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1、解析函数的概念本讲稿第一页，共二十八页一、复变函数的导数与微分1.导数的定义导数的定义:本讲稿第二页，共二十八页在定义中应注意在定义中应注意:本讲稿第三页，共二十八页例例1 解解注注本讲稿第四页，共二十八页例例2 解解本讲稿第五页，共二十八页本讲稿第六页，共二十八页例例3 解解本讲稿第七页，共二十八页本讲稿第八页，共二十八页2.可导与连续可导与连续:函数函数 f(z)在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续,但函但函数数 f(z)在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.证证本讲稿第九页，共二十八页证毕证毕本讲稿第十页，共二十八页3.求导法则求导法则:由
2、于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证且证明方法也是相同的明方法也是相同的.求导公式与法则求导公式与法则:本讲稿第十一页，共二十八页本讲稿第十二页，共二十八页4.微分的概念微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变函复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致数的微分概
3、念完全一致.定义定义本讲稿第十三页，共二十八页特别地特别地,本讲稿第十四页，共二十八页二、解析函数的概念1.解析函数的定义解析函数的定义本讲稿第十五页，共二十八页2.奇点的定义奇点的定义根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.但是但是,函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等价不等价的的概念概念.即函数在一点处可导即函数在一点处可导,不一定在该点处解不一定在该点处解析析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.本讲稿第十六页，共二十八页例例4 解解由本节
4、例由本节例1和例和例3知知:本讲稿第十七页，共二十八页本讲稿第十八页，共二十八页本讲稿第十九页，共二十八页例例5解解本讲稿第二十页，共二十八页例例6解解本讲稿第二十一页，共二十八页本讲稿第二十二页，共二十八页课堂练习课堂练习答案答案处处不可导处处不可导,处处不解析处处不解析.本讲稿第二十三页，共二十八页定理定理以上定理的证明以上定理的证明,可利用求导法则可利用求导法则.本讲稿第二十四页，共二十八页根据定理可知根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的.本讲稿第二十五页，共二十八页三、小结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的理解复变函数导数与微分
5、以及解析函数的概念概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法求导方法.注意注意:复变函数的导数定义与一元实变函数复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求它们的一些求导公式与求导法则也一样导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限然而复变函数极限存在要求与存在要求与z 趋于零的方式无关趋于零的方式无关,这表明它在这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多一点可导的条件比实变函数严格得多.本讲稿第二十六页，共二十八页思考题思考题本讲稿第二十七页，共二十八页思考题答案思考题答案反之不对反之不对.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.本讲稿第二十八页，共二十八页