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1、【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第8章 第8节 曲线与方程课后限时自测 理 苏教版A级基础达标练一、填空题1(2014徐州调研)若直线ykx2与抛物线y28x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k_.解析由消y得k2x24(k2)x40，由题意得4(k2)24k2464(1k)0解得k1，且x1x24解得k1或k2，故k2.答案22点P是圆(x4)2(y1)24上的动点，O是坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程是_解析设P(x0，y0)，Q(x，y)，则x，y，x02x，y02y，(x0，y0)是圆上的动点，(x04)2(y01)24.(2x4)2(2y1)24.即(
2、x2)221.答案(x2)2213(2014宿迁质检)设抛物线的顶点在原点，其焦点F在x轴上，抛物线上的点P(2，k)与点F的距离为3，则抛物线方程为_解析xP20，设抛物线方程为y22px，则|PF|23，1，p2.答案y24x4动点P到两坐标轴的距离之和等于2，则点P的轨迹所围成的图形面积是_解析设P(x，y)，则|x|y|2.它的图形是一个以2为边长的正方形，故S(2)28.答案85已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.则求动圆圆心的轨迹C的方程为_解析如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H
3、是MN的中点|O1M|，又|O1A|， ，化简得y28x(x0)当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.答案y28x6(2014盐城调研)如图883所示，已知C为圆(x)2y24的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，点Q在直线CP上，且0，2.当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹方程为_图883解析圆(x)2y24的圆心为C(，0)，半径r2，0，2，MQAP，点M是线段AP的中点，即MQ是AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|QP|， |QC|QA|QC|QP|CP|r2，又|AC|22，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(，0)，
4、A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c，a1，得b21，因此点Q的轨迹方程为x2y21.答案x2y217已知抛物线C：x24y的焦点为F，经过点F的直线l交抛物线于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M.则点M的轨迹方程为_解析设M(x，y)，A，B，显然x1x2，由x24y，得yx2，yx，于是过A、B两点的切线方程分别为y(xx1)，即yx，y(xx2)，即yx，由解得，设直线l的方程为ykx1，由，得x24kx40，x1x24k，x1x24，代入得，即M(2k，1)，故点M的轨迹方程是y1.答案y18(2014江苏泰州中学期末)若椭圆C1：1(a1b10)和C
5、2：1(a2b20)是焦点相同且a1a2的两个椭圆，有以下几个命题：C1，C2一定没有公共点；aabb；a1a2a2，所以b1b2，C1，C2一定没有公共点；因为a1a2，b1b2，所以不一定成立；由abab得aabb；由aabb得(a1a2)(a1a2)(b1b2)(b1b2)，因为a1a2b1b2，所以a1a2b1b2.答案二、解答题9(2012辽宁高考)如图884，动圆C1：x2y2t2,1t3，与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点图884(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹
6、方程解(1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S4|x0|y0|.由y1得y1，从而xyx(1)(x)2.当x，y时，Smax6.从而t时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.(2)由A(x0，y0)，B(x0，y0)，A1(3,0)，A2(3,0)知直线AA1的方程为y(x3)直线A2B的方程为y(x3)由得y2(x29)又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y1.将代入得y21(x3，y0)因此直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程为y21(x3，yb0)所围成的封闭图形的面积为4，曲线C1上的点到原点O的最短距离为.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.(1)求椭圆C2的标准
7、方程；(2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线M是l上的点(与O不重合)若|MO|2|OA|，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；若M是l与椭圆C2的交点，求AMB面积的最小值解(1)由题意得又ab0，解得a28，b21，因此所求椭圆的标准方程为y21.(2)设M(x，y)，A(m，n)，则由题设知|2|，0，即解得因为点A(m，n)在椭圆C2上，所以n21.即x21，亦即1，所以点M的轨迹方程为1.设M(x，y)，则A(y，x)(R，0)，因为点A在椭圆C2上，所以2(y28x2)8，即y28x2，()又x28y28，()()()得x2y2，所以SAMBOMO
8、A|(x2y2).当且仅当1时，(SAMB)min.B级能力提升练一、填空题1.(2014苏州模拟)如图885，已知F1、F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2y2b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为_图885解析由题意得OQbPF1，则PF22aPF12a2b，QF2ab，所以(ab)2b2c2，解得2a3b，则4a29b29a29c2，得e.答案2(2014南师附中调研)已知抛物线y24x，点A(5,0)点O为坐标原点，倾斜角为的直线l与线段OA相交但不过O，A两点，且交抛物线于M，N两点，则AMN的面积的最大值为_解析设直线l的方程为yxb(5bc，直线PR的方程为(y0b)xx0yx0b0.圆(x1)2y21内切于PRN，则圆心(1,0)到直线PR的距离为1.1，注意到x02，上式化简得(x02)b22y0bx00，同理可得(x02)c22y0cx00.b，c为方程(x02)x22y0xx00的两根bc，bc，(bc)2.又y2x0，bc，SPRN(bc)x0(x02)48，当且仅当x04时取等号，PRN面积的最小值为8.6