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1、高考数学总复习训练（历年真题分析+预测考题）基本初等函数()化简求值类1.(2017年北京卷)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是().(参考数据:lg 30.48)A.1033B.1053C.1073D.1093【解析】由题意得,lgMN=lg33611080=lg 3361-lg 1080=361lg 3-80lg 103610.48-801=93.28.又lg 1033=33,lg 1053=53,lg 1073=73,lg 1093=93,故与MN最接近的是1093.故选D.【答案】D2.(2
2、015年浙江卷)若a=log43,则2a+2-a=.【解析】a=log43=log223=12log23=log23,2a+2-a=2log23+2-log23=3+2log233=3+33=433.【答案】4333.(2015年山东卷)已知函数f(x)=ax+b(a0,a1)的定义域和值域都是-1,0,则a+b=.【解析】当a1时,函数f(x)=ax+b在-1,0上为增函数,由题意得a-1+b=-1,a0+b=0,无解.当0ab1,0c1,则().A.acbcB.abcbacC.alogbcblogacD.logacb1,0cbc,选项A不正确.y=x,(-1,0)在(0,+)上是减函数,当
3、ab1,0c1,即-1c-10时,ac-1bac,选项B不正确.ab1,lg alg b0,alg ablg b0,algbblga.又0c1,lg c0.algclgbblgclga,alogbclogbc,选项D不正确.【答案】C5.(2017年天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为().A.abcB.cbaC.bacD.bca【解析】a=g(-log25.1)=(-log25.1)f(-log25.1)=log25.1f(log25.1)=g(log25.1).已知f(x)在
4、R上是增函数,可设0x1x2,则f(x1)f(x2).从而x1f(x1)x2f(x2),即g(x1)0,20.80,30,且log25.1log28=3,20.8213,20.821=log24log25.120.80,所以cab.故选C.【答案】C6.(2017年全国卷)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则().A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x1,则x=log2t=lgtlg2,同理,y=lgtlg3,z=lgtlg5.2x-3y=2lgtlg2-3lgtlg3=lgt(2lg3-3lg2)lg2lg3=lgt(lg9-lg8)lg2lg30,2x3y.又2
5、x-5z=2lgtlg2-5lgtlg5=lgt(2lg5-5lg2)lg2lg5=lgt(lg25-lg32)lg2lg50,2x5z,3y2xm,其中m0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.【解析】作出f(x)的图象如图所示.当xm时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m20.又m0,解得m3.【答案】(3,+)高频考点:二次函数、指数函数、对数函数的图象和性质及其应用,关于指数函数、对数函数的复合函数,特别是涉及指数函数、对数函数、幂函数有关知识的大小关系的比较.命题特点:以选择题、填空题
6、的形式考查,题目注重基础.3.1二次函数与幂函数一二次函数1.二次函数解析式的三种形式一般式:f(x)=(a0).顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a0),顶点坐标为.两根式(交点式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0),x1,x2分别为f(x)=0的两个实根.(函数对应的方程有实根的情况)2.二次函数的图象与性质函数y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0时,幂函数y=x在(0,+)上是增函数.()2 已知幂函数f(x)=x的图象过点(4,2),若f(m)=3,则实数m的值为.3 函数y=x13的大致图象是().4 已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方
7、,则a的取值范围是.5 幂函数y=xm2-4m(mZ)的图象如图所示,则m的值为.知识清单一、1.ax2+bx+c(h,k)二、1.y=x基础训练1.【解析】(1)错误,当b=0时,二次函数y=ax2+c(xR)是偶函数.(2)错误,因为xa,b,所以该函数的最值也可能在端点处取得.(3)错误,当0时,幂函数y=x在(0,+)上是增函数.【答案】(1)(2)(3)(4)2.【解析】由已知得2=4,则=12,所以f(m)=m12=3,解得m=9.【答案】93.【解析】取值验证可知,函数y=x13的大致图象是选项B中的图象.【答案】B4.【解析】因为f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,所以=
8、1-20a0,解得a120.【答案】120,+5.【解析】y=xm2-4m(mZ)的图象与坐标轴没有交点,m2-4m0,即0m0,其图象如图所示.又x-4,6,f(|x|)的单调递减区间是-4,-1)和0,1),单调递增区间是-1,0)和1,6.解决二次函数的图象与性质的问题,关键是充分利用图象的对称轴及图象与坐标轴的交点.【变式训练1】函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在-1,+)上单调递减,则实数a的取值范围是().A.-3,0)B.(-,-3C.-2,0D.-3,0【解析】当a=0时,f(x)=-3x+1,它在-1,+)上单调递减,满足题意;当a0时,f(x)图象的对称轴为直线x=3
9、-a2a,由f(x)在-1,+)上单调递减,知a0,3-a2a-1,解得-3a0.综上可知,实数a的取值范围是-3,0,故选D.【答案】D题型二二次函数最值的求法【例2】已知mR,函数f(x)=-x2+(3-2m)x+2+m.(1)若0m12,求|f(x)|在-1,1上的最大值g(m);(2)对任意的m(0,1,若f(x)在0,m上的最大值为h(m),求h(m).【解析】(1)函数f(x)图象的对称轴为直线x=3-2m2,00,g(m)=4-m.(2)函数f(x)图象的对称轴为直线x=3-2m2,且函数图象开口向下.m(0,1,3-2m20.当3-2m2m,即34m1时,h(m)=f3-2m2
10、=m2-2m+174;当3-2m2m,即0m34时,h(m)=f(m)=-3m2+4m+2.h(m)=m2-2m+174,34m1,-3m2+4m+2,0m34.解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”是指区间的两个端点和中点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.【变式训练2】已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0,1上的最大值为2,求a的值.【解析】函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1的图象的对称轴为直线x=a,且开口向下,分三种情况讨论:当a0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0,1上是减函数,f(x)max=f(
11、0)=1-a,由1-a=2,得a=-1;当0a1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0,a上是增函数,在a,1上是减函数,f(x)max=f(a)=a2-a+1,由a2-a+1=2,解得a=1+52或a=1-52,0a1,两个值都不满足,舍去;当a1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0,1上是增函数,f(x)max=f(1)=a,a=2.综上可知,a=-1或a=2.题型三幂函数的图象和性质【例3】已知幂函数y=x3m-9(mN*)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上函数值随着x的增大而减小,则满足(a+1)-m3(3-2a)-m3的实数a的取值范围为.【解析】由题意可知该幂函数在
12、(0,+)上单调递减,因此3m-90,即m3,又mN*,故m=1或m=2.由函数y=x3m-9的图象关于y轴对称,得3m-9为偶数,所以m=1,故(a+1)-133-2a0或3-2aa+10或a+103-2a,解得23a32或a0;若幂函数y=xa在(0,+)上单调递减,则a0.【变式训练3】已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(nZ)在(0,+)上是减函数,则n的值为().A.-3B.1C.2D.1或2【解析】因为f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3.当n=1时,f(x)=x-2=1x2,它在(0,+)上是减函数.当n=-3时,f(x)=x18,它在(
13、0,+)上是增函数.所以n=1符合题意,故选B.【答案】B方法一利用待定系数法求二次函数的解析式根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,但所给条件不同,选取的求解方法也不同,选择规律如下: 【突破训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a0),由题意得4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,4ac-b24a=8,解得a=-4,b=4,c=7.故所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.方法二分类讨论思想在求解含参数的二次函数的最值问题中的应用二次函数在某个区间
14、上的最值问题的处理,常常要利用数形结合思想和分类讨论思想,若二次函数的表达式中含有参数或所给区间是变化的,则需要观察二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系),抓住顶点的横坐标是否属于该区间,结合函数的单调性进行分类讨论.【突破训练2】已知函数f(x)=x2+mx+3,x-1,5,求f(x)的最小值.【解析】函数f(x)=x+m22+3-m24(x-1,5)的图象关于直线x=-m2对称.当-m2-1,即m2时,f(x)在-1,5上为增函数,f(x)min=f(-1)=1-m+3=4-m.当-1-m25,即-10m5,即m-10时,f(x)在-1,5上为减函数,f(x)min=f(
15、5)=25+5m+3=28+5m.综上可知,当m2时,f(x)min=4-m;当-10m2时,f(x)min=3-m24;当mbc且a+b+c=0,则它的图象可能是(). 【解析】由a+b+c=0,abc知a0,c0,排除A,C.又因为f(0)=c0,所以排除B,故选D.【答案】D4.(2017浙江湖州模拟)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),那么().A.f(-2)f(0)f(2)B.f(0)f(-2)f(2)C.f(2)f(0)f(-2)D.f(0)f(2)f(-2)【解析】由f(1+x)=f(-x)知f(x)的图象关于直线x=12对称.又因为抛物
16、线y=f(x)开口向上,所以结合图象(图略)可知,f(0)f(2)0,若函数y=8x,当xa,2a时,y的取值范围为a4,2,则a的值为().A.2B.4C.6D.8【解析】由题意知8a=2,82a=a4,解得a=4.【答案】B10.(2017广东揭阳第二次月考)若函数f(x)=x2+a|x|+a(xR)在3,+)和-2,-1上均为增函数,则实数a的取值范围是().A.-113,-3B.-6,-4C.-3,-22D.-4,-3【解析】f(-x)=x2+a|x|+a=f(x),f(x)在R上是偶函数.由函数f(x)在3,+)和-2,-1上均为增函数,可知f(x)在1,2上是减函数,只需-a22,
17、3,解得-6a-4,故选B.【答案】B11.(2017江西九江一中期中)函数f(x)=(m2-m-1)x4m9-m5-1是幂函数,对任意的x1,x2(0,+)且x1x2满足f(x1)-f(x2)x1-x20,若a,bR,且a+b0,ab0,满足题意;当m=-1时,指数4(-1)9-(-1)5-1=-40,a-b.又ab0,不妨设b-b0,f(a)f(-b)0.又f(-b)=-f(b),f(a)-f(b),f(a)+f(b)0.故选A.【答案】A12.(河南南阳一中2018届月考)已知f(x)=1+2x-x2,则g(x)=f(f(x)().A.在(-2,1)上单调递增B.在(0,2)上单调递增C
18、.在(-1,1)上单调递增D.在(1,2)上单调递增【解析】令t=f(x),则g(x)=f(t).当x(-2,1)时,f(x)在(-2,1)上单调递增,t(-7,2),此时f(t)在(-7,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以g(x)在(-2,1)上不是单调函数,A错误;当x(0,2)时,t(1,2)且f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,f(t)在(1,2)上单调递减,所以g(x)在(0,2)上不是单调函数,B错误;当x(-1,1)时,f(x)在(-1,1)上单调递增,t(-2,2),此时f(t)在(-2,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以g(x)在(-1
19、,1)上不是单调函数,C错误;当x(1,2)时,t(1,2)且f(x)在(1,2)上单调递减,f(t)在(1,2)上也单调递减,所以g(x)在(1,2)上单调递增,D正确.【答案】D13.(保定市涞水中学2018届第一次调研)若函数f(x)=(x-a)(x+3)为偶函数,则f(2)=.【解析】因为函数f(x)=(x-a)(x+3)是偶函数,所以xR,f(-x)=f(x),即(-x-a)(-x+3)=(x-a)(x+3),即x2+(a-3)x-3a=x2-(a-3)x-3a,解得a=3,所以f(2)=(2-3)(2+3)=-5.【答案】-514.(2017江苏南京模拟)直线l:x+y-3=0与x
20、轴、y轴的交点分别为A、B,幂函数y=f(x)的图象经过点(2,4),若点P在y=f(x)的图象上,且ABP的面积等于3,则所有满足要求的点P的横坐标的和为.【解析】由已知得点A(3,0),B(0,3),则|AB|=32.设幂函数f(x)=xa,将点(2,4)代入上式得a=2,f(x)=x2.设点P(x,x2),则点P到直线l的距离d=|x+x2-3|2.SABP=1232|x+x2-3|2=3,x2+x-3=2,即x2+x-5=0或x2+x-1=0.由方程可知这样的点P有四个,其横坐标的和为-1-1=-2.【答案】-23.2指数与指数函数一分数指数幂1.规定:正数的正分数指数幂的意义是amn
21、=nam(a0,m,nN+,且n1);正数的负分数指数幂的意义是a-mn=1nam(a0,m,nN+,且n1);0的正分数指数幂等于;0的负分数指数幂.2.有理数指数幂的运算性质(1)aras=(a0,r,sQ);(2)(ar)s=(a0,r,sQ);(3)(ab)r=(a0,b0,rQ).二指数函数的图象与性质y=axa10acbB.cabC.abcD.bac4 计算:32-13-760+81442-2323=.5 若指数函数y=(2-a)x在定义域内是减函数,则a的取值范围是.6 设x+x-1=3,则x2+x-2的值为.知识清单一、1.0没有意义2.(1)ar+s(2)ars(3)arbr
22、二、R(0,+)(0,1)1减函数基础训练1.【解析】(1)错误,当n是偶数时结论不成立.(2)错误,应为(-1)24=112=1.(3)错误,当a1时,函数y=a-x是R上的减函数.【答案】(1)(2)(3)2.【解析】由x-2=0,y=1+2,得x=2,y=3,所以函数f(x)的图象恒过定点A(2,3).【答案】B3.【解析】因为a=22.51,b=2.50=1,c=122.5bc.【答案】C4.【解析】原式=2313+2-2313=2.【答案】25.【解析】因为y=(2-a)x在定义域内是减函数,所以02-a1,解得1a2.【答案】(1,2)6.【解析】因为x+x-1=3,所以x2+x-
23、2=(x+x-1)2-2=7.【答案】7题型一指数幂的运算【例1】化简下列各式:(1)(0.06415)-2.523-3338-0;(2)a43-8a13b4b23+23ab+a23a-23-23baa3a25a3a.【解析】(1)原式=64100015-5223-27813-1=410315-5223-32313-1=52-32-1=0.(2)原式=a13(a13)3-(2b13)3(a13)2+a132b13+(2b13)2a13-2b13a(aa23)12(a12a13)15=a13(a13-2b13)aa13-2b13a56a16=a13aa23=a2.指数幂的运算首先将根式、分数指数
24、幂统一为分数指数幂,然后根据法则计算,注意运算顺序.【变式训练1】化简下列各式:(1)2350+2-2214-12-(0.01)0.5;(2)56a13b-2(-3a12b-1)(4a23b-3)12.【解析】(1)原式=1+144912-110012=1+1423-110=1+16-110=1615.(2)原式=-52a56b-3(4a23b-3)12=-52a56b-3(2a13b-32)=-54a12b-32=-5ab4b2.题型二指数函数的图象及其应用【例2】(1)已知实数a,b满足等式2017a=2018b,给出下列五个关系式:0ba;ab0;0ab;ba0;a=b.其中不可能成立的
25、关系式有().A.1个B.2个C.3个 D.4个(2)已知函数f(x)=|2x-1|,abf(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是().A.a0,b0,c0B.a0C.2-a2cD.2a+2c2【解析】(1)如图,观察易知a,b的关系为ab0或0ba或a=b=0,不可能成立的关系式的个数是2,故选B.(2)作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图.abf(c)f(b),结合图象知,0f(a)1,a0,0cf(c),1-2a2c-1,2a+2c1,b1,b0C.0a0D.0a1,b0【解析】由图象可得函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0a1.函数f(x)=ax-b的图象是由函数
26、f(x)=ax的图象向左平移得到的,所以b0.【答案】D题型三指数函数的性质及其应用【例3】已知函数f(x)=13ax2-4x+3.(1)若f(x)有最大值3,求a的值;(2)若f(x)的值域是(0,+),求不等式f(x)0,3a-4a=-1,解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值为1.(2)由指数函数的性质知,要使f(x)=13g(x)的值域为(0,+),应使g(x)=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a0,则g(x)为二次函数,其值域不可能为R).所以原不等式化为13-4x+33-x2+2x,即x2-2x-4x+3,解得-3x1.故所求不等式的解集为x|-3x1.73
27、B.0.6-10.62C.0.8-0.11.250.2D.1.70.30时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)0.62.(2)由1-2-x12,得2-x1.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)-12的解集是(-,-1).【答案】(1)B(2)(-,-1) 方法一利用换元法解决有关指数函数的问题【突破训练1】函数y=14x-12x+1在-3,2上的值域是.【解析】令t=12x,则t14,8,故y=t2-t+1=t-122+34.当t=12时,ymin=34;当t=8时,ymax=57.故所求函数的值域为34,57.【答案】34,57方法二数形结合思想在解题中的应用【突破训练2】已知
28、x2-ax0且a1)对任意的x(-1,1)恒成立,求实数a的取值范围.【解析】由已知得x2-121时,在(-1,1)上,要使y2=ax的图象落在y1=x2-12的图象的上方,则a-112,解得a2,1a2.当0a1时,在(-1,1)上,要使y2=ax的图象落在y1=x2-12的图象的上方,则a12,12a0,将a2a3a2表示成分数指数幂的形式,其结果是().A.a12B.a56C.a76D.a32【解析】a2a3a2=a2-12-13=a76,故选C.【答案】C2.(教材改编)已知函数f(x)=3x-b(2x4,b为常数)的图象经过点(2,1),则f(x)的值域为().A.9,81B.3,9
29、C.1,9D.1,+)【解析】由f(x)的图象经过点(2,1)可知b=2,因为f(x)=3x-2在2,4上是增函数,所以f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.故f(x)的值域为1,9.【答案】C3.(2017徐汇区校级模拟)已知函数f(x)=ax+a-x,且f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值是().A.14B.13C.12D.11【解析】因为f(1)=a+1a=3,所以f(2)=a2+a-2=a+1a2-2=7,f(0)=1+1=2,所以f(0)+f(1)+f(2)=2+3+7=12,故选C.【答案】C4.(2017湖南益阳六中模拟)若0a0,且ab+a-b
30、=22,则ab-a-b等于().A.6B.-2或2C.-2D.2【解析】ab+a-b=22,a2b+a-2b=8-2=6,(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=4.0a0,ab0,且1bxax,则().A.0ba1B.0ab1C.1baD.1ab【解析】1bx,b00,b1.bx1.x0,ab1,ab,1ba.【答案】C6.(2018届河北省保定市涞水县波峰中学第一次调研)已知a=243,b=323,c=2513,则().A.bacB.abcC.bcaD.cab【解析】a=243=423,b=323,c=2513=523,ba0,且a1)是指数函数,若以P(x1,f(x1),Q(x2,f(x2)为端点的线段的中点在y轴上,则f(x1)f(x2)=().A.1B.aC.2D.a2【解析】由题意得x1+x2=0.f(x)=ax,f(x1)f(x2)=ax1ax2=ax1+x2=a0=1,故选A.【答案】A8.(2016四川宜宾一诊)已知函数f(x)=x-4+9x+1,x(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的大致图象为().【解析】x(0,4),x+11,f(x)=x-4+9x+1=x+1+9x+1-529x+1