高中数学必修四2.4平面向量的数量积小结导学案.docx-淘文阁

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1、高中数学必修四2.4平面向量的数量积小结导学案中学数学必修四2.4.1平面对量的数量积的物理背景及其含义导学案 2.4平面对量的数量积2.4.1平面对量的数量积的物理背景及其含义编审：周彦魏国庆【学习目标】1.驾驭平面对量的数量积及其几何意义；2.驾驭平面对量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面对量的数量积可以处理垂直的问题；【自学新知】学问回顾：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角.说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；新知梳理：1平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则叫与的数量积，记作，即有=，（

2、）.并规定向量与任何向量的数量积为. 思索感悟：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？ 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区分？（1）两个向量的数量积是一个，不是向量，符号由的符号所确定.（2）向量的数量积写成；符号“”既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若，且，则b=0；但是在数量积中，若，且=0，不能推出=.因cos有可能为0. 2“投影”的概念：作图：定义：|cos叫做向量在方向上的投影. 思索感悟：投影不是向量，是一个数量。当为锐角时投影为值；当为钝角时投影为值，当为直角时投影为；当=0时投影为|；当=180时投影为| 3向量的数量

4、0 4.已知，则向量在向量方向上的投影是_，向量在向量方向上的投影是_。【合作探究】典例精析：例1证明：变式1已知|=6，|=4，与的夹角为60o，求：（1）(+2)(-3).（2）|+|与|-|. 例2已知|=12，|=9，求与的夹角。变式2已知|=3，|=4，且与不共线，k为何值时，向量+k与-k相互垂直. 【课堂小结】【当堂达标】1下列命题中：若，且=，则=；若=，则34;()=(),对随意向量，都成立；22=()2；正确命题的个数为_ 2若|2sin15，|4cos375、，夹角为30，则为（）ABCD 3若|=|=|,则与+的夹角为（）A30B60C150D120 4.已知、

5、均为单位向量,它们的夹角为60,那么|+3|=（）ABCD4 【课时作业】1.已知|=1，|=，且(-)与垂直，则与的夹角是（）A.60B.30C.135D.2.若向量的夹角为，则向量的模为 3向量、满意（）（2+）=4，且|=2，|=4，则与夹角的余弦值等于4、在RtABC中，C90，AB5，AC4，求ABBC. 5已知|=8，|=10，|+|=16，求与的夹角. 6*.向量相互垂直，向量相互垂直，求与夹角。 7*.已知|=3，|=3，与夹角为，求使向量的夹角为锐角时，的取值范围。 8(2022全国卷)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|10，则|b|_. 【延长探究】已知平面上

6、三个向量的模都是1，他们相互之间的夹角均是，（1）求证：（）若，求得取值范围。中学数学必修四2.3平面对量基本定理及坐标表示小结导学案 2.3平面对量基本定理及坐标表示小结【学习目标】1.了解平面对量的基本定理及其意义；驾驭平面对量的正交分解及其坐标表示2会用坐标表示平面对量的线性运算；会用坐标表示的平面对量共线的条件. 【学问重温】1平面对量基本定理假如，是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的随意向量，有且只有一对实数，使_.向量，叫做表示这一平面内全部向量的一组基底. 2平面对量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴_的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且

7、只有一对实数x，y，使得_，则有序数对(x、y)叫做向量的坐标，记作_，其中x，y分别叫做在x轴、y轴上的坐标，(x，y)叫做向量的坐标表示。相等的向量其_相同，_相同的向量是相等向量 3平面对量的坐标运算(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_， 2)已知(x1，y1)，=(x2，y2)，则=_，=_，_；(0)_. (3)(x1，y1)，=(x2，y2)，_. 思索感悟1基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，故基底的选取是不唯一。平面内随意向量都可被这个平面的一组基底，线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的 2向量坐标与点的坐标区分在平面直角坐标系中

8、，以原点为起点的向量，此时点A的坐标与的坐标统一为(x，y)，但应留意其表示形式的区分，如点A(x，y)，向量(x，y) 当平面对量平行移动到时，向量不变即(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了改变对点练习：1已知向量=(1，2)，=(3,4)，则12等于()A(2,3)B(2，3)C(2,3)D(2，3) 2已知向量=(1,1)，=(2，x)，若与42平行，则实数x的值是()A2B0C1D2 3已知向量=(1,2)，(1,0)，(3,4)若为实数，()，则()A.14B.12C1D2 4下列各组向量中，能作为基底的是()=(1,2)，(2,4)=(1,1)，(1，1)=(2，3)

9、，(3,2)=(5,6)，=(7,8)ABCD 【自学探究】考点一平面对量基本定理例1、如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知，试用，表示，. 规律总结：应用平面对量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算解题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决变式1：如图，在ABC中，13，P是BN上的一点，若m211，则实数m的值为_ 考点二平面对量的坐标运算例2、已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，设，且3，2.(1)求33；(2)求满意mn的实数m，n；(3)求M

10、，N的坐标及向量的坐标规律总结：若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要留意方程思想的运用及运算法则的正确运用变式2在ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则()A(2，4)B(3，5)C(3,5)D(2,4) 考点三平面对量共线的坐标表示例3、平面内给定三个向量(3,2)，=(1,2)，(4,1)回答下列问题：(1)若(k)(2)，求实数k；(2)设(x，y)满意()()且|1，求.规律总结：用坐标来表示向量平行，事实上是一种解析几何(或数形结合)的思想，其实质是用代数(主要是方程)计算来代替几何证明，这样就把抽象的逻辑思维转化为了计算变式3、(1)

11、(2022陕西卷)已知向量(1，m)，=(m,2)，若，则实数m等于()A2B.2C2或2D0 (2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_ 【课堂小结】1平面对量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解2向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理3在向量的运算中要留意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用4要留意区分点的坐标与向量的坐标有可能。【当堂达标】1(2022北京卷)已知向量(2,4)，=(1,1)，则2()A(5,7

12、)B(5,9)C(3,7)D(3,9) 2(2022揭阳二模)已知点A(1,5)和向量(2,3)，若3，则点B的坐标为()A(7,4)B(7,14)C(5,4)D(5,14) 3(2022许昌模拟)在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则等于()A(2,7)B(6,21)C(2，7)D(6，21) 4.已知两点在直线AB上，求一点P是。【课时作业】1、若向量（x+3，x23x4）与相等，已知A（1，2）和B（3，2），则x的值为()A、1B、1或4C、4D、1或4 2、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（5，7），（3，5），（3，4），则第四个顶点的

13、坐标不行能是（）A、（1，8）B，（5，2）C、（1l，6）D、（5，2） 3、己知P1(2,1)、P2(0,5)且点P在P1P2的延长线上,则P点坐标为()A、(2,11)B、(C、(,3)D、(2,7) 4、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1），B（1,3），若点C满意，其中、R，且1，则点C的轨迹方程为（）A、32110B、（x-1）2+（y-2）2=5C、20D、250 5、已知点A（1，5），若向量与向量（2，3）同向，且3，则点B的坐标为_ 6、平面上三个点，分别为A（2，5），B（3，4），C（1，3），D为线段BC的中点，则向量的坐标为_ 7、已知点A（1，2）

14、，B（2，8）及，求点C、D和的坐标。 8、已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A（2，1），一组对边AB、CD的中点分别为M（3，0）、N（1，2），求平行四边形的各个顶点坐标。【延长探究】如图，中AD是三角形BC边上的中线且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值。中学数学必修四2.3.1平面对量基本定理导学案 2.3平面对量的基本定理及坐标表示2.3.1平面对量基本定理【学习目标】1.了解平面对量基本定理；2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步驾驭应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在详细问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【新知自学

15、】学问回顾：1、实数与向量的积：实数与向量的积是一个，记作；规定：（1）|=（2）0时，与方向；0时，与方向；=0时，=2运算定律：结合律：()=；安排律：(+)=，(+)= 3.向量共线定理：向量与非零向量共线，则有且只有一个非零实数，使=. 新知梳理：1给定平面内两个向量，请你作出向量3+2，-2， 2.由上，同一平面内的任一向量是否都可以用形如1+2的向量表示？平面对量基本定理：假如，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使不共线的向量，叫做这一平面内表示全部向量的一组基底。思索感悟：(1)基底不惟一，关键是；不同基底下，一个向量可有不同形式表示；(

16、2)基底给定时，分解形式惟一.1，2是被，唯一确定的数. 3.向量的夹角:平面中的随意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？已知两个非零向量、，作，则AOB，叫向量、的夹角。当=，、同向；当=，、反向；统称为向量平行，记作假如=，与垂直，记作。对点练习：1.设、是同一平面内的两个向量，则有()A.、肯定平行B.、的模相等C.同一平面内的任一向量都有+(、R)D.若、不共线，则同一平面内的任一向量都有=+u(、uR) 2.已知向量-2，2+，其中、不共线，则+与6-2的关系（）A.不共线B.共线C.相等D.无法确定 3.已知10，20，、是一组基底，且1+2，则与，

17、与(填共线或不共线). 【合作探究】典例精析：例1：已知向量，求作向量2.5+3 变式1：已知向量、(如图),求作向量：（1）+2.?（2）-+3 例2:如图，不共线，且，用，来表示变式2：已知G为ABC的重心,设=,=,试用、表示向量. 【课堂小结】学问、方法、思想【当堂达标】1.设是已知的平面对量且,关于向量的分解,其中所列述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,有如下四个命题：给定向量,总存在向量,使;给定向量和,总存在实数和,使;给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;上述命题中的则真命题的个数是()（）A1B2C3D 2.如图，

18、正六边形ABCDEF中，=ABCD 3.在中，为的中点，则_.（用表示）【课时作业】1、若、不共线，且+=（、），则（）A=,=B=0,=0C=0,=D=,=02在ABC中，AD14AB，DEBC，且DE与AC相交于点E，M是BC的中点，AM与DE相交于点N，若ANxAByAC(x，yR)，则xy等于()A1B.12C.14D.18 3在如图所示的平行四边形ABCD中，ABa，ADb，AN3NC，M为BC的中点，则MN_.(用a，b表示) 4.如图ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，和 5.设与是两个不共线向量,=3+4,=-2+5,若实数、满意+=5-,求、的值. 6如图，在

19、ABC中，AN13NC，P是BN上一点，若APmAB211AC，求实数m的值 7.如图所示，P是ABC内一点，且满意条件AP2BP3CP0，设Q为CP延长线与AB的交点，令CPp，用p表示CQ. 【延长探究】已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是随意一点，求证：+=4 中学数学必修四其次章平面对量章末小结导学案其次章平面对量章末小结【本章学问体系】【题型归纳】专题一、平面对量的概念及运算包含向量的有关概念、加法、减法、数乘。向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算。利用向量证明三点共线时，应留意向量共线与三点共线的区分与联系，当两向量共线且有公共点时，才能

20、得出三点共线1、1.ABACBCBA化简后等于()A3ABB.ABC.BAD.CA2、在平行四边形ABCD中，OAa，OBb，OCc，ODd，则下列运算正确的是()Aabcd0Babcd0Cabcd0Dabcd03、已知圆O的半径为3，直径AB上一点D使AB3AD，E、F为另始终径的两个端点，则DEDF()A3B4C8D64、如图，在正方形ABCD中，设ABa，ADb，BDc，则在以a，b为基底时，AC可表示为_，在以a，c为基底时，AC可表示为_ 5、下列说法正确的是()A两个单位向量的数量积为1B若abac，且a0，则bcCABOAOBD若bc，则(ac)bab 专题二、平面对量的坐标表示

21、及坐标运算向量的坐标表示及运算强化了向量的代数意义。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等，则其坐标相同这一原则。 6、已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|等于()A1B.2C2D4 7、设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则d()A(2,6)B(2,6)C(2，6)D(2，6) 8、已知a(1,1)，b(1,0)，c满意ac0，且|a|c|，bc0，则c_. 专题三、平面对量的基本定理平面对量的基本定理解决了全部向量之间的相互关系，为我们探讨向量供

22、应了依据。9、已知AD、BE分别为ABC的边BC、AC上的中线，设ADa，BEb，则BC等于()A.43a23bB.23a43bC.23a43bD23a43b 10、在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同始终线上的等价条件为存在唯一的实数，使得OCOA(1)OB成立，此时称实数为“向量OC关于OA和OB的终点共线分解系数”若已知P1(3,1)，P2(1,3)，且向量OP3与向量a(1,1)垂直，则“向量OP3关于OP1和OP2的终点共线分解系数”为()A3B3C1D1 11、已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满意2ACCB0，(1)用OA，OB表示OC；

23、(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形解： 12、如图，平行四边形ABCD中，ABa，ADb，H、M是AD、DC的中点，BC上点F使BF13BC.(1)以a、b为基底表示向量AM与HF；(2)若|a|3，|b|4，a与b的夹角为120，求AMHF. 专题四、平面对量的数量积求平面对量的数量积的方法有两个：一个是依据数量积的定义ab|a|b|cos，其中为向量a，b的夹角；另一个是依据坐标法，坐标法是a(，)，b(，)时，ab。利用数量积可以求长度，也可推断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算转为代数问题解决13、在直角坐标系xOy中，AB(2,1)，AC

24、(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值个数是()A1B2C3D4 14、A，B，C，D为平面上四个互异点，且满意(DBDC2DA)(ABAC)0，则ABC的形态是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形 15、已知|a|3，|b|4，|c|23，且abc0，则abbcca_. 16已知|a|1，|b|1，a与b的夹角为120，则向量2ab在向量ab方向上的投影为_ 17如图所示，在正方形ABCD中，已知|AB|2，若N为正方形内(含边界)随意一点，则ABAN的最大值是_ 18、设平面上向量a(cos，sin)(02)，b(12，32)，a与b不共线(1)证明向量a

25、b与ab垂直；(2)当两个向量3ab与a3b的模相等时，求角. 19、已知a(1,2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角专题五、平面对量的应用用向量的方法探讨代数问题与一些几何问题，往往能有一种简易的奇异效果，关键是建立几何与向量问题的联系，利用向量的运算。20、如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线BD上的一点，且BE：ED=2:3，连接CE并延长交AB与F，求AF：FB的值。 21、在平面直角坐标系中，A(1,1)、B(2,3)、C(s，t)、P(x，y)，ABC是等腰直角三角形，B为直角顶点(1)求点C(s，t)；(2)设点C(s，t)是第一象限的点，若APABmAC，mR，则m为何值时，点P在其次象限？第16页共16页第 16 页共 16 页第 16 页共 16 页第 16 页共 16 页第 16 页共 16 页第 16 页共 16 页第 16 页共 16 页第 16 页共 16 页第 16 页共 16 页第 16 页共 16 页第 16 页共 16 页

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