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1、关于方阵的行列式与逆矩阵第一页，讲稿共十七页哦一、方阵的行列式一、方阵的行列式一、方阵的行列式一、方阵的行列式定义定义由由 阶方阵阶方阵 的各元素按原位置排列构成的的各元素按原位置排列构成的行列式，叫做方阵行列式，叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或运算性质运算性质 为为 阶方阵阶方阵,为数。为数。回章目录第二页，讲稿共十七页哦二、逆矩阵二、逆矩阵在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，有时，有其中其中 为为 的倒数，的倒数，在矩阵的乘法运算中，也有在矩阵的乘法运算中，也有类似情形类似情形(单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中的的1)1)。定义定义8 8 对于对于
2、阶矩阵阶矩阵 ，如果存在，如果存在 阶矩阵阶矩阵 ,使得使得则称则称 为为可逆矩阵可逆矩阵，是是 的的逆方阵逆方阵。注注:(1)(1)可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵。可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵。(2)(2)可逆矩阵必为方阵。可逆矩阵必为方阵。(3)(3)若若 是是 的逆矩阵的逆矩阵,则则 也是也是 的逆矩阵。的逆矩阵。第三页，讲稿共十七页哦定理定理1 1：，证：证：若若有两个逆方阵有两个逆方阵和和，即，即则则即逆方阵唯一。即逆方阵唯一。注：注：(1)(1)的逆方阵的逆方阵记为记为 .(2)(2)定理定理2:2:若方若方阵阵可逆，可逆，则则其行列式其行列式证：证：故故,若方阵若方阵 可逆，可逆，
3、则则其逆矩其逆矩阵阵必唯一。必唯一。第四页，讲稿共十七页哦定义定义9 9 设设是行列式是行列式中元素中元素的代数的代数余子式余子式,称方阵称方阵注注:为为方方阵阵 的的伴随方阵伴随方阵。第五页，讲稿共十七页哦因为因为第六页，讲稿共十七页哦定理定理3:3:定理定理3 3提供了一种利用伴随方提供了一种利用伴随方阵阵求逆方求逆方阵阵的方法，的方法，例例11 11 判断下列判断下列，是否可逆。若可逆，求其逆，是否可逆。若可逆，求其逆，若若 ，则，则 可逆，且可逆，且 ，其中，其中 为为 的伴随方阵。的伴随方阵。证：证：由由(8)(8)知知由逆方阵定义，有由逆方阵定义，有 由定理由定理2 2，定理，定理
4、3 3，可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是第七页，讲稿共十七页哦 中各元素的代数余子式为中各元素的代数余子式为 于是伴随阵于是伴随阵 第八页，讲稿共十七页哦用此法求逆方用此法求逆方阵时阵时，计计算量算量较较大。一般地，大。一般地，注注:方阵的阶数方阵的阶数时，可以用此法。时，可以用此法。奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义方方阵阵。当当时时，称，称为为非奇异方非奇异方阵阵。否。否则则称称为为奇异奇异推论推论:证明：证明：易知，易知，可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 非奇异。非奇异。对对 阶阶方方阵阵则则 可逆可逆,且且第九页，讲稿共十七页哦定理定理4 4 证明：证
5、明：只证明只证明 (4)(4)此推此推论简论简化了判定方化了判定方阵阵 是否可逆的条件。是否可逆的条件。设设 皆为皆为 阶阶可逆方可逆方阵阵，则则第十页，讲稿共十七页哦例例12 12 对于对于 阶可逆方阵阶可逆方阵 定义定义第十一页，讲稿共十七页哦例例13 13 解解:第十二页，讲稿共十七页哦于是于是例例14 14 例例1515第十三页，讲稿共十七页哦回章目录第十四页，讲稿共十七页哦三、三、小结小结(2)逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质.(1)(1)方阵行列式的概念及运算性质方阵行列式的概念及运算性质.第十五页，讲稿共十七页哦思考题思考题第十六页，讲稿共十七页哦感感谢谢大大家家观观看看第十七页，讲稿共十七页哦