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1、优化探究2014高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：8-7命题报告教师用书独具一、选择题1抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是()Ax24yBx24yCy212x Dx212y解析：由题意得c3，抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，3)该抛物线的标准方程为x212y或x212y.答案：D2(2013年长沙模拟)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条 B2条C3条 D4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非
2、直线x0)答案：C3(2013年郑州模拟)已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A.或 B.或C.或 D.解析：由焦点弦长公式|AB|得12，sin ，或.答案：B4设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若0，则|()A9 B6C4 D3解析：由于抛物线y24x的焦点F的坐标为(1,0)，由0，可取(1,0)，此时，(1,0)，注意到对称性，可令A的坐标为，C的坐标为.于是，可得|2 1516.选B.答案：B5(2012年高考安徽卷)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()A. B.C.
3、D2解析：利用抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系求解如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|3，由抛物线定义知：点A到准线x1的距离为3，点A的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知点A的纵坐标y2，A(2,2)，直线AF的方程为y2(x1)联立直线与抛物线的方程解之得或由图知B，SAOB|OF|yAyB|1|2|.故选C.答案：C二、填空题6已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为_解析：依题意得，直线x与圆(x3)2y216相切，因此圆心(3,0)到直线x的距离等于半径4，于是有34，即p2.答案：27(2013年南京模拟)已
4、知抛物线x24y的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|MN|，则NMF_.解析：如图，过N作准线的垂线，垂足为H，则|NF|MN|，cosMNH，MNH，NMF.答案：8已知点A(2,0)，B(4,0)，动点P在抛物线y24x上运动，则取得最小值时点P的坐标是_解析：设P则，y2y288，当且仅当y0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)答案：(0,0)9(2012年高考陕西卷)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m水位下降1 m后，水面宽_m.解析：用数形结合法建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，则A(2，2)
5、，将其坐标代入x22py得p1.x22y.当水面下降1 m，得D(x0，3)(x00)，将其坐标代入x22y得x6，x0.水面宽|CD|2 m.答案：2三、解答题10已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值解析：根据已知条件，抛物线方程可设为y22px(p0)，则焦点F.点M(3，m)在抛物线上，且|MF|5，得方程组解得 或抛物线方程为y28x，m2.11(2013年厦门模拟)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)
6、当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)点P(1,2)在抛物线上，222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA(x11)，kPB(x21)，PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y4x1，y4x2，y12(y22)y1y24.由得，yy4(x1x2)，kAB1(x1x2)12(能力提升)如图，过抛物线x24y的对称轴上任一点P(0，m)(m0)作直线与抛物线交
7、于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点(1)设点P满足(为实数)，证明：()；(2)设直线AB的方程是x2y120，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程解析：(1)依题意，可设直线AB的方程为ykxm，代入抛物线方程x24y，得：x24kx4m0.设A，B两点的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，所以，x1x24m.由点P满足(为实数，1)，得0，即.又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是(0，m)，从而(0,2m)(x1，y1m)(x2，y2m)(x1x2，y1y2(1)m)()2m2m2m(x1x2)2m(x1x2)0，所以(
8、)(2)由得点A，B的坐标分别是(6,9)，(4,4)由x24y得yx2，yx，所以，抛物线x24y在点A处切线的斜率为y|x63.设圆C的方程是(xa)2(yb)2r2，则解得：a，b，r2(a4)2(b4)2.所以，圆C的方程是22.因材施教学生备选练习1(2013年聊城模拟)已知A、B为抛物线C：y24x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若4，则直线AB的斜率为()A BC D解析：4，|4|，设|BF|t，则|AF|4t，如图所示，点A、B在抛物线C的准线上的射影分别为A1、B1，过A作BB1的垂线，交线段B1B的延长线于点M，则|BM|AA1|BB1|AF|BF|3t.又|AB|AF|BF|5t，|AM|4t，tanABM.由对称性可知，这样的直线AB有两条，其斜率为.答案：D2(2013年郑州质检)已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_解析：由题意知F(1,0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|2p4时，为最小值，所以|AC|BD|的最小值为2.答案：2- 8 -