《A第7章 参数估计(精品).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《A第7章 参数估计(精品).ppt（31页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第七章第七章 参数估计参数估计n点估计(矩估计、最大似然估计)n估计量的评选标准 n区间估计n正态总体均值与方差的区间估计.1.1 点估计点估计一、点估计的概念一、点估计的概念 定义定义 设X1，Xn是总体X的一个样本，其分布函数为F(x;),其中F的形式已知，但参数未知,为参数空间,若统计量g(X1，Xn)可作为 的一个估计,则称其为的一个估计估计量量，记为注：注：F(x;)也可用分布律或密度函数代替.若x1，xn是样本的一个观测值。由于g(x1，xn)是实数域上的一个点，现用它来估计，故称这种估计为点估计点估计。点估计的经典方法是矩估计法矩估计法与最大似然估最大似然估计法计法。二、矩估计法
2、二、矩估计法 关键点关键点：用样本矩来估计总体同阶矩用样本矩来估计总体同阶矩，用样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续用样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计函数的估计，即：(1)根据矩与未知参数之间的关系，将未知参数表示成总体矩 的函数（解方程）；(2)然后将其中的 用相应的样本矩 来代替。例例1：设X1，Xk为取自总体B(n,p),的样本，其中n已知，0p1未知，求p的矩估计。例：例：设X1，Xn为取自总体(a,b)的样本 试求未知参数a,b 的矩估计。例例设总体XN(,2)，X1，Xn为样本，求未知参数和 2的矩估计。EX：设X1，Xn为取自参数为 的指数分布总体的样本，求 的
3、矩估计。三、最大似然估计法三、最大似然估计法1、最大似然思想、最大似然思想 有两个射手，一人的命中率为0.9,另一人的命中率为0.1,现在他们中的一个向目标射击了一发，结果命中了，估计是谁射击的？一般说，事件A发生的概率与参数有关，取值不同，则P(A)也不同。因而应记事件A发生的概率为P(A|).若A发生了，则认为此时的值应是在中使P(A|)达到最大的那一个。这就是最大似最大似然思想。然思想。(1)设总体设总体X为离散型随机变量，它的分布律为为离散型随机变量，它的分布律为现有样本观察值现有样本观察值x1,x2,xn,其中其中xk取值于取值于ak,k=1,2问：问：根据最大似然思想，如何用根据最
4、大似然思想，如何用x1,x2,xn估计估计?(2)设总体设总体X为连续型随机变量，概率密度为连续型随机变量，概率密度f(x;)现有样本观察值现有样本观察值x1,x2,xn,问：问：根据最大似然思想，如何用根据最大似然思想，如何用x1,x2,xn估计估计?2、似然函数与最大似然估计、似然函数与最大似然估计为该总体的为该总体的为该总体的为该总体的似然函数似然函数。对离散型总体有类似定义。对离散型总体有类似定义,只需将密度函数只需将密度函数f(x,)改为分布律改为分布律P(x,)即可即可定义：若有定义：若有使得使得则则称称 为为 的最大似然估计，记为的最大似然估计，记为 。3、求最大似然估计的步骤、
5、求最大似然估计的步骤(1)写出似然函数写出似然函数(2)写出对数似然函写出对数似然函数数(3)列对数似然方程列对数似然方程若该方程有解，则其解就是注注1：若概率函数中含有多个未知参数，则需若概率函数中含有多个未知参数，则需求解方程组求解方程组例例4 设X1，Xn为取自总体B(1,p),的样本，0p0未知，求参数 的最大似然估计。注注2：在某些参数估计问题中，不能通过似然在某些参数估计问题中，不能通过似然方程求导法得到最大似然估计，此时需要按最方程求导法得到最大似然估计，此时需要按最大似然的思想确定最大似然估计。大似然的思想确定最大似然估计。一、无偏性一、无偏性 设总体X的均值为 方差为 ,易见
6、 7.3 7.3 估计量的评选标准估计量的评选标准例例1 1 试证明试证明:样本样本k阶矩阶矩 是总体是总体k阶矩阶矩 的的 无偏估计。无偏估计。例例3 3 设设 是总体是总体X X的一个样本，总体的一个样本，总体X X的期的期望为望为 E(X)=E(X)=u,求证求证 是是总体期望总体期望u 的的无偏估计量。无偏估计量。例例2 设设 试考察试考察 的矩估计的矩估计和最大似然估计的无偏性。和最大似然估计的无偏性。二、有效性二、有效性例例4 设X1，Xn为取自总体X的样本，试证：当n2时，比 这些估计量更有效。三、相合性（三、相合性（也称为一致性）一致性）例例5 设设 m为已知参数，为已知参数，
7、p为未知为未知参数，参数，0p1，(1)求求p的的最最大似然估计大似然估计;(2)讨论所求估计量的讨论所求估计量的相合相合性。性。7.4 7.4 区间估计区间估计 定义：定义：设总体X的分布函数F(x；)含有未知参数，对于给定值（0 1),若由样本X1,Xn确定的两个统计量则称区间 为的置信水平置信水平为1的置信置信区间区间。注：F(x;)也可换成概率密度或分布律。使置信区间的意义n置信区间不同于一般的区间，它是随机区间，样本有一组观测值，就有一个具体的置信区间。n置信区间 的意义：反复多次抽样，得到众多的区间，在这些区间中有的包含参数真值，有的不包含，当置信度为1时，包含真值的比例大约为10
8、0(1)%。解：解：若以表示标准正态分布的上分位点，若以表示标准正态分布的上分位点，则则/2/21-(1-b)1-因此，的置信度为1的置信区间为注：注：的1置性区间不唯一。都是的1置信区间。但=1/2时区间长最短，我们总是希望求得这样的置信区间。一般寻求未知参数一般寻求未知参数的置信区间的具体做法如下的置信区间的具体做法如下:(1)寻求一个样本X1,X2,Xn的函数W=W(X1,X2,Xn,),它包含待估参数 (注意，W不是统计量)，并且W的分布已知;(2)对于给定的置信水平1,定出两个常数a,b，使 P(a W(X1,X2,Xn,)b)1,通常可根据W的分布,查表确定a,b的值；(3)由a
9、W(X1,X2,Xn,)b得到等价的不等式 则就是的一个置信水平为1的置信区间。7.7.正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计一、单个总体一、单个总体 的情况的情况 、均值均值 的的置信区间置信区间当已知时，由上节的例子知：的置信度为1的置信区间为n例：已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布 ，先测得5炉铁水含碳量分别为：n4.28 4.40 4.42 4.35 4.37（%）n试求总体均值的置信区间n解：当当 2未知时，因此的1置信区间为1-即n例：已知某种油漆的干燥时间服从正态分布 ，随机抽取9个样品，测得干燥时间（小时）分别为：n6.0 5.7 5.8 6.5
10、 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0n试求总体均值的置信区间n解：考虑未知的情况，、方差方差 2的的置信区间置信区间因此2的置信度为1的置信区间为二、两个总体二、两个总体 的情况的情况 、均值差均值差 1 2的的置信区间置信区间()()可解得1-2 的1置信区间为2 2、方差比方差比 的的置信区间置信区间考虑 1，2未知的情况，7.7 7.7 单侧置信区间单侧置信区间 定义：定义：设总体X的分布函数F(x；)含有未知参数，对于给定值（0 1),若由样本X1,Xn确定的统计量则称区间 为的置信水平为1的单侧置信区间置信区间,并称 为置信下限置信下限;使得 同样,若统计量 使得则称区间 为的置信水平为1的单侧置信区间置信区间,并称 为置信上限置信上限。对于给定的置信水平1,有关正态总体的均值和方差的单侧置信区间,有与7.5节中双侧置信区间类似的结果。其它更多结果参见其它更多结果参见P205表表7.1。本章小结本章小结