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1、课时作业11函数与方程一、选择题1已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A.，0B2,0C.D0解析：当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上函数f(x)的零点只有0.答案：D2设f(x)x3bxc是1,1上的增函数，且ff0，则方程f(x)0在1,1内()A可能有3个实数根B可能有2个实数根C有唯一的实数根D没有实数根解析：由f(x)在1,1上是增函数，且ff0，f(1)f(2)0，f(2)f(3)0，故f(x)的零点所在区间是(2,3)，故选C.答案：C4(2014湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x
2、0时，f(x)x23x.则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1,3B3，1,1,3C2，1,3D2，1,3解析：当x0.令f(x)0得xlna，所以当x(0，lna)时，f(x)为减函数，当x(lna，)时，f(x)为增函数，只需f(lna)elnaalnaaalnae.所以a(e，)答案：A6(2014山东卷)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A. B.C(1,2)D(2，)解析：画出f(x)|x2|1的图象如图所示由数形结合知识，可知若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则函数g(x)与f(x)的图象应
3、有两个不同的交点所以函数g(x)kx的图象应介于直线yx和yx之间，所以k的取值范围是.答案：B二、填空题7函数f(x)的零点个数为_解析：法1：令f(x)0，得或解得x3或xe2，所以函数f(x)有两个零点法2：画出函数f(x)的图象(图略)可得，图象与x轴有两个交点，则函数f(x)有两个零点答案：28已知函数f(x)m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为_解析：函数f(x)有三个零点等价于方程m|x|有且仅有三个实根当m0时，不合题意，舍去；当m0时，m|x|x|(x2)，作函数y|x|(x2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足01.答案：m19若函数yf(x)(xR)满足f(x2)f
4、(x)，且x1，1时，f(x)1x2，函数g(x)则函数h(x)f(x)g(x)在区间5,10内零点的个数为_解析：如图，当x0,5时，结合图象知f(x)与g(x)的图象共有5个交点，故在区间5,0上共有5个交点；当x(0,10时，结合图象知共有9个交点故函数h(x)f(x)g(x)在区间5,10上共有14个零点答案：14三、解答题10已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0，使f(x0)x0.证明：令g(x)f(x)x.g(0)，gf，g(0)g0，若存在实数a满足条件，则只需f(1)f(3)0即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，所以a或a1.检验：当
5、f(1)0时，a1.所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1,3上有两根，不合题意，故a1.当f(3)0时，a，此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解得x或x3.方程在1,3上有两根，不合题意，故a.综上所述，a的取值范围是(1，)1方程log5x|sinx|的解的个数为()A1B3C4D5解析：函数ylog5x和y|sinx|的图象的交点的个数即为方程解的个数，作出这两个函数的图象(如图)，log52时，log5x1，而|sinx|1，故两个函数图象有三个交点，即原方程有三个解答案：B2已知定义在R上的函数f(x)满足：在1,1)上，f(x)且f(x2)
6、f(x)，g(x)，则方程f(x)g(x)在区间5,1上的所有实根之和为()A7B6C8D0解析：f(x)，且f(x2)f(x)，又g(x)2，g(x2)2.可知当x2k1，kZ时，函数f(x)，g(x)的图象都关于(2,2)对称由图象可得：方程f(x)g(x)在区间5,1上的实根有3个，设分别为x1，x2，x3，则可取x13，x2满足5x24，x3满足0x31，x2x34.方程f(x)g(x)在区间5，1上的所有实根之和为7.故选A.答案：A3(2014天津卷)已知函数f(x)若函数yf(x)a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为_解析：分别作出函数yf(x)与ya|x|的图象，由图知，
7、a0.当x0，a2时，函数yf(x)与ya|x|有一个交点；当x0,0a2时，函数yf(x)与ya|x|有两个交点；当x0时，若yax与yx25x4(4x1)相切，则由0得a1或a9(舍)因此当x1时，函数yf(x)与ya|x|有两个交点；当x0，a1时，函数yf(x)与ya|x|有三个交点；当x0,0a1时，函数yf(x)与ya|x|有四个交点，所以当且仅当1a0.f(x)minf(1)4a4，a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)g(x)4lnxx4lnx2(x0)，g(x)1.当x变化时，g(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0,1)1(1,3)3(3，)g(x)00g(x)极大值极小值当0x3时，g(x)g(1)40.又因为g(x)在(3，)单调递增，因而g(x)在(3，)上只有1个零点，故g(x)在(0，)只有1个零点7