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1、11.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性第第1 1课时课时 函数奇偶性的概念函数奇偶性的概念 21.1.理解函数的奇偶性及其几何意义；理解函数的奇偶性及其几何意义；( (难点）难点）2.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（易混点）（易混点）3.3.学会判断函数的奇偶性学会判断函数的奇偶性（重点、难点）（重点、难点）3 已知已知函数函数f(x)=xf(x)=x2 2, ,求求f(0),f(-1),f(1), f(-2), f(0),f(-1),f(1), f(-2), f(2),f(2),及及f(-x) ,f(-x) ,并画出它的图象并画出它的图象.
2、.解解: :f(-2)=(-2)f(-2)=(-2) =4 =4 f(2)=4f(2)=4f(0)=0,f(-1)=(-1)f(0)=0,f(-1)=(-1) =1,f(1)=1=1,f(1)=1f(-x)=(-x)f(-x)=(-x) =x=x f(-1)=f(1)f(-1)=f(1)f(-2)=f(2)f(-2)=f(2)(-x,y)-xxf(-x)f(x)xyo( x,y)f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)思考思考: :函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？关系？ 4函数图象关于函数图象关于y y轴对轴对称；对定义域内任意称；
3、对定义域内任意的自变量的自变量x x都有都有()( )fxf x5函数图象关于函数图象关于y y轴对称；轴对称；对定义域内任意的自变对定义域内任意的自变量量x x都有都有()( )fxf x6函数图象关于函数图象关于y y轴对称；轴对称；对定义域内任意的自变对定义域内任意的自变量量x x都有都有()( )fxf x7 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(xf(x) )的定义域内任意一个的定义域内任意一个x x，都有，都有f(-x)=f(xf(-x)=f(x) )，那么函数，那么函数f(xf(x) )就叫做偶函数就叫做偶函数. .探究点探究点1 1 偶函数的定义偶函数的定义8 已知已知f
4、(x)=x, f(x)=x, 求求f(0),f(-1),f(1), f(-2),f(2), f(0),f(-1),f(1), f(-2),f(2), 及及f(-x),f(-x),并画出它的图象并画出它的图象. .解解:f(-2)=(-2)=-8 f(2)=8f(-2)=(-2)=-8 f(2)=8f(0)=0,f(-1)=(-1)=-1 f(0)=0,f(-1)=(-1)=-1 f(1)=1f(1)=1 f(-x)=(-x)=-xf(-x)=(-x)=-x思考思考: :函数图象上横坐标互为相反数的函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？点的纵坐标有什么关系？ f(-1)= - f(1
5、)f(-1)= - f(1)f(-2)= - f(2)f(-2)= - f(2)xxyof(-x)= - f(x)f(-x)= - f(x)-xf(-x)f(x)探究点探究点2 2 奇函数的定义奇函数的定义9 根据图象判断下列函数哪个是偶函数，不是偶函数的根据图象判断下列函数哪个是偶函数，不是偶函数的函数图象又有什么性质函数图象又有什么性质. .偶函数偶函数偶函数偶函数10函数不是偶函数，图象关于坐标原点对称，即对于函数函数不是偶函数，图象关于坐标原点对称，即对于函数定义域内的任意定义域内的任意x x都有都有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) )11 一般地，如果对于函数一般地，如果对
6、于函数f(xf(x) )的定义域内任意一个的定义域内任意一个x x，都有，都有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) )，那么函数，那么函数f(xf(x) )就叫做就叫做奇函数奇函数. .注意注意：(1)(1)函数是奇函数的性质是函数在定义域上的函数是奇函数的性质是函数在定义域上的整体性质，即定义域内的任意一个自变量都得满足整体性质，即定义域内的任意一个自变量都得满足其定义；其定义；(2)(2)函数是奇函数的性质和函数图象关于坐标原点对函数是奇函数的性质和函数图象关于坐标原点对称是一回事，奇函数的定义是函数图象关于坐标原称是一回事，奇函数的定义是函数图象关于坐标原点对称的数量化点对称的数量
7、化. .12（1 1）判断函数）判断函数 的奇偶性的奇偶性. .（2 2）如图是函数）如图是函数 图象的一图象的一部分，如何画出函数在整个定义域上的图象？部分，如何画出函数在整个定义域上的图象？31( )53f xxx31( )53f xxx13解：解：(1)(1)对于函数对于函数 ，其定义域，其定义域是是 . .由于对定义域内的任意由于对定义域内的任意x x，都有，都有所以，函数所以，函数f(xf(x) )是奇函数是奇函数. .(2)(2)由于奇函数的图象关于坐标由于奇函数的图象关于坐标原点对称，只要在函数图象上原点对称，只要在函数图象上找点作出这些点关于坐标原点找点作出这些点关于坐标原点的
8、对称点，描点即可作出函数的对称点，描点即可作出函数在整个定义上的图象在整个定义上的图象. .如图如图3311()()5()5( )33 fxxxxxf x(,) 31( )53f xxx14例例. .判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：（1 1） ； （2 2） ；（3 3） ； （4 4） . .4( ) f xx5( ) f xx1( ) f xxx21( ) f xx分析：分析：只要按照函数奇偶性的定义，检验各个函数是否只要按照函数奇偶性的定义，检验各个函数是否符合即可符合即可. .15解解：（1 1）对于函数）对于函数f(xf(x)=x)=x4 4，其定义域是，其定义域是 .
9、.因为对定义域内的每一个因为对定义域内的每一个x x，都有，都有 所以，函数所以，函数f(xf(x)=x)=x4 4为偶函数。为偶函数。(,) 44()()( ) fxxxf x(2)(2)对于函数对于函数f(xf(x)=x)=x5 5，其定义域为，其定义域为 . .因为对定义域内的每一个因为对定义域内的每一个x x，都有，都有所以，函数所以，函数f(xf(x)=x)=x5 5为奇函数为奇函数. .(,) 55()()( ), fxxxf x16(3)(3)对于函数对于函数 ，其定义域是，其定义域是x|xx|x0.0.因为对于定义域内的每一个因为对于定义域内的每一个x x，都有，都有所以，函数
10、所以，函数 为奇函数为奇函数. .1( ) f xxx1( ) f xxx11()()( ), fxxxf xxx(4)(4)对于函数对于函数 ，其定义域是，其定义域是 . .由于对于定义域内的每一个由于对于定义域内的每一个x x，都有，都有所以，函数所以，函数 为偶函数为偶函数. .21( ) f xx21( ) f xx0 x x2211()( ),()fxf xxx17用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是：用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是：（1 1）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是是x x和和-x-x对应出现
11、，故具备奇偶性的函数的定义域区间一对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于定关于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原点对称的，则这个函数不具备奇偶性坐标原点对称的，则这个函数不具备奇偶性. .（2 2）验证）验证f(-x)=f(xf(-x)=f(x) ) ，或者，或者f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x).).（3 3）根据函数奇偶性的定义得出结论）根据函数奇偶性的定义得出结论. .提升总结：提升总结：181.1.（20122012榆林高一检测）判断下列函数的奇偶性榆林高一检测）判断下列函数的奇偶性. .421( )23f xx
12、x（）3(2) ( )2f xxx21(3) ( )xf xx2(4) ( )1f xx偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数19 2.2.如如果果奇奇函函数数f xf x 在在区区间间, , 上上是是增增函函数数，且且最最小小值值是是5,5,那那么么由由此此可可知知：f xf x 在在区区间间 -7,-3-7,-3 上上的的最最_值值为为_._. ,-7,-3-5.-5f xf x数区间数为数图关点对称质区间：已已知知是是奇奇函函，且且在在上上是是增增函函，且且最最小小值值那那么么由由奇奇函函象象于于原原的的性性可可得得解解析析【答答案案】在在上上一一定定存存在在最最大大值值大大
13、203.3.已知已知f(xf(x) )是偶函数，是偶函数，g(xg(x) )是奇函数，试将下图补充完是奇函数，试将下图补充完整。整。21解：解：22 2214.1-11.xf xxff xx设设函函数数求求它它的的定定义义域域； 判判断断它它的的奇奇偶偶性性； 求求的的值值 211-0,1,|1 . f xxxx x数义则数义为： 若若要要使使函函有有意意，需需解解得得所所以以函函的的定定域域解解析析23 22222221-2-1- -;.1-11113-1-11-10.xfxxxf xf xxxxff xxxxff xx数义关点对称为数由由 得得函函的的定定域域于于原原，而而 偶 偶函函24
14、1. 1. 函数图象的对称性从形上反应了函数的奇偶性，函数函数图象的对称性从形上反应了函数的奇偶性，函数奇偶性的定义从数上刻画了函数的奇偶性奇偶性的定义从数上刻画了函数的奇偶性. .两者之间是一两者之间是一个问题的两个表达方式，即他们之间是一回事个问题的两个表达方式，即他们之间是一回事. .函数的奇函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质偶性是函数在定义域上的整体性质. .2.2.并不是所有的函数都具备奇偶性，按照奇偶性对函数并不是所有的函数都具备奇偶性，按照奇偶性对函数进行分类，可以分为奇函数、偶函数、既是奇函数又是进行分类，可以分为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四类；函数具备奇偶性必需定义偶函数、非奇非偶函数四类；函数具备奇偶性必需定义域关于坐标原点对称域关于坐标原点对称. .25 人生最终的价值在于觉醒和思考的能力，而不只在于生存。亚里士多德