《2019高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第3课时 三角形中的几何计算学案 新人教A版必修5.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第3课时 三角形中的几何计算学案 新人教A版必修5.doc（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、- 1 -第第 3 3 课时课时 三角形中的几何计算三角形中的几何计算学习目标：1.掌握三角形的面积公式的应用(重点).2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用(难点)自自 主主 预预 习习探探 新新 知知1三角形的面积公式(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；1 21 21 2(2)Sabsin Cbcsin_Acasin_B；1 21 21 2(3)S (abc)r(r为内切圆半径)1 2思考：(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？提示 (1)适用三角形的面积公式对任意的三角形都成立(2)能利
2、用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解2三角形中常用的结论(1)ABC， ；AB 2 2C 2(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形的诱导公式sin(AB)sin_C，cos(AB)cos_C，tan(AB)tan_C，(C 2)sin cos ，AB 2C 2cos sin .AB 2C 2基础自测基础自测1思考辨析(1)公式Sabsin C适合求任意三角形的面积( )1 2(2)三角形中已知三边无法求其面积( )(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积( )答案 (1) (2) (3) 提示：已知三
3、边可以先利用余弦定理求出其中一角，然后再求面积故(2)错- 2 -2下列说法中正确的是_(填序号)(1)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S(abc)r；(2)在ABC中，若cb2，SABC，则A60；3(3)在ABC中，若a6，b4，C30，则SABC的面积是 6；(4)在ABC中，若 sin 2Asin 2B，则AB. 【导学号：91432075】(3 3) (1)中三角形的面积S (abc)r.1 2(2)由Sbcsin A可得 sin A，A60或 120.1 232(4)在ABC中由 sin 2Asin 2B得AB或AB. 23在ABC中，a6，B30，
4、C120，则ABC的面积_9 9 由题知A1801203030，由知b6，Sabsin 3 3a sin Ab sin B1 2C189.3234在ABC中，ab60，SABC15，ABC的外接圆半径为，则边c的长为_. 33【导学号：91432076】3 3 由题知SABCabsin C15得 sin C.1 2332又由2R得c23.c sin C332合合 作作 探探 究究攻攻 重重 难难三角形面积的计算在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B，cos A ，b. 34 53(1)求 sin C的值；(2)求ABC的面积解 (1)角A，B，C为ABC的内角，且B，cos A ，
5、 34 5CA，sin A .2 33 5sin Csincos A sin A.(2 3A)321 234 310- 3 -(2)由(1)知 sin A ，sin C.3 534 310又B，b， 33在ABC中，由正弦定理得a .bsin A sin B6 5ABC的面积Sabsin C .1 21 26 5334 310369 350规律方法 1由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用，若三角形的面积已知，常选择已知的那个面积公式2如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算跟踪训练1ABC的内角A，B，C的对边分别为
6、a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，求ABC的面积解 由bsin Ccsin B4asin Bsin C得 sinBsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C，因为 sin Bsin C0，所以 sin A .因为b2c2a28，cos A，所以bc1 2b2c2a2 2bc，所以SABCbcsin A .8 331 21 28 331 22 33三角恒等式证明问题在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.证明：.a2b2 c2sinAB sin C思路探究：由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开证明 法
7、一：(边化角)由余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，a2b2b2a22bccos A2accos B，整理得：.a2b2 c2acos Bbcos A c依正弦定理有 ， ，a csin A sin Cb csin B sin C.a2b2 c2sin Acos Bsin Bcos A sin CsinAB sin C- 4 -法二：(角化边)sinAB sin Csin AcosBcos Asin B sin Caa2c2b22acb2c2a22bcbc2a2b2 2c2.a2b2 c2规律方法 1三角恒等式证明的三个基本原则：(1)统一边角关系(2)由繁推简
8、(3)目标明确，等价转化2三角恒等式证明的基本途径：(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形跟踪训练2在ABC中，求证：. cos B cos Ccbcos A bccos A【导学号：91432078】证明 由正弦定理得右边2Rsin C2Rsin Bcos A 2Rsin B2Rsin Ccos AsinABsin Bcos A sinACsin Ccos A左边sin Acos Bcos Asin Bsin Bcos A sin Acos Ccos Asin Csin Ccos
9、Asin AcosB sin Acos Ccos B cos C 原等式成立解三角形中的综合问题探究问题1.如图 1235 所示，图中共有几个三角形？线段AD分别是哪些三角形的边，B是哪些三角形的内角？图 1235提示：在图形中共有三个三角形，分别为ABC，ABD，ADC；线段AD是ADC与ABD的公共边，B既是ABC的内角，又是ABD的内角2在探究 1 中，若 sin Bsin ADB，则ABD是什么形状的三角形？在此条件下若已知- 5 -ABm，DCn，如何求出AC?提示：若 sin Bsin ADB，则ABD为等腰三角形，在此条件下，可在ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在ADC中求出
10、AC，也可以在ABD中先求出BD，然后在ABC中，利用余弦定理求出AC.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，bsincsin 4( 4C)a.( 4B)(1)求证：BC； 2(2)若a，求ABC的面积.2【导学号：91432079】思路探究：(1)先由正弦定理化边为角，再化简已知三角形即证(2)结合第(1)问可直接求出B，C，再利用面积公式求值；也可以作辅助线导出b，c的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解解 (1)证明：由bsincsina，应用正弦定理，( 4C)( 4B)得 sin Bsinsin Csinsin A，( 4C)( 4B)所以 sin Bsi
11、n Csin Bcos B，(22sin C22cos C)222222整理得 sin Bcos Ccos Bsin C1，即 sin(BC)1，因为 0B ，0C ，从而BC.3 43 4 2(2)因BCA，所以B，C.3 45 8 8由a，A得b2sin ，c2sin ，所以ABC的面积2 4asin B sin A5 8asin C sin A 8Sbcsin Asin sin cos sin .1 225 8 82 8 81 2母题探究：(变条件，变结论)将例题中的条件“A，bsincsina”改 4( 4C)( 4B)为“ABC的面积S(a2b2c2)” 求：34(1)角C的大小；(
12、2)求 sin Asin B的最大值解 (1)由题意可知absin C2abcos C.1 234- 6 -所以 tan C，因为 0C，3所以C. 3(2)由已知 sin Asin Bsin Asin(A 3)sin Asin(2 3A)sin Acos A sin A321 2sin，3(A 6)3(0 A2 3)当A，即ABC为等边三角形时取等号 3所以 sin Asin B的最大值为.3规律方法 1解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键2三角形问题中，涉及变量
13、取值范围或最值问题要注意函数思想的应用当当 堂堂 达达 标标固固 双双 基基1(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则C( )a2b2c2 4A. B. 2 3C. D. 4 6C C 因为SABCabsin C，所以absin C由余弦定理a2b2c22abcos 1 2a2b2c2 41 2C，得 2abcos C2absin C，即 cos Csin C，所以在ABC中，C.故选 C. 42在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a1，B45，SABC2，则ABC的外接圆直径为( )A4 B60 C5 D6322C C SABCac
14、sin Bcsin 45c2，1 21 224c4，2b2a2c22accos 4525，- 7 -b5.ABC的外接圆直径为5.b sin B23设A是ABC中最小的内角，则 sin Acos A的取值范围是( ) 【导学号：91432081】A(，) B，2222C(1，) D(1，22D D sin Acos Asin.2(A 4)A为ABC中最小内角，A，A，(0， 3) 4( 4，7 12)sin，(A 4)(22，1sin Acos A(1，24在ABC中，已知B，D是BC边上一点，AD10，AC14，DC6，则AB的长为 4_5 5 在ADC中，AD10，AC14，DC6，6 6
15、cosADC .AD2DC2AC2 2ADDC10262142 2 10 61 2又ADC(0，)，ADC，2 3ADB. 3在ABD中，由正弦定理得，AB sinADBAD sin BAB5.ADsinADB sin B10 322265已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求 cos B；(2)设B90，且a，求ABC的面积. 2【导学号：91432082】解 (1)由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.- 8 -由余弦定理可得 cos B .a2c2b2 2ac1 4(2)由(1)知b22ac.因为B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca.2所以ABC 的面积为 1.1222