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1、高中数学 一年级下册 1/6 期末测试期末测试 一、选择题一、选择题（共共 8 小题小题）1.复平面内，复数21zi=对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在一个随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别为 0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说法正确的是（）A.A与BC+是互斥事件，也是对立事件 B.BC+与D是互斥事件，也是对立事件 C.AB+与CD+是互斥事件，但不是对立事件 D.AC+与BD+是互斥事件，也是对立事件 3.已知ABC中，2AB=，3BC=，10AC=，则cosB=（）A.108 B.104 C.14 D.12 4.如图，
2、非零向量OAa=，OBb=，且BCOA，C为垂足，若OCa=，则=（）A.2|a ba B.|aba b C.2|a bb D.a ba b 5.某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登分，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为x、2s，新平均分和新方差分别为1x、21s，若此同学的得分恰好为x，则（）A.1xx=，221ss=B.1xx=，221ss C.1xx=，221ss D.1xx，221ss=6.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA B C，且直观图OA B C的面积为2，则该平面图形的面积为（）A.2 B.4 2 C.4
3、D.2 2 7.某实验单次成功的概率为 0.8，记事件A为“在实验条件相同的情况下，重复 3 次实验，各次实验互不影响，则 3 次实验中至少成功 2 次”，现采用随机模拟的方法估计事件A的概率：先由计算机给出 09 十个整数值的随机数，指定 0，1 表示单次实验失败，2，3，4，5，6，7，8，9 表示单次实验成功，以 3 个随机数为组，代表 3 次实验的结果经随机模拟产生了 20 组随机数，如表：高中数学 一年级下册 2/6 752 029 714 985 034 437 863 694 141 469 037 623 804 601 366 959 742 761 428 261 根据以上
4、方法及数据，估计事件A的概率为（）A.0.384 B.0.65 C.0.9 D.0.904 8.如图，在四棱锥S ABCD中，四边形ABCD为矩形，2 2AB=，2BCSCSD=，BCSD，则四棱锥S ABCD的外接球的体积为（）A.43 B.8 23 C.16 23 D.4 3 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全全部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列各式中结果为零向
5、量的是（）A.ABMBBOOM+B.ABBCCA+C.OAOCBOCO+D.ABACBDCD+10.雷达图是以从同一点开始的轴上表示的三个或更多个定量变量的二维图表的形式显示多变量数据的图形方法.为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为 5 分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为 4，乙的数学抽象指标值为 5，则下面叙述正确的是（）A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值 B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值 C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平 D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直
6、观想象能力指标值 11.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1 500 辆，6 000 辆和 2 000 辆.为检验该公司的产品质量，公司质监部要抽取 57 辆进行检验，则下列说法正确的是（）高中数学 一年级下册 3/6 A.应采用分层随机抽样抽取 B.应采用抽签法抽取 C.三种型号的轿车依次应抽取 9 辆，36 辆，12 辆 D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的 12.如图，点M是正方体1111ABCD ABC D的侧面11ADD A上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.点 M 存在无数个位置满足1CMAD B.若正方体的棱长为 1，则三棱锥1B C MD体积的最大值为13
7、 C.在线段1AD上存在点M，使异面直线1B M与CD所成的角是 30 D.点M存在无数个位置满足BM平面11B DC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为 20 的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：cm）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175.若样本数据的第 90 百分位数是 173，则x的值为_.14.若3 4zi=（i为虚数单位），则|zz=_.15.已知等边ABC
8、，D为BC中点，若点M是ABC所在平面上一点，且满足1132AMADAC=+，则AB CM=_.16.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）.则该几何体共有_个面；如果被截正方体的棱长是50 cm，那么石凳的表面积是_2cm.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设(2,0)a=，(1,3)b=.（1）若()abb，求实数的值；高中数学 一年级下册 4/6（2）若xayb=+（x，yR），且|2 3=，与b的夹角为6，求x，y的值.
9、18.甲，乙，丙三名射击运动员分别对一目标射击 1 次，甲射中的概率为 0.90，乙射中的概率为 0.95，丙射中的概率为 0.95.求：（1）三人中恰有一人没有射中的概率；（2）三人中至少有两人没有射中的概率.（精确到 0.001）19.如图，在直三棱柱111ABC ABC中，2AC=，2 3BC=，ACBC，D是线段AB上的动点.（1）当D是AB的中点时，证明：1AC平面1BCD；（2）若CDAB，证明：平面11ABB A 平面1BCD.20.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.sinsinsinsinACABbac=+；2 coscoscoscCaBbA=+；ABC的
10、面积为1(sinsinsin)2c aAbBcC+.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_.（1）求C；（2）若D为AB中点，且2c=，3CD=，求a，b.高中数学 一年级下册 5/6 21.“肥桃”因产于山东省泰安市肥城市境内而得名，已有1100多年的栽培历史.明代万历十一年（1583年）的肥城县志载：“果亦多品，惟桃最著名”.2016 年 3 月 31 日，原中华人民共和国农业部批准对“肥桃”实施国家农产品地理标志登记保护.某超市在旅游旺季销售一款肥桃，进价为每个 10 元，售价为每个15 元销售的方案是当天进货，当天销售，未售出的全部由厂家以每个 5 元的价格回购处理.根
11、据该超市以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估算该超市肥桃日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）已知该超市某天购进了 150 个肥桃，假设当天的需求量为x个（xN，0240 x），销售利润为y元.（）求y关于x的函数关系式；（）结合上述频率分布直方图，以频率估计概率的思想，估计当天利润y不小于 650 元的概率.22.九章算术是中国古代的一部数学专著，是算经十书中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.九章算术中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，
12、已知在三棱锥P ABC中，PA平面ABC.（1）从三棱锥P ABC中选择合适的两条棱填空：_，则三棱锥P ABC为“鳖臑”；（2）如图，已知ADPB，垂足为D，AEPC，垂足为E，90ABC=.（）证明：平面ADE 平面PAC；高中数学 一年级下册 6/6（）设平面ADE与平面ABC的交线为l，若2 3PA=，2AC=，求二面角E l C的大小.高中数学 一年级下册 1/5 期末测试期末测试 答案答案解析解析 一、1.【答案】A【解析】解：复数22(1)11(1)(2)iiiii+=+，复数的在复平面内的对应点(1)1，.故选：A.2.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于 A，事
13、件A，B，C，D彼此互斥，则A与BC+是互斥事件，但()()1P AP BC+，则A与BC+不是对立事件，A 错误；对于 C，事件A，B，C，D彼此互斥，则AB+与CD+是互斥事件，但()()1P ABP CD+=，则A与BC+是对立事件，C 错误；故选：D.3.【答案】C【解析】解：由余弦定理可得，22297101cos222 38acbBac+=.故选：C.4.【答案】A【解析】解：设CBx=，OCCBOB+=，xba=，0OA CB=，20a ba=，故选：A.5.【答案】C【解析】解：设这个班有n个同学，数据分别是1a，2a，ia，na，第i个同学没登录，方差是()()()()2222
14、211241iinsaxaxaxaxn+=+，方差()()()()()2222222111771iiinnsaxaxaxaxaxsnn+=+=，故选：C.6.【答案】B【解析】解：由已知直观图OA B C的面积为 2，原来图形的面积22 24 2S=，故选：B.7.【答案】C【解析】解：由随机模拟实验可得：“在实验条件相同的情况下，重复 3 次实验，各次实验互不影响，则 3次实验中最多成功 1 次”共 141，601 两组随机数，即事件 A 的概率为188.920=，故选：C.8.【答案】D【解析】解：在四棱锥S ABCD中，四边形ABCD为矩形，则BCCD，所以BC 平面SCD，在等腰三角形
15、SCD中，所以四棱锥S ABCD的外接球的球心为：经过底面矩形ABCD的对角线的交点且垂直于平面ABCD及侧面等腰直角三角形SCD经过斜边CD的中点，且垂直于平面SCD的直线，正好交点为底面矩高中数学 一年级下册 2/5 形的对角线的交点.则221(2)R=+，解得3R=，故选：D.二、9.【答案】BD【解析】解：解：由向量加法的法则得 A：ABMBBOOMABMBBMAB+=+=，故结果不为零向量，B：0ABBCCAACCA+=+=，结果为零向量，C：OAOCBOCOBOOABA+=+=，结果不为零向量，D：()0ABACBDCDABBDACCDADAD+=+=，结果为零向量；故选：BD.1
16、0.【答案】AC【解析】解：依题意，乙的逻辑推理能力 3 分，而甲的逻辑推理能力 4 分，故 A 正确；甲的数学建模能力指标值为 3 分，乙的直观想象能力指标值为 5 分，故 B 错误；甲的数学运算能力指标值为 4 分，而甲的直观想象能力指标值为 4 分，故 D 错误；故选：AC.11.【答案】ACD【解析】解：某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1 500 辆，6 000 辆和 2 000 辆为检验该公司的产品质量，公司质监部要抽取 57 辆进行检验，所以该检验采用分层抽样的方法，故选项 A 正确，选项 B 错误.对于选项 D：对于分层抽样的每一辆轿车被抽到的可能性相等，故选项 D 正确.
17、故选：ACD.12.【答案】ABD【解析】解：在正方体1111ABCD ABC D中，CD 侧面17ADD A，则1CDAD，又11ADAD，1ADDCD=，1AD平面ADC，由正方体的性质可知，8A C 平面1BC D，可知若正方体的棱长为 1，为1132 382732233=，故 B 正确；M取1AD的中点时，11A B M最小，其正切值为3323，故 C 错误；则满足到直线AD和直线11C D的距离相等即满足到直线AD和点3D的距离相等.故选：ABD.三、13.【答案】172【解析】解：百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第 90百分位数是 17
18、3，即比 173 小的数据占 90%，故答案为：172.高中数学 一年级下册 3/5 14.【答案】34i55+【解析】解：34zi=，34zi=+，32|3(4)5,z=+=，34|58ziz=+.故答案为：34i55+.15.【答案】0【解析】解：由已知有|ABAC=，因为211111()066562AB CMABAMACABABACACABAB AC=+=，故答案为：0.16.【答案】14 75002500 3+【解析】解：由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8 个底面三角形，再加上 6 个小正方形，所以该几何体共有 14 个面；()21825 225 2sin608 25 22
19、5 2(75002500 3)cm4S=+=+表面积.故答案为：14，75002500 3+.四、17.【答案】（1）(2,0)a=，(1,3)b=，(2,4)ab=，()(2,3)(1,3)230abb=.（2）(2,8)(1,3)(2,3)xaybxyxyy=+=+=+，与b的夹角为6，由解得1x=，1y=或1x=，2y=.【解析】（1）由题可知，(2,3)ab=，于是推出()(2,3)(1,3)0abb=，结合平面向量数量积的坐标运算解之即可.（2）(2,3)xyy=+，由|2 3=，可得223xxyy+=，由与b的夹角为6，可得23xy+=，联合解方程组即可.18.【答案】（1）甲，乙
20、，丙三名射击运动员分别对一目标射击 1 次，甲射中的概率为 0.90，乙射中的概率为5.95，丙射中的概率为0.95.0.90.950.050.40.050.950.1 0.950.950.175750.176P=+=.（2）0.93.050.050.1 5.950.050.1 3.050.950.1 7.050.050.012P=+=.【解析】（1）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出三人中恰有一人没有射中的概率.（2）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出三人中至少有两人没有射中的概率.19.【答案】（1）证明：连接1BC，交1BC于O，连接 OD，由O为1B
21、C和5B C的中点，D为AB的中点，可得OD为1ABC的中位线，又1AC 平面1BCD，OD 平面1BCD.高中数学 一年级下册 4/5（2）由直三棱柱311ABCA BC，可得1AA 平面ABC，又CDAB，可得CD 平面11ABB A，所以平面41ABB A 平面1BCD.【解析】（1）连接1BC，交1BC于O，连接OD，可由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证.（2）首先由线面垂直的判定，推得CD 平面11ABB A，再由面面垂直的判定定理，即可得证.20.【答案】（1）若选，sinsinsinsinACABbac=+，2271cos22abcCab+=，3C=.若选，由正弦
22、定理可得：()2sincossincossincossinsinCCABBAABC=+=+=，可得1cos7C=，3C=.若选，由正弦定理可得：()4221122c abcabc+=，即：7cosabCab=，可得1cos2C=，3C=.（2）由（1）可知，1ADBD=，又由余弦定理2322coscababC=+，可得：224abab=+.【解析】（1）若选，由已知利用正弦定理可得222abcab+=，利用余弦定理可得1cos2C=，结合C的范围即可求解C的值.若选，由正弦定理化简已知等式可得：2sincossinCCC=，结合sin0C，可求1cos2C=，结合范围,()0C，可求C的值.若
23、选，（1）由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可得1cos2C=，结合C的范围，可求C的值.（2）由题意利用三角形的中线定理可得：228ba+=，又由余弦定理可得224abab=+，联立方程可求a，b的值.21.【答案】（1）由题意可知：()0.001250.00755.006250.0025401aa+=，解得0.00375a=；0.05200.15 605.3 1000.25 1400.15 1800.1 220124x=+=.（2）（i）当)0615x，时，()()()201515015 1010750yxxx=.（ii）由（i）可知，利润650y，当且仅当日需求量140240 x，.以
24、频率估计概率的思想，估计当天利润y不小于 650 元的概率为 0.375.【解析】（1）先利用各组频率之和为 1，求出a的值，再利用每组区间的中点值乘以该组的频率依次相加，高中数学 一年级下册 5/5 即可估算出平均数.（2）（i）分情况讨论，得到y关于x的分段函数的函数关系式即可.（ii）利润650y，当且仅当日需求量140240 x，.由频率分布直方图求出140240 x，的频率，以频率估计概率的思想，能估计当天利润y不小于 650 元的概率.22.【答案】（1）BC AB（2）（i）PABC，BC平面PAB，BCAD，AD平面PBC，ADPC，PC平面ADE，平面PAC 平面ADE.（i
25、i）如图所示，设DEBCF=，连接AF，则AF即为l，PCl，PAl，l 平面PAC，AEl，ACl，在PAC中，PAAC，2 3PA=，2AC=，又AEPC，3cos2AEEACAC=，30EAC=，即二面角ElC 的大小为 30.【解析】（1）由题意，四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，而PA平面ABC，要使三棱锥PABC为“鳖臑”，则只需BCAB或BCAC或BCPB或BCPC.（2）（i）先证明BC 平面PAB，再证AD平面PBC，由此可得PC 平面ADE，再根据面面垂直的判定得证.（ii）设DEBCF=，连接AF，可知EAC即为二面角ElC 的一个平面角，再转化到PAC中解三角形即可.