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1、第3课时三角形中的几何计算课后篇巩固探究A组1.在ABC中,AB=2,BC=5,ABC的面积为4,则cosABC等于()A.B.C.-D.解析由S=ABBCsinABC,得4=25sinABC,解得sinABC=,从而cosABC=.答案B2.某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要()A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元解析由已知可求得草皮的面积为S=2030sin 150=150(m2),则购买草皮的费用为150a元.答案C3.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若2b=a
2、+c,B=30,ABC的面积为,则b等于()A.1+B.C.D.2+解析由acsin 30=,得ac=6.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos 30=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,得b=+1.答案A4.在ABC中,若AC=BC,C=,SABC=sin2A,则SABC=()A.B.C.D.2解析因为AB2=BC2+3BC2-2BCBC=BC2,所以A=C=,所以SABC=sin2A=,故选A.答案A5.若ABC的周长等于20,面积是10,B=60,则边AC的长是()A.5B.6C.7D.8解析在ABC中,设A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60,由题意,得解得b=
3、7,故边AC的长为7.答案C6.已知ABC的三边分别为a,b,c,且面积S=,则角C=.解析在ABC中,SABC=,而SABC=absin C,absin C.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,cos C=sin C,C=45.答案457.已知三角形的面积为,其外接圆面积为,则这个三角形的三边之积等于.解析设三角形的外接圆半径为R,则由R2=,得R=1.由S=absin C=,故abc=1.答案18.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:=c.证明由余弦定理的推论得cos B=,cos A=,代入等式右边,得右边=c=左边,故原式得证.9.如图,在ABC中,B
4、C=5,AC=4,cosCAD=,且AD=BD,求ABC的面积.解设CD=x,则AD=BD=5-x.在CAD中,由余弦定理,得cosCAD=,解得x=1.CD=1,AD=BD=4.在CAD中,由正弦定理,得,则sin C=4.SABC=ACBCsin C=45,故ABC的面积为.10.导学号04994016若ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,且S=c2-(a-b)2,a+b=2,求面积S的最大值.解S=c2-(a-b)2=c2-a2-b2+2ab=2ab-(a2+b2-c2).由余弦定理,得a2+b2-c2=2abcos C,c2-(a-b)2=2ab(1-cos C),即S=2ab(
5、1-cos C).S=absin C,sin C=4(1-cos C).又sin2C+cos2C=1,17cos2C-32cos C+15=0,解得cos C=或cos C=1(舍去).sin C=,S=absin C=a(2-a)=-( a-1)2+.a+b=2,0aC,C为锐角,且cos C=.由c2=a2+b2-2abcos C,得b2-11b+24=0,解得b=3或b=8.当b=8时,角B是钝角,cos B=0,b=8舍去.同理验证可知b=3符合条件.SABC=absin C=73.答案C2.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acos C=4csin A,若ABC的
6、面积S=10,b=4,则a的值为()A.B.C.D.解析由3acos C=4csin A,得.又由正弦定理,得,tan C=,sin C=.又S=bcsin A=10,b=4,csin A=5.根据正弦定理,得a=,故选B.答案B3.在ABC中,ab=60,SABC=15,ABC的外接圆半径为,则边c的长为.解析SABC=absin C=15,ab=60,sin C=.由正弦定理,得=2R,则c=2Rsin C=3.答案34.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为.解析SABC=bcsin A=bcbc=3,bc=24.
7、又b-c=2,a2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+2bc-2bc=4+224+24=64.a为ABC的边,a=8.答案85.在ABC中,D为边BC上一点,BD=DC,ADB=120,AD=2.若ADC的面积为3-,则BAC=.解析如图,由SADC=3-和SADC=ADDCsin 60,得3-2DC,解得DC=2(-1),则BD=DC=-1.在ABD中,AB2=BD2+AD2-2BDADcos 120=(-1)2+4-2(-1)2=6,AB=.在ADC中,AC2=AD2+DC2-2ADDCcos 60=22+2(-1)2-222(-1)=24-12,AC=-1).在ABC中,cos
8、BAC=,BAC=60.答案606.导学号04994017如图所示,已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.解连接BD,则四边形ABCD的面积为S=SABD+SCDB=ABADsin A+BCCDsin C.A+C=180,sin A=sin C,S= (ABAD+BCCD)sin A= (24+64)sin A=16sin A.在ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2ABADcos A=22+42-224cos A=20-16cos A.在CDB中,由余弦定理,得BD2=CB2+CD2-2CBCDcos C=62+42-26
9、4cos C=52-48cos C.20-16cos A=52-48cos C.cos C=-cos A,64cos A=-32,cos A=-.又A(0,180),A=120,S=16sin 120=8.7.已知ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B,求ABC面积的最大值.解由正弦定理,得a2-c2=(a-b)b,即a2+b2-c2=ab.由余弦定理,得cos C=.C(0,),C=.S=absin C=2Rsin A2Rsin B=R2sin Asin B=R2sinA=R2(sin Acos A+sin2A)=R2=R2.A.2A-,sin,S,ABC面积的最大值为R2.7