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1、1第第2 2课时课时 函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用 2例例1.1.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性2211(0)2( )11(0)2xxg xxx1122xxy3例例2.2.已知函数已知函数f(xf(x) )在（在（0,+0,+）上的解析式是）上的解析式是f(xf(x)=2x+1)=2x+1，（1 1）f(xf(x) )是偶函数，求（是偶函数，求（-，0 0）上的解析式）上的解析式. .（2 2）f(xf(x) )是奇函数，求（是奇函数，求（-，0 0）上的解析式）上的解析式(3)f(x)(3)f(x)是奇函数，求是奇函数，求R R上的解析式上的解析式4分析：分析：求函数求函数f(
2、xf(x) )在在(-(-，0 0）上的解析式，就是求当）上的解析式，就是求当 时，如何用含时，如何用含x x的表达式表示的表达式表示f(xf(x) )(,0)x 能够利用的已知条件是函数在（能够利用的已知条件是函数在（0 0，+）上的函数解析）上的函数解析式，这样就要把（式，这样就要把（-，0 0）上的自变量转化到（）上的自变量转化到（0 0，+）上的自变量上的自变量. .根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函数就是数就是f(x)=f(-x
3、f(x)=f(-x) )，这样当，这样当 时，时， ，而在（而在（0 0，+）上的函数解析式是已知的）上的函数解析式是已知的. .对奇函数同对奇函数同样处理样处理. .(,0)x (0,)x 5解：解：（1 1）当函数）当函数f(xf(x) )是偶函数时，满足是偶函数时，满足f(x)=f(-xf(x)=f(-x) )当当 时，时， ，(,0)x (0,)x 所以，当所以，当 时，时，(,0)x ( )()2() 121f xfxxx (2)(2)当函数当函数f(xf(x) )是奇函数时，满足是奇函数时，满足f(x)=-f(-xf(x)=-f(-x) )当当 时，时， ，(,0)x (0,)x
4、所以，当所以，当 时，时，(,0)x ( )()2() 121f xfxxx 6探究点探究点3 3 函数的奇偶性与函数的单调性函数的奇偶性与函数的单调性回顾例回顾例1 1中两个函数的图象中两个函数的图象第（第（1 1）个函数图象上可以看出函数在关于定义域对称的）个函数图象上可以看出函数在关于定义域对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律般规律. .第（第（2 2）个函数图象上可以看出函数在关于定义域对称的）个函数图象上可以看出函数在关于定义域对称的区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一区间上具有相同的单调性，这也是奇
5、函数的单调性的一般规律般规律. .7例例3.3.设函数是定义在设函数是定义在-1,1-1,1上递减的奇函数上递减的奇函数 ，解不等式，解不等式(1)( )0f xf x8函数的单调性与奇偶性的关系函数的单调性与奇偶性的关系(1)(1)若若f(xf(x) )是奇函数是奇函数, ,则则f(xf(x) )在其关于原点对称的区在其关于原点对称的区间上单调性一致间上单调性一致; ;若若f(xf(x) )是偶函数是偶函数, ,则则f(xf(x) )在其关于定在其关于定义域对称的区间上单调性相反义域对称的区间上单调性相反. .(2)(2)奇函数在对称区间上的最值相反奇函数在对称区间上的最值相反, ,且互为相
6、反数且互为相反数; ;偶函数在对称区间上的最值相等偶函数在对称区间上的最值相等. .提升总结：提升总结：91.(20101.(2010新课标全国卷新课标全国卷) )设偶函数设偶函数f(xf(x) )满足满足f(xf(x)=x)=x3 3- -8(x0)8(x0)，则，则x|f(x-2)0 x|f(x-2)0=( )=( )（A A）x|xx|x-24 x4 （B B）x|xx|x04x4（C C）x|xx|x06 x6 （D D）x|xx|x-22x2解解: :选选B.B.因为函数因为函数f(xf(x) )在（在（0,+0,+）上为增函数，且）上为增函数，且f(2)=0,f(2)=0,由偶函数
7、的性质可知，若由偶函数的性质可知，若f(x-2)0,f(x-2)0,需满足需满足|x-|x-2|2,2|2,得得x4x4或或x0,x0,故选故选B.B.102.2.画出函数画出函数f(xf(x)=-x)=-x2 2+4|x|+4|x|的图象的图象. .答案：答案：113.3.已知奇函数已知奇函数f(xf(x) )，在（，在（-，00上的解析式是上的解析式是f(xf(x)=x)=x2 2+2x+2x，求这个函数在（，求这个函数在（0 0，+）上的解析式）上的解析式. .答案：答案：22( )()()2()2f xfxxxxx 121.1.函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它与函数的单函数的奇偶性
8、是函数的重要性质之一，它与函数的单 调性一样是今后进一步研究函数问题的主要工具调性一样是今后进一步研究函数问题的主要工具. .2.2.函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，而函数函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，而函数 的单调性是函数在定义域上的局部性质的单调性是函数在定义域上的局部性质. .3.3.具备奇偶性的函数，若是奇函数则在定义域关于原点具备奇偶性的函数，若是奇函数则在定义域关于原点 对称的区间上具有相同的单调性；若是偶函数则在定对称的区间上具有相同的单调性；若是偶函数则在定 义域对称的区间上具有相反的单调性义域对称的区间上具有相反的单调性. .13 但凡人能想象到的事物，必定有人能将它实现。凡尔纳