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1、1,2.2 矩阵运算,矩阵的线性运算,矩阵的乘法运算,方阵的幂及 行列式的乘法公式,矩阵的转置,2,加 法:,负矩阵:,减 法:,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,例如,4,2.2.2 数乘,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,5,2.2.3 矩阵乘法,其中,则,6,可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B 的第 j 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数后列数.,总结如下:,7,8,9,10,11,运算性质:,学习矩阵运算,尤其要注意其不具备什 么熟知的
2、运算规律.特别是乘法运算.,(A是mn的矩阵),12,13,14,15,例1,设,求 AB .,解,注意: 在这个例子中 BA 无意义.,16,例2,则,注意: 在这个例子中,虽然 AB 与 BA 均有意义,但是AB 是 22 矩阵,而BA是 11 矩阵.,17,例3,设,则,注意: (1) AB与BA是同阶方阵，但AB不等于BA. (2) 虽然A, B都是非零矩阵,但是 AB = 0.,18,例4,设,求 AB 及 AC.,解,注意: 虽然A不是零矩阵, 而且AB=AC, 但是B不等于C.这说明消去律不成立!,19, 总结一下矩阵乘法的一些反常性质:,未必满足交换律:,未必满足消去律:,可能
3、有零因子:, 如果 AB=BA, 则称 A 与 B 可交换., 学习矩阵理论,尤其要注意反常性质!,2.2.4 方阵的幂,AA有意义当且仅当A为方阵.,对于方阵相乘可以定义乘幂的概念:,因为矩阵乘法不满足交换律,所以对于 同阶方阵A与 B, 一般,运算性质:,矩阵多项式,仍是方阵.,设,为A的矩阵多项式，,A是n阶方阵，则称,解 设,设,计算,则,例5,由 n 阶方阵A的元素按原来的位置组成的行列式称为方阵A的行列式,记为 |A|,即,2.2.5 方阵的行列式及乘法公式,(行列式乘法公式),运算性质(定理2.1):,设A, B, 为 n 阶方阵, k 为数, 则有,例1 设A为3阶方阵, B为
4、4阶矩阵, 且|A|=3, | B |=-2, 则|B| A|= .,解 |B| A|=|-2A|=(-2)3| A |=(-8)3=-24.,例2 设A为n阶矩阵, k为非零常数,则 |-k A|= . (A) k| A | (B) k| A | (C) (-1)nk n| A | (D) kn| A |,-24,定义,称为A的转置矩阵.,2.2.6 矩阵的转置,运算性质,特殊矩阵,对称矩阵: AT =A,反对称矩阵: AT = - A,注：,？,2.3 逆矩阵,定义 A为n阶方阵, 若存在n阶方阵B, 使 AB = BA = E 则称A为可逆矩阵,称B为A的逆矩阵. 记作B = A-1.,
5、2.3.1 逆矩阵的定义,注 定义中矩阵 A 与矩阵B的地位是相 同的,如果 A可逆,且B是 A的逆,则B 也可逆,且A 也是B的逆,即A与B互逆.,问题: 你学过的方阵中,哪些是可逆阵, 哪些是不可逆阵 ?,1. E-1=,E,2. 当 k1k2kn0 时,有:,性质,若矩阵A可逆,则A的逆矩阵唯一.,证,设B, C都是矩阵A的逆矩阵,则有, 下面根据定义给出逆矩阵的几个性质., 若 A, B 均为n 阶矩阵,且 AB = E , 则 BA = E , 即A与B 互为逆矩阵.,可推广至有限个积,可逆阵还具有如下性质: A,B 可逆, 如何判断一个矩阵是否存在逆矩阵? 如何求一个可逆矩阵的逆矩
6、阵?,复习行列式的展开性质,伴随矩阵: A为n 阶方阵,2.3.2 可逆的条件,称,为矩阵A的伴随矩阵.,A* 是用方阵A的元素的代数余子式 组成的矩阵.,A A= AA =AE,A(A)=( A)A =E,引理2.1 (基本公式),A为n阶方阵,设 A 为数域 F 上 n 阶方阵,则,1. A 可逆,A0,2. A 可逆时, A-1=,定理 2.2,从而 |A| 0.必要性得证.,证,若A可逆,则,故矩阵A可逆,且, 在|A| 0时,若 |A| 0, 则由,也可逆, A= 0 时, 称 A 为奇异阵,A0 时, 称 A 为非奇异阵, 利用伴随矩阵求逆矩阵,例,讨论并求 2 阶矩阵的逆矩阵,解,求满足矩阵方程 AX=B 的矩阵 X,解,X =A-1B =,还可以用初等变换求解,例,其中,该推论提供了一种证明矩阵可逆的方法,推论,已知A为 n 阶方阵,满足矩阵方程,证明A 和A-2E 都可逆,并求逆矩阵.,证,例3,例4,已知 A为方阵且,证明,证,因为,所以 可逆，而且,总结关于方阵 A :,A 可逆 |A| 0,AA*=A*A=|A| E,这个求逆方法用起来真不方便!,有好用点的吗?,有,不过说来话长, 只能下面讲.,