解析由log2xlog2y1得log2(xy)1，xy2且x0，y0，x2y24.当且仅当x2y即x2，y1时，x2y取得最小值4.答案42(2013山东高考改编)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则的最大值是_解析由题设，得zx23xy4y2，又x，y，z大于0，4，故1.当且仅当x2y时，等号成立，则的最大值为1.答案13(2014苏州调研)若x2，则x的最小值为_解析x2，x20，xx2222
2、4，当x2即x3时等号成立，x的最小值为4.答案44(2014扬州中学检测)设x，y均为正实数，且1，则xy的最小值为_解析由已知解出y2，那么xyx2xx9，x，y为正实数，y0，则x1，x10，x9(x1)1021016，当且仅当x1，即x4时等号成立，故所求最小值为16.答案165(2014泰州调研)关于x的方程x22px2q20(p0，q0)有两个相等的实根，则pq的取值范围是_解析由题意，4p24(2q2)0，即p2q22，又(pq)2p2q22pq2(p2q2)4.所以00，b0，若不等式恒成立，则m的最大值是_解析a0，b0，恒成立，等价于m5恒成立又5529，当且仅当，即ab时
3、，等号成立m9，则m的最大值为9.答案98某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元解析每台机器运转x年的年平均利润为18，而x0，故1828，当且仅当x5时，年平均利润最大，最大值为8万元答案58二、解答题9已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解x0，y0,2x8yxy0，(1)xy2x8y2，8，xy64.故xy的最小值为64.(2)由2x8yxy，得：1.xy(xy)1(xy)1010818
4、.故xy的最小值为18.10已知a0，b0，c0，且abc1，求证：9.证明332 2 2 32229.当且仅当abc时取等号，9.B级能力提升练一、填空题1(2014盐城检测)常数a，b和正变量x，y满足ab16，.若x2y的最小值为64，则ab_.解析由及x0，y0，知1，且a0，b0.则x2y(x2y)2a8b42a8b42.当且仅当ay2bx2时取等号，即x2y的最小值为2a8b32.由条件得2a8b3264，即a4b16.又ab16，所以a8，b2，故ab8264.答案642(2014苏州高级中学检测)已知f(x)log3(x3)，若实数m，n满足f(m)f(3n)2，则mn的最小值
5、为_解析首先寻找出m，n的最直接的关系，log3(m3)log3(3n3)2，即(m3)(3n3)9，也即(m3)(n1)3(m3，n1)，利用基本不等式有mn(m3)(n1)42424，m3n1时等号成立，故最小值为24.答案24二、解答题3(2014通泰扬宿调研)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的净化剂浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作
6、用(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1a4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)解(1)一次喷洒4个单位的净化剂，浓度f(x)4y则当0x4时，由44，解得x0，此时0x4.当4x10时，由202x4解得x8，此时4x8.综合得0x8，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天(2)设从第一次喷洒起，经x(6x10)天，浓度g(x)2a10xa(14x)a4.14x4,8，而1a4，44,8，故当且仅当14x4时，y有最小值为8a4.令8a44，解得2416a4，a的最小值为24161.6.5