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1、第二节多元函数的概念1本讲稿第一页，共十七页一、多元函数的定义一、多元函数的定义例例1 1设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，则长方形的体积则长方形的体积 xyz 当当x,y,z的值分别给定时，按这个公式，的值分别给定时，按这个公式，V就有一个确就有一个确定的值与之相对应，这时我们就称定的值与之相对应，这时我们就称V是是x,y,z的三元函数的三元函数.本讲稿第二页，共十七页一、多元函数的定义一、多元函数的定义例例2 2在西方经济学中，著名的在西方经济学中，著名的CobbDouglas生产函数为生产函数为L0 0，K0 0分别表示投入的劳力数量和资本数量，分别表示投入
2、的劳力数量和资本数量，这里这里C,为常数，为常数，y表示产量表示产量.当当K,L的值给定时，的值给定时，y就有一确定值与就有一确定值与之对应，因此称之对应，因此称y是是K,L的二元函数的二元函数.以上是多元函数的实例，下面给出二元函数的定义。以上是多元函数的实例，下面给出二元函数的定义。本讲稿第三页，共十七页一、多元函数的定义一、多元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念量等概念.定义定义本讲稿第四页，共十七页二元函数的图形通常是一张二元函数的图形通常是一张曲面曲面.二
3、元函数的图形二元函数的图形本讲稿第五页，共十七页再如再如,图形如右图图形如右图.例如例如,球面球面.单值分支单值分支:本讲稿第六页，共十七页解解所求定义域为所求定义域为求求的定义域的定义域例例3 3本讲稿第七页，共十七页二、二元函数的极限二、二元函数的极限定义定义本讲稿第八页，共十七页证证证明证明 证毕证毕例例4 4恒有恒有本讲稿第九页，共十七页例例5 5求求 解解由基本不等式由基本不等式知知由夹逼定理，由夹逼定理，本讲稿第十页，共十七页本讲稿第十一页，共十七页例例6 6解解沿沿 x 轴轴考察考察,沿沿 y 轴轴考察考察,本讲稿第十二页，共十七页三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性定义定义
4、一切二元初等函数在其定义域内都是连续的一切二元初等函数在其定义域内都是连续的.例如，例如，内连续内连续.本讲稿第十三页，共十七页讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性例例7 7本讲稿第十四页，共十七页注意比较：注意比较：讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性例例7 7本讲稿第十五页，共十七页有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在上的多元连续函数，必定在D上上有界，且能取得它的最大值和最小值有界，且能取得它的最大值和最小值 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值大值和最小值之间的任何值.（1 1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2 2）介值定理）介值定理本讲稿第十六页，共十七页练习：练习：P324 习题七习题七本讲稿第十七页，共十七页