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1、第03章参数估计第1页，共77页，编辑于2022年，星期日n根据样本数据推断总体数量特征的方法根据样本数据推断总体数量特征的方法样本统计量样本统计量 总体参数总体参数 (已知已知)推断统计推断统计 (未知未知,但可以根据样但可以根据样 本数据加以估计本数据加以估计)推断统计推断统计(Inferential Statistics)第2页，共77页，编辑于2022年，星期日推断统计推断统计n参数估计（参数估计（Parameter Parameter EstimationEstimation）n在抽样及抽样分布的基础上，用样本在抽样及抽样分布的基础上，用样本统计量去估计总体的参数统计量去估计总体的参
2、数n假设检验（假设检验（Hypothesis TestingHypothesis Testing）n先对总体参数提出一个假设值，然后先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设是否成立利用样本信息判断这一假设是否成立根据样本数据推断总体数量特征的方法根据样本数据推断总体数量特征的方法第3页，共77页，编辑于2022年，星期日估计量：用于估计总体参数的随机变量估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本方差等如样本均值，样本比例、样本方差等例如例如:样本均值就是总体均值样本均值就是总体均值 的一个估计量的一个估计量总体参数用总体参数用 表示，估计量表示，估计量用用 表
3、示表示估计值：估计参数时计算出来的估计量的具体值估计值：估计参数时计算出来的估计量的具体值n如果样本均值如果样本均值 x x=80=80，则，则 80 80 就是就是 的估计值的估计值估计量与估计值估计量与估计值(estimator&estimated value)第4页，共77页，编辑于2022年，星期日点估计点估计(Point Estimate)用样本的估计量直接作为总体参数的估计值用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用样本均值直接作为总体均值的估计没有给出估计值接近总体参数程度的信息没有给出估计值接近总体参数程度的信息点点估估计计的的方方法法
4、有有矩矩估估计计法法、最最大大似似然然法法、最最小小二二乘乘法等法等第5页，共77页，编辑于2022年，星期日区间估计（区间估计（Interval Estimate）n在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的区间由样本统计量加减抽样误差而得到的点估计点估计置信下限置信下限置信上限置信上限置信区间置信区间第6页，共77页，编辑于2022年，星期日评价估计量的标准评价估计量的标准n要要估估计计总总体体的的某某一一指指标标，并并非非只只能能用用一一个个样样本本指指标标，而而可可能能有有多多个个样样本本
5、指指标标可可供供选选择择，即即对对于于同同一一总总体体参参数数可可能能会会有有不不同同的的估估计计量量，那那么么究究竟竟哪哪个个估估计计量量是是总总体体参参数数的最优估计量呢？的最优估计量呢？n评价估计量优劣的标准有三个：评价估计量优劣的标准有三个：n无偏性无偏性n有效性有效性n一致性一致性第7页，共77页，编辑于2022年，星期日无偏性无偏性(Unbiasedness)n无偏性：无偏性：样本样本估计量的数学期望等于被估计总体参数估计量的数学期望等于被估计总体参数 的真值，即的真值，即 P P()无偏无偏有偏有偏第8页，共77页，编辑于2022年，星期日有效性有效性(Efficiency)有效
6、性：有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量对同一总体参数的两个无偏点估计量 和和 ，若，若 ，称，称 是比是比 更更 有效的一个估计量。有效的一个估计量。P P()的抽样分布的抽样分布的抽样分布的抽样分布第9页，共77页，编辑于2022年，星期日一致性一致性(Consistency)n一致性：一致性：随着样本容量的增大，估计量的随着样本容量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数值越来越接近被估计的总体参数P P()较大的样本容量较大的样本容量较小的样本容量较小的样本容量 第10页，共77页，编辑于2022年，星期日总体均值、比例的区间估计总体均值、比例的区间估计总体均值总体均值 未知
7、未知总体均值总体均值/比例比例的区间估计的区间估计总体比例总体比例 已知已知第11页，共77页，编辑于2022年，星期日总体均值的区间估计总体均值的区间估计(已知已知)n假定条件假定条件n总体标准差总体标准差 已知已知n总体服从正态分布总体服从正态分布n如果总体不服从正态分布，则必须是大样本如果总体不服从正态分布，则必须是大样本n总体均值的置信区间为总体均值的置信区间为 第12页，共77页，编辑于2022年，星期日确定确定z z1 1/2/2n构造置信水平为构造置信水平为9595的置信区间：的置信区间：z z0 0.025025=-1.96=-1.96z z0 0.97.975 5=1.96=
8、1.96点估计值点估计值置信下限置信下限置信上限置信上限z:z:x:x:0 0第13页，共77页，编辑于2022年，星期日常用的置信水平常用的置信水平n常用的置信水平值有常用的置信水平值有 90%,95%,和和 99%置信水平置信水平1.281.281.6451.6451.961.962.332.332.572.573.083.083.273.270.800.800.900.900.950.950.980.980.990.990.9980.9980.9990.99980%80%90%90%95%95%98%98%99%99%99.8%99.8%99.9%99.9%第14页，共77页，编辑于20
9、22年，星期日置信区间与置信水平置信区间与置信水平置信区间置信区间 置信区间为置信区间为 至 100(1-100(1-)%)%的置信区间将包的置信区间将包含总体均值含总体均值；100100%不包含总不包含总体均值体均值 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布xx1x2第15页，共77页，编辑于2022年，星期日总体均值的区间估计总体均值的区间估计(已知已知.例例题题)n有一批电子零件，已知此批电子零件的电阻有一批电子零件，已知此批电子零件的电阻服从正态分布，且总体标准差为服从正态分布，且总体标准差为 0.35 0.35 欧姆。欧姆。现从中随机抽取了现从中随机抽取了 11 11 个电子零件，测得平
10、个电子零件，测得平均电阻为均电阻为 2.20 2.20 欧姆。欧姆。n试估计该批电子零件平均电阻的置信区间，试估计该批电子零件平均电阻的置信区间，置信水平为置信水平为9595。第16页，共77页，编辑于2022年，星期日总体均值的区间估计总体均值的区间估计(已知已知.例例题题)n有一批电子零件，已知此批电子零件的电阻有一批电子零件，已知此批电子零件的电阻服从正态分布，且总体标准差为服从正态分布，且总体标准差为 0.35 0.35 欧姆。欧姆。现从中随机抽取了现从中随机抽取了 11 11 个电子零件，测得平个电子零件，测得平均电阻为均电阻为 2.20 2.20 欧姆。欧姆。n解解:第17页，共7
11、7页，编辑于2022年，星期日总体均值的区间估计总体均值的区间估计(已知已知.例题例题)n在在 95%95%的置信水平下，平均电阻的置信区间为的置信水平下，平均电阻的置信区间为 1.9932 1.9932 2.4068 2.4068 欧姆欧姆 n虽然此批电子零件平均电阻的实际真实值可能包虽然此批电子零件平均电阻的实际真实值可能包含或者不包含在此置信区间中，但是以此方式构含或者不包含在此置信区间中，但是以此方式构造的置信区间有造的置信区间有 95%95%将包含总体参数的真值。将包含总体参数的真值。n一种不正确的解释：有一种不正确的解释：有 95%95%的概率此置信区间将包含总体参数的真值。的概率
12、此置信区间将包含总体参数的真值。(此区间此区间 要么要么 包含包含 要么要么 不包含不包含 总体参数的真值，一个特定的区间是否包含总体参数的真值，一个特定的区间是否包含真值是确定的，不会和概率联系在一起真值是确定的，不会和概率联系在一起)第18页，共77页，编辑于2022年，星期日总体均值、比例的区间估计总体均值、比例的区间估计总体均值总体均值总体均值总体均值/比例比例的区间估计的区间估计总体比例总体比例 已知已知 未知未知第19页，共77页，编辑于2022年，星期日n当总体标准差当总体标准差 未知时，可以用未知时，可以用样本标准差样本标准差 s s 来代替来代替 n这就增加了新的不确定性，因
13、为样本标准差这就增加了新的不确定性，因为样本标准差 s s 会随着样本的不同而不同会随着样本的不同而不同n所以此时我们用所以此时我们用 t t 分布分布，而不再使用标准正态，而不再使用标准正态分布分布总体均值的区间估计总体均值的区间估计(未知未知)第20页，共77页，编辑于2022年，星期日n假定条件假定条件n总体标准差总体标准差 未知未知n总体服从正态分布总体服从正态分布n如果总体不服从正态分布，则必须是大样本如果总体不服从正态分布，则必须是大样本n总体均值的置信区间为总体均值的置信区间为 总体均值的区间估计总体均值的区间估计(未知未知)第21页，共77页，编辑于2022年，星期日t 分布（
14、分布（t Distribution）nt 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常比分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常比正态分布平坦和分散。正态分布平坦和分散。nt t 分布依赖于称为自由度（分布依赖于称为自由度（degrees of freedomdegrees of freedom，简称，简称d.f.d.f.）的参数）的参数n这里，自由度是指样本均值计算之后，可以自由变化的观这里，自由度是指样本均值计算之后，可以自由变化的观测值的个数测值的个数d.f.=n-1第22页，共77页，编辑于2022年，星期日如果如果3 3个数的均值等于个数的均值等于 8.0 8.0，那么那么 x x3 3
15、 必然等于必然等于9 9 (即即,x x3 3 不能自由变化不能自由变化)自由度自由度（Degrees of Freedom）思路思路:自由度是指样本均值计算之后，可以自由变化的观测自由度是指样本均值计算之后，可以自由变化的观测 值的个数值的个数例例:假设假设3 3个数的均值等于个数的均值等于 8.0 8.0已知已知 x x1 1=7=7 x x2 2=8=8那么那么 x x3 3?这里这里,n=3,n=3,所以自由度所以自由度=n n-1=3 1=2-1=3 1=2（其中两个数可以是任何数，但是在均值确定的情况下第三个数就其中两个数可以是任何数，但是在均值确定的情况下第三个数就已经确定了，不
16、能再自由变化了。）已经确定了，不能再自由变化了。）第23页，共77页，编辑于2022年，星期日t 分布（分布（t Distribution）t0t (df=5)t (df=13)t 分布是对称的钟型分布，但是通分布是对称的钟型分布，但是通常比正态分布平坦和分散。常比正态分布平坦和分散。标准正态分布标准正态分布(当当 df=df=，t t分布分布)随着自由度的增大，随着自由度的增大，t t 分布逐渐趋于正态分布分布逐渐趋于正态分布第24页，共77页，编辑于2022年，星期日t 分布表分布表自由度自由度0.250.100.0511.0003.0786.31420.8171.8862.9202.92
17、030.7651.6382.353t t0 02.9202.920表中给出的是表中给出的是 t t 值，而不值，而不是概率。是概率。n=3 df=n-1=2 1-=0.90 /2=0.05/2=0.05第25页，共77页，编辑于2022年，星期日t 分布值分布值把把 t t 分布值与分布值与 z z 值比较：值比较：置信置信 t t t zt t t z 水平水平 (10(10 d.f.)d.f.)(20 d.f.)(20 d.f.)(30 d.f.)(30 d.f.)_ _ 0.80 1.372 1.325 1.310 1.28 0.90 1.812 1.725 1.697 1.645 0.
18、95 2.228 2.086 2.042 1.96 0.99 3.169 2.845 2.750 2.57注意：注意：随着自由度的增大，随着自由度的增大，t t 分布逐渐趋于正态分布分布逐渐趋于正态分布第26页，共77页，编辑于2022年，星期日总体均值的区间估计总体均值的区间估计(未知未知.例例题题)已知已知 n=25 n=25，x=50 x=50 且且 s=8 s=8，构造正态总体均值构造正态总体均值 的的9595置信区间。置信区间。nd.f.=n 1=24,所以所以置信区间为：置信区间为：即：即：46.69853.302第27页，共77页，编辑于2022年，星期日总体均值的区间估计总体均
19、值的区间估计（大样本）n由于随着样本容量的增大，由于随着样本容量的增大，t t 分布逐渐趋于正分布逐渐趋于正态分布，态分布，所以当所以当 n n 30 30时，可以用标准正态分时，可以用标准正态分布的布的 z z 值来代替值来代替 t t 值值:大样本大样本第28页，共77页，编辑于2022年，星期日总体均值、比例的区间估计总体均值、比例的区间估计总体均值总体均值 未知未知总体均值总体均值/比例比例的区间估计的区间估计总体比例总体比例 已知已知第29页，共77页，编辑于2022年，星期日总体比例的区间估计总体比例的区间估计n在大样本情形下，样本比例在大样本情形下，样本比例 p p 近似服从正态
20、分近似服从正态分布，且标准差布，且标准差n我们用样本比例我们用样本比例 p p 来代替来代替 p p ：第30页，共77页，编辑于2022年，星期日总体比例的区间估计总体比例的区间估计n总体比例的置信区间为总体比例的置信区间为n其中其中 np p 是样本比例是样本比例nn n 是样本容量是样本容量第31页，共77页，编辑于2022年，星期日总体比例的区间估计总体比例的区间估计(例题例题)n随机抽取了随机抽取了100 100 个人，其中个人，其中 25 25 人是惯人是惯用左手的用左手的 n试以试以 95%95%的置信度估计惯用左手的比例的置信度估计惯用左手的比例的置信区间的置信区间第32页，共
21、77页，编辑于2022年，星期日总体比例的区间估计总体比例的区间估计(例题例题)n随机抽取了随机抽取了100 100 个人，其中个人，其中 25 25 人是惯用左人是惯用左手的，试以手的，试以 95%95%的置信度估计惯用左手的的置信度估计惯用左手的比例的置信区间比例的置信区间。1.1.2.2.3.3.第33页，共77页，编辑于2022年，星期日总体比例的区间估计总体比例的区间估计(例题例题)n在在 95%95%的置信水平下，惯用左手的比例的置的置信水平下，惯用左手的比例的置信区间为信区间为 16.51%16.51%33.49%33.49%.n虽然惯用左手的比例的实际真实值可能包含虽然惯用左手
22、的比例的实际真实值可能包含或者不包含在此置信区间中，但是以此方式或者不包含在此置信区间中，但是以此方式构造的置信区间有构造的置信区间有 95%95%将包含总体参数的真将包含总体参数的真值。值。第34页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(独立大样本独立大样本)n假定条件假定条件n两个两个总体都服从正态分布，总体都服从正态分布，1 1、2 2已知已知n若若不不是是正正态态分分布布,可可以以用用正正态态分分布布来来近近似似(n n1 1 3030和和n n2 2 30)30)n两个样本是独立的随机样本两个样本是独立的随机样本2.2.使用正态分布统计量使用
23、正态分布统计量 z z第35页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(独立大样本独立大样本)n 1 1、2 2已已知知时时，两两个个总总体体均均值值之之差差 1 1-2 2在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为n 1 1、2 2未知时，未知时，两个总体均值之差两个总体均值之差 1 1-2 2在在1-1-置置信水平下的置信区间为信水平下的置信区间为第36页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(独立大样本独立大样本)【例例】某某地地区区教教育育委委员员会会想想估估计计两两所所中中学学的的学学生生
24、高高考考时时的的英英语语平平均均分分数数之之差差，为为此此在在两两所所中中学学独独立立抽抽取取两两个个随随机机样样本本，有有关关数数据据如如右右表表 。建建立立两两所所中中学学高高考考英英语语平平均均分分数数之之差差95%95%的置信区间的置信区间 两个样本的有关数据 中学1中学2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2第37页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(独立大样本独立大样本)解解解解:两个总体均值之差在两个总体均值之差在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为两所中学高考英语平均分
25、数之差的置信区间为5.035.03分分10.9710.97分分第38页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(独立小样本独立小样本:1 1=2 2)n假定条件假定条件n两个两个总体都服从正态分布总体都服从正态分布n两个总体方差未知但相等：两个总体方差未知但相等：1 1=2 2n两个独立的小样本两个独立的小样本(n n1 1 3030和和n n2 2 30)30)2.2.总体方差的合并估计量总体方差的合并估计量n估计估计量量 x x1 1-x x2 2的抽样标准差的抽样标准差第39页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体均值之差的估计两个总体均值之
26、差的估计(独立小样本独立小样本:1 1=2 2)1.1.两个样本均值之差的标准化两个样本均值之差的标准化 两个总体均值之差两个总体均值之差 1 1-2 2在在1-1-置信水平下的置信区间置信水平下的置信区间为为第40页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(独立小样本独立小样本:1 1=2 2)【例例】为为估估计计两两种种方方法法组组装装产产品品所所需需时时间间的的差差异异，分分别别对对两两种种不不同同的的组组装装方方法法各各随随机机安安排排1212名名工工人人，每每个个工工人人组组装装一一件件产产品品所所需需的的时时间间（分分钟钟）下下如如表表。假假
27、定定两两种种方方法法组组装装产产品品的的时时间间服服从从正正态态分分布布，且且方方差差相相等等。试试以以95%95%的的置置信信水水平平建建立立两两种种方方法法组组装装产产品品所所需需平平均均时时间间差差值的置信区间值的置信区间.两个方法组装产品所需的时间 方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.52 2 2 21 1 1 1第41页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(独立小样本独立小样本
28、:1 1=2 2)解解:根据样本数据计算得根据样本数据计算得 合并估计量为：合并估计量为：两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.140.14分钟分钟7.267.26分钟分钟第42页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(独立小样本独立小样本:1 1 )n假定条件假定条件n两个两个总体都服从正态分布总体都服从正态分布n两个总体方差未知且不相等：两个总体方差未知且不相等：12n两个独立的小样本两个独立的小样本(n130和n230)第43页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体均值之差的估计两个总体
29、均值之差的估计(独立小样本独立小样本:1 1 )n当两个样本容量相等时，即当两个样本容量相等时，即n n1 1n n2 2n nn两两个个总总体体均均值值之之差差 1 1-2 2在在1-1-置置信信水水平平下下的的置信区间为置信区间为第44页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(独立小样本独立小样本:1 1 )n当当两两个个样样本本容容量量不不相相等等时时，两两个个总总体体均均值值之之差差 1 1-2 2在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为自由度自由度第45页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体均值之差的估计两个总体均值之
30、差的估计(独立小样本独立小样本:1 1 )【例例】沿沿用用前前例例。假假定定第第一一种种方方法法随随机机安安排排1212名名工工人人，第第二二种种方方法法随随机机安安排排名名工工人人，即即n n1 1=12=12，n n2 2=8=8，所所得得的的有有关关数数据据如如表表。假假定定两两种种方方法法组组装装产产品品的的时时间间服服从从正正态态分分布布，且且方方差差不不相相等等。以以95%95%的的置置信信水水平平建建立立两两种种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间。方法组装产品所需平均时间差值的置信区间。两个方法组装产品所需的时间 方法1方法228.336.027.631.730.137.22
31、2.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.22 2 2 21 1 1 1第46页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(独立小样本独立小样本:1 1 )解解:根据样本数据计算得根据样本数据计算得 自由度为：自由度为：两两种种方方法法组组装装产产品品所所需需平平均均时时间间之之差差的的置置信信区区间间为为0.1920.192分钟分钟9.0589.058分钟分钟第47页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(匹配大样本匹配大样本)n假定条件假定条件n
32、两个匹配的大样本两个匹配的大样本(n1 30和n2 30)n两个总体各观察值的配对差服从正态分布两个总体各观察值的配对差服从正态分布n两个总体均值之差两个总体均值之差d=1-2在在1-置信水平置信水平下的置信区间为下的置信区间为对应差值的均值对应差值的均值对应差值的标准差对应差值的标准差第48页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(匹配小样本匹配小样本)n假定条件假定条件n两个匹配的小样本两个匹配的小样本(n1 30和n2 30)n两个总体各观察值的配对差服从正态分布两个总体各观察值的配对差服从正态分布 n两两个个总总体体均均值值之之差差 d d=1
33、 1-2 2在在1-1-置置信信水水平平下下的置信区间为的置信区间为第49页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(匹配小样本匹配小样本)【例例】由由1010名名学学生生组组成成一一个个随随机机样样本本，让让他他们们分分别别采采用用A A和和B B两两套套试试卷卷进进行行测测试试，结结果果如如下下表表 。试试建建立立两两种种试试卷卷分分数数之之差差 d d=1 1-2 2 95%95%的的置信区间置信区间.10名学生两套试卷的得分 学生编号试卷A试卷B差值d17871726344193726111489845691741754951-276855138
34、76601698577810553916第50页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(例题分析例题分析)解解:根据样本数据计算得根据样本数据计算得两种试卷所产生的分数之差的置信区间为两种试卷所产生的分数之差的置信区间为6.336.33分分15.6715.67分分第51页，共77页，编辑于2022年，星期日n假定条件假定条件n两个两个总体服从二项分布总体服从二项分布n可以用正态分布来近似可以用正态分布来近似n两个样本是独立的两个样本是独立的n两个总体比例之差两个总体比例之差1-2在在1-置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为两个总体比例之差的区间
35、估计两个总体比例之差的区间估计第52页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体比例之差的估计两个总体比例之差的估计(例题分析例题分析)【例】在在某某个个电电视视节节目目的的收收视视率率调调查查中中，农农村村随随机机调调查查了了400400人人，有有32%32%的的人人收收看看了了该该节节目目；城城市市随随机机调调查查了了500500人人，有有45%45%的的人人收收看看了了该该节节目目。试试以以90%90%的的置置信信水水平平估估计计城城市市与与农农村村收收视视率率差差别别的的置置信信区区间间.1 1 1 1 2 2 2 2第53页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体比例之差的估计
36、两个总体比例之差的估计(例题分析例题分析)解解:已知已知 n n1 1=500=500，n n2 2=400=400，p p1 1=45%=45%，p p2 2=32%=32%，1-1-=95%=95%，z z/2/2=1.96=1.96 1 1-2 2置信度为置信度为95%95%的置信区间为的置信区间为城市与农村收视率差值的置信区间为城市与农村收视率差值的置信区间为6.68%19.32%6.68%19.32%第54页，共77页，编辑于2022年，星期日总体方差的区间估计总体方差的区间估计估计一个总体的方差或标准差估计一个总体的方差或标准差假设总体服从正态分布假设总体服从正态分布总体方差总体方
37、差 2 2 的点估计量为的点估计量为 s s2 2,且且 总体方差在总体方差在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为第55页，共77页，编辑于2022年，星期日总体方差的区间估计总体方差的区间估计自由度为自由度为n n-1-1的的 1 1 总体方差总体方差1-1-的置信区间的置信区间 第56页，共77页，编辑于2022年，星期日总体方差的区间估计总体方差的区间估计(例题例题)例例：一一家家食食品品生生产产企企业业以以生生产产袋袋装装食食品品为为主主，现现从从某某天天生生产产的的一一批批食食品品中中随随机机抽抽取取了了2525袋袋，测测得得每每袋袋重重量量如如下下表表所所示示。已已
38、知知产产品品重重量量的的分分布布服服从从正正态态分分布布。以以95%95%的的置置信信水水平平建建立立该该种种食食品品重重量量方差和标准差的置信区间。方差和标准差的置信区间。25袋食品的重量（单位：g）112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3第57页，共77页，编辑于2022年，星期日总体方差的区间估计总体方差的区间估计(例题例题)解解:已知已知n n2525，1-1-95%,95%,根
39、据样本数据计算得根据样本数据计算得 s s2 2=93.21=93.21 2 2置信度为置信度为95%95%的置信区间为的置信区间为 该企业生产的食品总体重量方差的置信区间为该企业生产的食品总体重量方差的置信区间为56.83g180.39g，标准差的置信区间为标准差的置信区间为7.54g13.43g第58页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体方差比的区间估计两个总体方差比的区间估计n比较两个总体的方差比比较两个总体的方差比2.2.用两个样本的方差比来判断用两个样本的方差比来判断n如果如果S S1 12 2/S S2 22 2接近于接近于1 1,说明两个总体方差很接近说明两个总体方差很接
40、近n如果如果S S1 12 2/S S2 22 2远离远离1 1,说明两个总体方差之间存在差异说明两个总体方差之间存在差异3.3.总体方差比在总体方差比在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为第59页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体方差比的区间估计两个总体方差比的区间估计(图示图示)F F F FF F F F F F F F1-1-1-1-总体方差比总体方差比总体方差比1-1-1-的置信区间的置信区间的置信区间方差比置信区间示意图方差比置信区间示意图方差比置信区间示意图方差比置信区间示意图第60页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体方差比的区间估计两个总体方
41、差比的区间估计(例题分析例题分析)【例例】为为了了研研究究男男女女学学生生在在生生活活费费支支出出(元元)上上的的差差异异，在在某某大大学学各各随随机机抽抽取取2525名名男男学学生生和和2525名名女女学学生生，得到下面的结果：得到下面的结果：男学生：男学生：女学生：女学生：试试以以90%90%置置信信水水平平估估计计男男女女学学生生生生活活费费支支出出方方差比的置信区间。差比的置信区间。第61页，共77页，编辑于2022年，星期日两个总体方差比的区间估计两个总体方差比的区间估计(例题分析例题分析)解解:根根据据自自由由度度 n n1 1=25-1=24=25-1=24，n n2 2=25-
42、1=24=25-1=24，查查得得 F F1-1-/2/2(24)=1.98(24)=1.98，F F/2/2(24)=1/1.98=0.505(24)=1/1.98=0.505 1 12 2/2 22 2置信度为置信度为90%90%的置信区间为的置信区间为男男女女学学生生生生活活费费支支出出方方差差比比的的置置信信区区间间为为0.471.84 0.471.84 第62页，共77页，编辑于2022年，星期日5.45.4 样本容量的确定样本容量的确定5.4.1 5.4.1 估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定5.4.2 5.4.2 估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样
43、本容量的确定 5.4.3 5.4.3 估计两个总体均值之差时估计两个总体均值之差时 样本容量的确定样本容量的确定5.4.4 5.4.4 估计两个总体比例之差时估计两个总体比例之差时 样本容量的确定样本容量的确定 第63页，共77页，编辑于2022年，星期日估计总体均值时样本容量估计总体均值时样本容量n n为为2.2.样本容量样本容量n n与总体方差与总体方差 2 2、允许误差、允许误差E E、可靠性、可靠性系数系数Z Z或或t t之间的关系为之间的关系为n与总体方差成正比与总体方差成正比n与允许误差成反比与允许误差成反比n与可靠性系数成正比与可靠性系数成正比估计总体均值时样本容量的确定估计总体
44、均值时样本容量的确定 其中：其中：其中：其中：第64页，共77页，编辑于2022年，星期日估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定n当确定样本容量时，如果当确定样本容量时，如果 未知，可以未知，可以n用预期的值（至少必须大于真实的用预期的值（至少必须大于真实的 ）代替）代替 n用试验调查的方法，选取一个初始样本，以该样用试验调查的方法，选取一个初始样本，以该样本的样本标准差本的样本标准差 s s 代替代替 第65页，共77页，编辑于2022年，星期日估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析例题分析)【例例】拥拥有有工工商商管管理理学学士士学学位位的的
45、大大学学毕毕业业生生年年薪薪的的标标准准差差大大约约为为20002000元元，假假定定想想要要估估计计年年薪薪95%95%的的置置信信区区间间，希希望望允允许许误误差差为为400400元元，应应抽抽取取多多大大的的样本容量？样本容量？第66页，共77页，编辑于2022年，星期日估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析例题分析)解解:已已 知知 =2000=2000，E=400,E=400,1-1-=95%=95%，z z/2/2=1.96=1.96 应抽取的样本容量为应抽取的样本容量为即应抽取即应抽取9797人作为样本人作为样本 第67页，共77页，编辑于2022年
46、，星期日根据比例区间估计公式可得样本容量根据比例区间估计公式可得样本容量n n为为估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定 n E E的取值一般小于的取值一般小于0.10.1其中：其中：其中：其中：第68页，共77页，编辑于2022年，星期日估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定n当确定样本容量时，如果当确定样本容量时，如果 未知，可以未知，可以n用试验调查的方法，选取一个初始样本，以该用试验调查的方法，选取一个初始样本，以该样本的样本比例样本的样本比例 p p 代替代替 n当当 值无法知道时，通常取值无法知道时，通常取 0.5 0.5第69页，共77页，编辑
47、于2022年，星期日估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定 (例题分析例题分析)【例例】根根据据以以往往的的生生产产统统计计，某某种种产产品品的的合合格格率率约约为为90%90%，现现要要求求允允许许误误差差为为5%5%，在在求求95%95%的的置置信信区区间间时时，应应抽抽取取多多少少个个产产品品作为样本？作为样本？解解:已已 知知=90%=90%，=0.05=0.05，z z/2/2=1.96=1.96，E E=5%=5%应抽取的样本容量应抽取的样本容量为为 应抽取应抽取139139个产品作为样本个产品作为样本第70页，共77页，编辑于2022年，星期日1.1.设设n n
48、1 1和和n n2 2为来自两个总体的样本，并假定为来自两个总体的样本，并假定n n1 1=n n2 22.2.根据均值之差的区间估计公式可得两个样本的根据均值之差的区间估计公式可得两个样本的容量容量n n为为估计两个总体均值之差时估计两个总体均值之差时样本容量的确定样本容量的确定 其中：其中：第71页，共77页，编辑于2022年，星期日估计两个总体均值之差时样本容估计两个总体均值之差时样本容量的确定量的确定(例题分析例题分析)【例例】一一所所中中学学的的教教务务处处想想要要估估计计试试验验班班和和普普通通班班考考试试成成绩绩平平均均分分数数差差值值的的置置信信区区间间。要要求求置置信信水水平
49、平为为95%95%，预预先先估估计计两两个个班班考考试试分分数数的的方方差差分分别别为为：试试验验班班 1 12 2=90=90，普普通通班班 2 22 2=120=120。如如果果要要求求估估计计的的误误差差范范围围(允允许许误误差差)不不超超过过5 5分分，在在两两个个班班应应分分别别抽抽取取多多少少名名学生进行调查？学生进行调查？第72页，共77页，编辑于2022年，星期日估计两个总体均值之差时样本容估计两个总体均值之差时样本容量的确定量的确定(例题分析例题分析)解解:已已知知 1 12 2=90=90，2 22 2=120=120，E=5,E=5,1-1-=95%=95%，z z/2/
50、2=1.96=1.96即应抽取即应抽取3333人作为样本人作为样本 第73页，共77页，编辑于2022年，星期日1.1.设设n n1 1和和n n2 2为来自两个总体的样本，并假定为来自两个总体的样本，并假定n n1 1=n=n2 22.2.根据比率之差的区间估计公式可得两个样本根据比率之差的区间估计公式可得两个样本的容量的容量n n为为估计两个总体比例之差时估计两个总体比例之差时样本容量的确定样本容量的确定 其中：其中：其中：其中：第74页，共77页，编辑于2022年，星期日估计两个总体比例之差时样本估计两个总体比例之差时样本容量的确定容量的确定(例题分析例题分析)【例例】一一家家瓶瓶装装饮