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1、第7章 参数估计第1页，共56页，编辑于2022年，星期一1 点估计点估计一、参数估计的概念一、参数估计的概念定义定义:设设X1，Xn 是总体是总体X的一个样本，其分布的一个样本，其分布函数为函数为F(x;),。其中其中 为未知参数为未知参数,为参数空间为参数空间,x1，xn是样本的一个观测值。是样本的一个观测值。点估计问题就是要构造一个统计量点估计问题就是要构造一个统计量,并用它的观察值并用它的观察值 作为作为 的近似值的近似值.此时称此时称 为为 的估计量，称的估计量，称 为为 的估计值。估计量和估计值统称为估计的估计值。估计量和估计值统称为估计,都简记为都简记为 .第2页，共56页，编辑
2、于2022年，星期一 由于由于g(x1，xn)是实数域上的一个点，用它来估计是实数域上的一个点，用它来估计，故称这种估计为故称这种估计为点估计点估计。点估计的经典方法是点估计的经典方法是矩估计法矩估计法与与极大似然估计法极大似然估计法。第3页，共56页，编辑于2022年，星期一一、一、矩估计法矩估计法 关键点：关键点：1.1.用样本用样本k k阶矩作为总体阶矩作为总体k阶阶矩的估计，即矩的估计，即2.用样本用样本k阶矩的函数作为总体阶矩的函数作为总体k阶矩同一的估计，即阶矩同一的估计，即第4页，共56页，编辑于2022年，星期一例例1：设：设X1，Xn为取自总体为取自总体B(m,p),的样本，
3、其中的样本，其中m已知，已知，0p0,b0,a+b=1a0,b0,a+b=1，统计量，统计量 都是都是E E（X X）的无偏估计，并求）的无偏估计，并求a,ba,b使所得统计量最有效使所得统计量最有效故对任意实数故对任意实数a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1,统计量统计量 都是都是E E（X X）的无偏估计）的无偏估计第36页，共56页，编辑于2022年，星期一第37页，共56页，编辑于2022年，星期一则则 是是 的相合估计量或一致估计量的相合估计量或一致估计量.(P139)设设 是待估参数是待估参数 的估计量的估计量.若对任意的若对任意的 ,有有 定义定义3 3相合估计量相合估
4、计量 是指随着样本容量的增大是指随着样本容量的增大,依概率收敛到未知参数依概率收敛到未知参数.三、三、相合性相合性 第38页，共56页，编辑于2022年，星期一例例5设总体的均值设总体的均值 ,求证求证:是是 的相合估计量的相合估计量.例例6设设 是来自是来自 的样本，的样本，为未为未知参数知参数,求证：求证：为为 的相合估计量的相合估计量.证：证：的概率密度的概率密度第39页，共56页，编辑于2022年，星期一即即所以，所以，为为 的相合估计量的相合估计量.第40页，共56页，编辑于2022年，星期一设总体设总体 的分布函数的分布函数 含有一个未知参数含有一个未知参数,对于给定值对于给定值
5、，若由总体的样本，若由总体的样本 确定的两个统计量确定的两个统计量 和和 ,满足满足3 区间估计区间估计 定义定义1 1则称随机区间则称随机区间 是是 的置信水平的置信水平(或置信度或置信度)为为 的置信区间，的置信区间，和和 分别称为分别称为 的置信水平的置信水平为为 的置信下限和置信上限的置信下限和置信上限.第41页，共56页，编辑于2022年，星期一一、一、单个正单个正态总体参数的区间估计态总体参数的区间估计(1)方差已知时方差已知时,正态总体均值的区间估计正态总体均值的区间估计设设 是正态总体是正态总体 的样本的样本,其中其中 已知已知,给定给定 ,求均值求均值 的置信区间的置信区间.
6、由于由于 ，根据分位点的定义，根据分位点的定义,有有第42页，共56页，编辑于2022年，星期一所以所以,均值均值 的置信水平为的置信水平为 置信区间为置信区间为可以证明在置信水平可以证明在置信水平 条件下条件下,上式给出的均值上式给出的均值 的置信区间的置信区间,在形如在形如的置信区间中长度最短的置信区间中长度最短.第43页，共56页，编辑于2022年，星期一第一步第一步,根据实际问题构造样本的函数（根据实际问题构造样本的函数（枢轴量）枢轴量）第三步第三步,由由 解得等价不等解得等价不等 式式 ,则随机则随机区间区间 就是所求的置信区间就是所求的置信区间.第二步第二步,给定的置信水平给定的置
7、信水平 ,确定常数确定常数 和和 ,使使 ,相应的区间按照概率（几何）对称相应的区间按照概率（几何）对称.它仅包含待估参数它仅包含待估参数,而不包含其它未知参数而不包含其它未知参数.它的分布它的分布已知且不依赖于任何未知参数已知且不依赖于任何未知参数.未知参数的置信区间的解题步骤未知参数的置信区间的解题步骤第44页，共56页，编辑于2022年，星期一例例1已知某大学三年级学生的身高服从正态分布已知某大学三年级学生的身高服从正态分布 ,现从该大学三年级学生中抽查现从该大学三年级学生中抽查10人人,测得身高分别测得身高分别为为162,176,163,165,168,172,170,167,175,
8、178.求总体均求总体均值值 的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间的置信区间.解：解：这是方差已知时这是方差已知时,求正态总体均值的置信区求正态总体均值的置信区间问题间问题.所对应的置信区间为所对应的置信区间为 这里这里由样本观察值算得由样本观察值算得 所以置信区间是所以置信区间是 第45页，共56页，编辑于2022年，星期一(2)方差未知时方差未知时,正态总体均值的区间估计正态总体均值的区间估计设设 是正态总体是正态总体 的样本的样本,其中其中 未知未知,给定给定 ,求均值求均值 的置信区间的置信区间.由于由于 ，根据，根据 分位点的定义分位点的定义,有有均值的置信区间为均值的置信区间
9、为第46页，共56页，编辑于2022年，星期一例例设某种袋装食品的重量服从正态分布，从某设某种袋装食品的重量服从正态分布，从某一批此种食品中抽取一批此种食品中抽取6袋袋,测得重量测得重量(单位单位:g)如下如下:205,207,189,193,196,198.求此种袋装食品的重量求此种袋装食品的重量的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间的置信区间.解：解：这是方差未知时这是方差未知时,求正态总体均值的置信区求正态总体均值的置信区间问题间问题.所对应的置信区间为所对应的置信区间为 这里这里由样本观察值算得由样本观察值算得 所以置信区间是所以置信区间是 第47页，共56页，编辑于2022年，星
10、期一()正态总体方差与标准差的区间估计正态总体方差与标准差的区间估计设设 是正态总体是正态总体 的样本的样本,其中其中 未知未知,给定给定 ,求求 与的置信区间与的置信区间.由于由于 ，根据分位点的定义，根据分位点的定义,有有第48页，共56页，编辑于2022年，星期一方差的置信区间为方差的置信区间为均方差的置信区间为均方差的置信区间为第49页，共56页，编辑于2022年，星期一例例某种零件的生产时间某种零件的生产时间(单位单位:分钟分钟)服从正态分布服从正态分布,现观察了现观察了20个零件的生产时间个零件的生产时间,得到得到.求的置信水平为求的置信水平为0.95的置信区间的置信区间.解：解：
11、这是求正态总体方差的置信区间问题，所对应这是求正态总体方差的置信区间问题，所对应的置信区间为的置信区间为 这里这里所以置信区间是所以置信区间是 第50页，共56页，编辑于2022年，星期一假定假定二、二、两个正两个正态总体参数的区间估计态总体参数的区间估计(1)两个正态总体均值差的区间估计两个正态总体均值差的区间估计均值差的置信区间为均值差的置信区间为第51页，共56页，编辑于2022年，星期一例例 4设甲、乙两稀有金属矿所含稀有金属量分别服从正态设甲、乙两稀有金属矿所含稀有金属量分别服从正态分布分布 和和 ,从两矿中各取样若干份从两矿中各取样若干份,测测出的含量结果为出的含量结果为(单位：单
12、位：%)甲矿：甲矿：10.8,15.9,13.3,14.2,12.8 乙矿：乙矿：18.7,19.6,20.6,17.4,18.4,19.8 试求试求 的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间的置信区间.解：这是求两个正态总体均值差的置信区间问题解：这是求两个正态总体均值差的置信区间问题,且且 未知未知,所对应的置信区间为所对应的置信区间为 这里这里由样本观察值算得由样本观察值算得 第52页，共56页，编辑于2022年，星期一所以置信区间是所以置信区间是 第53页，共56页，编辑于2022年，星期一(2)两个正态总体方差比的置信区间两个正态总体方差比的置信区间方差比的置信区间为方差比的置信区
13、间为由于由于 ，根据，根据 分位点的定义分位点的定义,有有第54页，共56页，编辑于2022年，星期一例例 5某厂利用甲乙两条自动化流水线生产某种零件，某厂利用甲乙两条自动化流水线生产某种零件，其零件直径分别服从正态分布其零件直径分别服从正态分布 和和 .现现从从甲甲流流水水线线上上随随机机抽抽取取9个个零零件件,从从乙乙流流水水线线上上随随机机抽抽取取10个个零零件件，测测其其直直径径得得到到样样本本方方差差分分别为别为 和和 ，求求 的置信水平为的置信水平为0.90的置信区间的置信区间.解：这是求两个正态总体方差比的置信区间问题解：这是求两个正态总体方差比的置信区间问题,所对应的置信区间为所对应的置信区间为 这里这里第55页，共56页，编辑于2022年，星期一所以置信区间是所以置信区间是 第56页，共56页，编辑于2022年，星期一