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1、1.3.2 奇偶性第1课时 函数奇偶性的概念 故宫殿堂建筑整齐对称，相映成趣故宫殿堂建筑整齐对称，相映成趣, , 给人以稳重、博大、给人以稳重、博大、端庄的感觉！数学上有对称的函数图象吗？它们体现了端庄的感觉！数学上有对称的函数图象吗？它们体现了函数的什么性质？一起让我们来学习这个性质吧！函数的什么性质？一起让我们来学习这个性质吧！ 已知已知函数函数f(x)=xf(x)=x2 2, ,求求f(0),f(-1),f(1), f(-2), f(0),f(-1),f(1), f(-2), f(2),f(2),及及f(-x) ,f(-x) ,并画出它的图象并画出它的图象. .解解: :f(-2)=(-
2、2)f(-2)=(-2) =4=4， f(2)=4f(2)=4f(0)=0,f(-1)=(-1)f(0)=0,f(-1)=(-1) =1,f(1)=1=1,f(1)=1，f(-x)=(-x)f(-x)=(-x) =x=x f(-1)=f(1)f(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)f(-2)=f(2)(-x,y)-xxf(-x)f(x)xyo( x,y)f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)探究点探究点1 1 偶函数的定义偶函数的定义思考思考: :函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？有什么关系？ 函数图象关于函数图象关于y y轴对称；轴对
3、称；对定义域内任意的自变对定义域内任意的自变量量x x都有都有()( )fxf x 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(xf(x) )的定义域内任的定义域内任意一个意一个x x，都有，都有_，那么函数，那么函数f(xf(x) )就就叫做偶函数叫做偶函数. .偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴轴对称。对称。例如，下图：例如，下图：f(-x)=f(xf(-x)=f(x) )对定义域内对定义域内任意的自变任意的自变量量x x都有都有()( )fxf x 已知已知f(x)=x, f(x)=x, 求求f(0),f(-1),f(1), f(0),f(-1),f(1), f(-2),f(2)f
4、(-2),f(2)及及f(-x),f(-x),并画出它的图象并画出它的图象. .解解:f(-2)=(-2)f(-2)=(-2)=-8=-8，f(2)=8.f(2)=8.f(0)=0,f(-1)=(-1)f(0)=0,f(-1)=(-1)=-1=-1，f(1)=1f(1)=1，f(-xf(-x)=(-x)=-x)=(-x)=-xf(-1)= - f(1)f(-1)= - f(1)f(-2)= - f(2)f(-2)= - f(2)xxyof(-x)= - f(x)f(-x)= - f(x)-xf(-x)f(x)探究点探究点2 2 奇函数的定义奇函数的定义思考思考: :奇函数中，奇函数中，函数图象
5、上横坐标互为相反数的函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？点的纵坐标有什么关系？ 提示：提示：如图，如图，f(-xf(-x)=-x)=-x3 3=-f(x=-f(x) )，即横坐标互为相，即横坐标互为相反数的点的纵坐标互为相反数反数的点的纵坐标互为相反数. .xxyo-xf(-x)f(x) 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(xf(x) )的定义域内任意一的定义域内任意一个个x x，都有，都有_，那么函数，那么函数f(xf(x) )就叫做就叫做奇奇函数函数. .奇函数的图象关于奇函数的图象关于原点原点对称。对称。f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) ) 根据图象判断下
6、列函数哪个是偶函数，哪个根据图象判断下列函数哪个是偶函数，哪个是奇函数？是奇函数？偶函数偶函数偶函数偶函数奇奇函数函数奇函数奇函数【提升总结【提升总结】奇函数与偶函数定义中的三性奇函数与偶函数定义中的三性(1)(1)对称性对称性：奇、偶函数的定义域关于原点对称；：奇、偶函数的定义域关于原点对称；(2)(2)整体性：整体性：奇偶性是函数的整体性质，是对定义域奇偶性是函数的整体性质，是对定义域内的每一个内的每一个x x都成立的；都成立的；(3)(3)可逆性：可逆性：f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)f(xf(x) )是奇函数，是奇函数，f(-x)= f(-x)= f(x)f(x)f(xf
7、(x) )是偶函数是偶函数. .图象关于图象关于y y轴对称的是偶函数，轴对称的是偶函数，关于原点对称的是奇函数。关于原点对称的是奇函数。例例. .判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：（1 1） ； （2 2） ；（3 3） ； （4 4）4( ) f xx5( ) f xx1( ) f xxx分析：分析：只要按照函数奇偶性的定义，检验各个只要按照函数奇偶性的定义，检验各个函数是否符合即可函数是否符合即可. .解解：（1 1）对于函数）对于函数f(xf(x)=x)=x4 4，其定义域是，其定义域是 . .因为对定义域内的每一个因为对定义域内的每一个x x，都有，都有 所以，函数所以，函
8、数f(xf(x)=x)=x4 4为偶函数。为偶函数。(,) 44()()( ), fxxxf x(2)(2)对于函数对于函数f(f(x x)=)=x x5 5，其定义域为，其定义域为 . .因为对定义域内的每一个因为对定义域内的每一个x x，都有，都有所以，函数所以，函数f(f(x x)=)=x x5 5为奇函数为奇函数. .(,) 55()()( ), fxxxf x(3)(3)对于函数对于函数 ，其定义域是，其定义域是 x x| |x x0.0.因为对于定义域内的每一个因为对于定义域内的每一个x x，都有，都有所以，函数所以，函数 为奇函数为奇函数. .1( ) f xxx1( ) f x
9、xx11()()( ), fxxxf xxx用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是：用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是：（1 1）先求函数的定义域先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是，由于在函数奇偶性的定义中都是x x和和-x-x对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原点对称的，则这个函数不具备奇偶性点对称的，则这个函数不具备奇偶性. .（2 2）验证）验证f(-x)=f(xf(-x)=f(x) ) ，或者，或者f(-
10、x)=-f(xf(-x)=-f(x).).（3 3）根据函数奇偶性的定义得出结论）根据函数奇偶性的定义得出结论. .【提升总结【提升总结】1.1.函数不是奇函数就是偶函数吗？函数不是奇函数就是偶函数吗？思考交流思考交流2.2.若函数若函数f(xf(x) )为奇函数，且在为奇函数，且在x=0 x=0处有定义，则处有定义，则f(0)f(0)的值能确定吗？的值能确定吗？（1 1）判断函数）判断函数 的奇偶性的奇偶性. .（2 2）如图是函数）如图是函数 图象的一部分，如何图象的一部分，如何画出函数在整个定义域上的图象？画出函数在整个定义域上的图象？31( )53f xxx31( )53f xxx【变
11、式练习【变式练习】解：解：(1)(1)对于函数对于函数 ，其定义域，其定义域是是 . .由于对定义域内的任意由于对定义域内的任意x x，都有，都有所以，函数所以，函数f f( (x x) )是奇函数是奇函数. .3311()()5()5( )33 fxxxxxf x(,) 31( )53f xxx(2)(2)由于奇函数的图象关于由于奇函数的图象关于坐标原点对称，只要在函数坐标原点对称，只要在函数图象上找点作出这些点关于图象上找点作出这些点关于坐标原点的对称点，描点即坐标原点的对称点，描点即可作出函数在整个定义域上可作出函数在整个定义域上的图象的图象. .如图如图练习：作出函数y=|x|22|x
12、|1的图象。1.1.函数函数f(xf(x)=x)=x2 2，xx-1-1，2 2是是( )( )A.A.奇函数奇函数 B.B.偶函数偶函数C.C.非奇非偶函数非奇非偶函数 D.D.既奇又偶函数既奇又偶函数【提示【提示】xx-1,2-1,2，不关于原点对称，不关于原点对称. .C C2.2.（20132013山东高考）已知函数山东高考）已知函数f f（x x）为奇函数，）为奇函数，且当且当x x0 0时，时，f f（x x）= x= x2+ + ，则，则f f（-1-1）= =（ ）A A2 2 B B1 1 C C0 0 D D-2-21x解题提示：解题提示：由条件利用函数的奇偶性可得由条件利
13、用函数的奇偶性可得f f（-1-1）= =-f-f（1 1），运算求得结果），运算求得结果D D3.3.如果定义在区间如果定义在区间3-a3-a，5 5上的函数上的函数f(xf(x) )是偶是偶函数，则函数，则a=_.a=_.【解析【解析】f(xf(x) )是偶函数，是偶函数，函数函数f(xf(x) )的定义域关于的定义域关于原点对称，原点对称，3-a+5=03-a+5=0，a=8a=88 84.4.已知已知f(xf(x) )是偶函数，是偶函数，g(xg(x) )是奇函数，试将下图是奇函数，试将下图补充完整。补充完整。解：解： 2215.1-11.xf xxff xx设设函函数数求求它它的的定定义义域域； 判判断断它它的的奇奇偶偶性性； 求求的的值值 22222221-2-1- -;.1-11113-1-11-10.xfxxxf xf xxxxff xxxxff xx数义关点对称为数由由 得得函函的的定定域域于于原原，而而 偶 偶函函，奇偶性奇偶性定义定义图象特点图象特点判断方法判断方法人生最终的价值在于觉醒和思考的能力，而不只在于生存。亚里士多德