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1、1同步精选测试同步精选测试 三角形中的几何计算三角形中的几何计算(建议用时：45 分钟)基础测试一、选择题1.已知在ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积为( ) 3【导学号：18082071】A.B.3234C.或D.或3233432【解析】 由正弦定理，得 sin C，则C60或 120，所以AC sin BAB sin C32A90或 30.因为SABCABACsin Asin A，所以SABC或.1 2323234【答案】 D2.在ABC中，A60，b1，SABC，则角A的对边的长为( )3A. B. C. D.57372113【解析】 SABCbcsin A 1csin 60
2、，c4.由余弦定理1 21 23a2b2c22bccos 60116214 13.a.1 213【答案】 D3.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C， 3则ABC的面积是( )A.3 B. C. D.39 323 323【解析】 已知c2(ab)26，即c2a2b22ab6，C，c2a2b2ab， 3由和得ab6，SABCabsin C 6.1 21 2323 32【答案】 C4.在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于( ) 7【导学号：18082072】A.B.323 322C.D.3 623 394【解析】 在ABC中，由余弦定理可知：A
3、C2AB2BC22ABBCcos B，即 7AB2422AB .1 2整理得AB22AB30.解得AB1(舍去)或AB3.故BC边上的高ADABsin B3sin 60.3 32【答案】 B5.设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且ABC,3b20acos A，则 sin Asin Bsin C为( )A.432B.567C.543D.654【解析】 由题意知：ab1，cb1，所以 3b20acos A20(b1)b2c2a2 2bc20(b1)，b2b12b12 2bb1整理得 7b227b400，解之得：b5(负值舍去)，可知a6，c4.结合正
4、弦定理可知 sin Asin Bsin C654.【答案】 D二、填空题6.在ABC中，B60，AB1，BC4，则BC边上的中线AD的长为_.【解析】 画出三角形知AD2AB2BD22ABBDcos 603，AD.3【答案】 37.有一三角形的两边长分别为 3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程 5x27x60的根，则此三角形的面积是_cm2.【解析】 解方程 5x27x60，得x2 或x ，3 5|cos |1，cos ，sin .3 54 5故S 35 6(cm2).1 24 5【答案】 638.已知ABC中，AB，BC1，sin Ccos C，则ABC的面积为_.33【解析】 由 si
5、n Ccos C得 tan C0，所以C.33 3根据正弦定理可得，即2，所以 sin A .因为ABBC，所BC sin AAB sin C1 sin A3321 2以AC，所以A，所以B，即三角形为直角三角形，故SABC 1 6 21 23.32【答案】 32三、解答题9.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.cos A acos B bsin C c(1)证明：sin Asin Bsin C；(2)若b2c2a2bc，求 tan B. 6 5【导学号：18082073】【解】 (1)证明：根据正弦定理，可设k(k0).a sin Ab sin Bc sin C则aksin
6、 A，bksin B，cksin C，代入中，有cos A acos B bsin C c，变形可得cos A ksin Acos B ksin Bsin C ksin C sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB).在ABC中，由ABC，有 sin(AB)sin(C)sin C，所以 sin Asin Bsin C.(2)由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有6 5cos A ，b2c2a2 2bc3 5所以 sin A .1cos2A4 5由(1)知，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以 sin B cos B sin B，
7、故 tan B4.4 54 53 5sin B cos B410.四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积.【解】 (1)连接BD，AC180，cos Acos C，由余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C，BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C.由，得 cos C ，故C60，BD.1 27(2)四边形ABCD的面积SABDAsin ABCCDsin C1 21 2sin 602.(1 2 1 212 3 2)3能力提升1.已知锐角ABC中，|4，|1，ABC的面积为，则的值为( )A
8、BAC3ABACA.2 B.2 C.4 D.4【解析】 由题意SABC |sin A，得 sin A，又ABC为锐角三角1 2ABAC332形，cos A ，1 2|cos A2.ABACABAC【答案】 A2.在斜三角形ABC中，sin Acos Bcos C，且 tan Btan C1，则角A22的值为( )A. B. C. D. 4 3 23 4【解析】 由题意知，sin Acos Bcos Csin(BC)sin Bcos Ccos 2Bsin C，在等式cos Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C两边除以 cos Bcos 2C得 tan Btan C，tan(BC)
9、1tan A，所以角A.2tan Btan C 1tan Btan C 4【答案】 A3.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为53，bc2，cos A ，则a的值为_.151 4【解析】 在ABC中，由 cos A 可得 sin A，1 4154所以有Error!解得Error!【答案】 84.在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若 sin Bsin C1，试判断ABC的形状.【解】 (1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，a2b2c22bccos A，bc2bc cos A，cos A .1 2又 0A，A .2 3(2)由(1)知 sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，sin2A(sin Bsin C)2sin Bsin C.又 sin Bsin C1，且 sin A，32sin Bsin C ，因此 sin Bsin C .1 41 2又B，C，故BC.(0， 2)所以ABC 是等腰钝角三角形.