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1、高中数学必修四2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案2022人教A版中学数学必修4.1平面对量数量积的物理背景及其含义讲义 24.1平面对量数量积的物理背景及其含义预习课本P103105，思索并完成以下问题(1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？(2)向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？(3)向量数量积的性质有哪些？(4)向量数量积的运算律有哪些？新知初探1向量的数量积的定义(1)两个非零向量的数量积：已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为定义a与b的数量积(或内积)是数量|a|b|cos记法ab|a|b|cos(2)零向量与任一向量的数量
2、积：规定：零向量与任一向量的数量积均为0.点睛(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来确定(2)两个向量的数量积记作ab，千万不能写成ab的形式2向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：向量b在a的方向上的投影为|b|cos.向量a在b的方向上的投影为|a|cos.(2)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积点睛(1)b在a方向上的投影为|b|cos(是a与b的夹角)，也可以写成ab|a|.(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零3向量数量积的性质设a
3、与b都是非零向量，为a与b的夹角(1)abab0.(2)当a与b同向时，ab|a|b|，当a与b反向时，ab|a|b|.(3)aa|a|2或|a|aaa2.(4)cosab|a|b|.(5)|ab|a|b|.点睛对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们相互垂直4向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)(a)b(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(安排律)点睛(1)向量的数量积不满意消去律：若a，b，c均为非零向量，且acbc，但得不到ab.(2)(ab)ca(bc)，因为ab，bc是
4、数量积，是实数，不是向量，所以(ab)c与向量c共线，a(bc)与向量a共线，因此，(ab)ca(bc)在一般状况下不成立小试身手1推断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的数量积仍旧是向量()(2)若abbc，则肯定有ac.()(3)若a，b反向，则ab|a|b|.()(4)若ab0，则ab.()答案：(1)(2)(3)(4)2若|a|2，|b|12，a与b的夹角为60，则ab()A2B.12C1D.14答案：B3已知|a|10，|b|12，且(3a)15b36，则a与b的夹角为()A60B120C135D150答案：B4已知a，b的夹角为，|a|2，|b|3.(1)
5、若135，则ab_；(2)若ab，则ab_；(3)若ab，则ab_.答案：(1)32(2)6或6(3)0向量数量积的运算 典例(1)已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求：ab;(ab)(a2b) (2)如图，正三角形ABC的边长为2，c，a，b，求abbcca.解(1)由已知得ab|a|b|cos42cos1204.(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412.(2)|a|b|c|2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120，abbcca22cos12033.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中精确求出两向量的夹角是求数量积的
6、关键(2)依据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算 活学活用已知|a|3，|b|4，a与b的夹角为120，求：(1)ab；(2)a2b2；(3)(2ab)(a3b) 解：(1)ab|a|b|cos12034126.(2)a2b2|a|2|b|232427.(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos1203|b|22325341234260.与向量的模有关的问题 典例(1)(浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e212.若平面对量b满意be1be21，则|b|_.(2)已知向量a，b的夹角为45，且|a|1，|2ab|10，
7、则|b|_.解析(1)令e1与e2的夹角为，e1e2|e1|e2|coscos12.又0180，60.b(e1e2)0，b与e1，e2的夹角均为30，be1|b|e1|cos301，从而|b|1cos30233.(2)a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos4522|b|，|2ab|24422|b|b|210，|b|32.答案(1)233(2)32求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并敏捷应用a2|a|2，勿遗忘开方(2)aaa2|a|2或|a|a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化 活学活用已知向量a，b满意|a|b|5，且a与b的夹
8、角为60，求|ab|，|ab|，|2ab|.解：|ab|2(ab)2(ab)(ab)|a|2|b|22ab25252|a|b|cos60502551275，|ab|53.|ab|2(ab)2(ab)(ab)|a|2|b|22ab|a|2|b|22|a|b|cos6025，|ab|5.|2ab|2(2ab)(2ab)4|a|2|b|24ab4|a|2|b|24|a|b|cos60175，|2ab|57. 两个向量的夹角和垂直题点一：求两向量的夹角1(重庆高考)已知非零向量a，b满意|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为()A.3B.2C.23D.56解析：选Ca(2ab)，a(2ab)
9、0，2|a|2ab0，即2|a|2|a|b|cosa，b0.|b|4|a|，2|a|24|a|2cosa，b0，cosa，b12，a，b23.题点二：证明两向量垂直2已知向量a，b不共线，且|2ab|a2b|，求证：(ab)(ab)证明：|2ab|a2b|，(2ab)2(a2b)2.即4a24abb2a24ab4b2，a2b2.(ab)(ab)a2b20.又a与b不共线，ab0，ab0，(ab)(ab)题点三：利用夹角和垂直求参数3已知ab，|a|2，|b|3且向量3a2b与kab相互垂直，则k的值为()A32B.32C32D1解析：选B3a2b与kab相互垂直，(3a2b)(kab)0，3k
10、a2(2k3)ab2b20.ab，ab0，又|a|2，|b|3，12k180，k32. 求向量a与b夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算ab及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosab|a|b|，最终借助0，求出的值(2)在个别含有|a|，|b|与ab的等量关系式中，常利用消元思想计算cos的值 层级一学业水平达标1已知向量a，b满意|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A.6B.4C.3D.2解析：选C由题意，知ab|a|b|cos4cos2，又0，所以3.2已知|b|3，a在b方向上的投影为32，则ab等于()A3B.92C2D.12解析：选B设a与b的夹角为
11、.|a|cos32，ab|a|b|cos33292.3已知|a|b|1，a与b的夹角是90，c2a3b，dka4b，c与d垂直，则k的值为()A6B6C3D3解析：选Bcd0，(2a3b)(ka4b)0，2ka28ab3kab12b20，2k12，k6.4已知a，b满意|a|4，|b|3，夹角为60，则|ab|()A37B13C.37D.13解析：选C|ab|ab2a22abb242243cos603237.5在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD是()A矩形B菱形C直角梯形D等腰梯形解析：选B，即一组对边平行且相等，0，即对角线相互垂直，四边形ABCD为菱形6给出以下命题：若a0，则对任
12、一非零向量b都有ab0；若ab0，则a与b中至少有一个为0；a与b是两个单位向量，则a2b2.其中，正确命题的序号是_解析：上述三个命题中只有正确，因为|a|b|1，所以a2|a|21，b2|b|21，故a2b2.当非零向量a，b垂直时，有ab0，明显错误答案：7设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60，则(2e1e2)(3e12e2)_.解析：(2e1e2)(3e12e2)6e217e1e22e2267cos60292.答案：928若|a|1，|b|2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为_解析：ca，ca0，(ab)a0，即a2ab0.|a|1，|b|2，12cosa，b0，cosa，
13、b12.又0a，b180，a，b120.答案：1209已知e1与e2是两个夹角为60的单位向量，a2e1e2，b2e23e1，求a与b的夹角解：因为|e1|e2|1，所以e1e211cos6012，|a|2(2e1e2)2414e1e27，故|a|7，|b|2(2e23e1)24912e1e27，故|b|7，且ab6e212e22e1e2621272，所以cosa，bab|a|b|727712，所以a与b的夹角为120.10已知|a|2|b|2，且向量a在向量b方向上的投影为1.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b相互垂直？解：(1)|a|2|b|
14、2，|a|2，|b|1.又a在b方向上的投影为|a|cos1，ab|a|b|cos1.cos12，23.(2)(a2b)bab2b2123.(3)ab与a3b相互垂直，(ab)(a3b)a23abba3b24313740，47.层级二应试实力达标1已知|a|2，|b|1，且a与b的夹角为3，则向量ma4b的模为()A2B23C6D12解析：选B|m|2|a4b|2a28ab16b24821121612，所以|m|23.2在RtABC中，C90，AC4，则等于()A16B8C8D16解析：选D法一：因为cosAACAB，故|cosA|216，故选D.法二：在上的投影为|cosA|，故|cosA|
15、216，故选D. 3已知向量a，b满意|a|1，|b|2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|ab|()A1B.3C.5D3解析：选C由于投影相等，故有|a|cosa，b|b|cosa，b，因为|a|1，|b|2，所以cosa，b0，即ab，则|ab|a|2|b|22ab5.4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，E为BC的中点，则()A3B0C1D1解析：选CAB12AD()12|212|21222cos602212221.5设向量a，b，c满意abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_解析：法一：由abc0得cab.又(ab)c0，(
16、ab)(ab)0，即a2b2.则c2(ab)2a2b22aba2b22，|a|2|b|2|c|24.法二：如图，作a，b，则c.ab，ABBC，又ab，(ab)c，CDCA，所以ABC是等腰直角三角形，|a|1，|b|1，|c|2，|a|2|b|2|c|24.答案：46已知向量a，b的夹角为45，且|a|4，12ab(2a3b)12，则|b|_；b在a方向上的投影等于_解析：12ab(2a3b)a212ab3b212，即3|b|22|b|40，解得|b|2(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos452221.答案：217已知非零向量a，b，满意|a|1，(ab)(ab)12，且ab12.(1
17、)求向量a，b的夹角；(2)求|ab|.解：(1)(ab)(ab)12，a2b212，即|a|2|b|212.又|a|1，|b|22.ab12，|a|b|cos12，cos22，向量a，b的夹角为45.(2)|ab|2(ab)2|a|22|a|b|cos|b|212，|ab|22.8设两个向量e1，e2，满意|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为3，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解：由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得2te17e2e1te2|2te17e2|e1te2|0.即(2te17e2)(e1te2)0，化简即得2t215t70，解得7
18、t12.当夹角为时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角，设2te17e2(e1te2)，0，可得2t，7t，0，14，t142.所求实数t的取值范围是7，142142，12. 中学数学必修四2.4平面对量的数量积小结导学案 2.4平面对量的数量积小结【学习目标】1.理解数量积的含义驾驭数量积的坐标表达式，会进行平面对量数量积的运算2能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积推断两个平面对量的垂直关系3会用向量方法解决某些简洁的实际问题【新知自学】学问梳理：1向量的夹角已知两个_向量a和b，作OAa，OBb，则_称作向量a与向量b的夹角，记作a，b向量夹角a，b的范围是_
19、，且_b，a若a，b_，则a与b垂直，记作_2平面对量的数量积_叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab_.可见，ab是实数，可以等于正数、负数、零其中|a|cos(|b|cos)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影数量积的记号是ab，不能写成ab，也不能写成ab.向量数量积满意下列运算律：ab_(交换律)(ab)c_(安排律)(a)b_a(b)(数乘结合律)3平面对量数量积的性质：已知非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2)性质几何表示坐标表示定义ab|a|b|cosa，baba1b1a2b2模aa|a|2或|a|aa|a|a21a22 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB
20、(x2x1，y2y1)|AB| abab0a1b1a2b20夹角cosa，bab|a|b|(|a|b|0)cosa，ba1b1a2b2a21a22b21b22 |ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|a1b1a2b2|a21a22b21b22 对点练习：1已知下列各式：|a|2a2；ab|a|2ba；(ab)2a2b2；(ab)2a22abb2，其中正确的有()A1个B2个C3个D4个2设向量a(1,0)，b12，12，则下列结论中正确的是()A|a|b|Bab22CabDab与b垂直3已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，则(bc)a等于()A(26，78)B(28，42)C52D
21、784若向量a，b满意|a|1，|b|2且a与b的夹角为3，则|ab|_. 5已知|a|2，|b|4且a(ab)，则a与b的夹角是_ 【合作探究】典例精析：一、平面对量数量积的运算例1、（1)在等边ABC中，D为AB的中点，AB5，求ABBC，|CD|；(2)若a(3，4)，b(2,1)，求(a2b)(2a3b)和|a2b|. 变式练习：如图，在菱形ABCD中，若AC4，则CAAB_. 规律总结：向量数量积的运算与实数运算不同：(1)若a，b为实数，且ab0，则有a0或b0，但ab0却不能得出a0或b0.(2)若a，b，cR，且a0，则由abac可得bc,但由abac及a0却不能推出bc.(3
22、)若a，b，cR，则a(bc)(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向量的数量积是不满意结合律的(4)若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，等号当且仅当ab时成立二、两平面对量的夹角与垂直例2、已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)若ABa，BCb，求ABC的面积规律总结：1数量积大于0说明两向量的夹角为锐角或共线同向；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0说明两向量的夹角为钝角或反向2当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它
23、们的关系变式练习：已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，OA(2，m)，OB(n,1)，OC(5，1)，且OAOB，求实数m，n的值 三、求平面对量的模例3、（1）设单位向量m(x，y)，b(2，1)若mb，则|x2y|_.（2）已知向量acos3x2，sin3x2，bcosx2，sinx2，且x3，4.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值 规律总结：利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要驾驭此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2；(3)若a(x，y)，则|a|x2y2.变式练习：已知a与b是两个非
24、零向量，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角 四、平面对量的应用例4、已知向量OAa(cos，sin)，OBb(2cos，2sin)，OCc(0，d)(d0)，其中O为坐标原点，且02.(1)若a(ba)，求的值；(2)若OBOC|OC|1，OAOC|OC|32，求OAB的面积S. 变式练习：ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA1213.(1)求ABAC；(2)若cb1，求a的值 【课堂小结】 【当堂达标】1已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()Ax12Bx1Cx5Dx02在ABC中，A90，AB1，AC2.设点P，Q满意APAB，AQ(1
25、)AC，R.若BQCP2，则()A13B23C43D23在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为_4给出以下四个命题：对随意两个向量a，b都有|ab|a|b|；若a，b是两个不共线的向量，且AB1ab，ACa2b(1，2R)，则A，B，C共线121；若向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，则ab与ab的夹角为90；若向量a，b满意|a|3，|b|4，|ab|13，则a，b的夹角为60.以上命题中，错误命题的序号是_ 【课时作业】1.已知向量a和b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|ab|()A.13B.23C.
26、15D.42已知a，b是非零向量且满意(a2b)a，(b2a)b，则a与b的夹角是()A.6B.3C.23D.563.已知两个非零向量a与b，定义|ab|a|b|sin，其中为a与b的夹角若a(3,4)，b(0,2)，则|ab|的值为()A.8B.6C.8D.64.已知向量a(2,1)，b(1，m)，若a与b的夹角是锐角，则实数m的取值范围是_5.已知向量a，b满意|2ab|7，且ab，则|2ab|_.6.在ABC中，A90，且ABBC1，则边c的长为_7、已知a=(4,2)，（1）求与a垂直的单位向量；（2）与垂直的单位向量；（3）与平行的单位向量 8、已知点A（1，2），B（3，4），C（
27、5，0），求BAC的正弦值。【延长探究】已知平面上三点A，B，C，向量BC(2k,3)，AC(2,4)(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满意的条件；(2)若ABC为直角三角形，求k的值 高二数学平面对量数量积的物理背景及含义2.4.1平面对量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.驾驭平面对量的数量积及其几何意义；2.驾驭平面对量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面对量的数量积可以处理垂直的问题；4.驾驭向量垂直的条件.教学重点：平面对量的数量积定义教学难点：平面对量数量积的定义及运算律的理解和平面对量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零
28、向量与，作，则（）叫与的夹角.说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）留意在两向量的夹角定义，两向量必需是同起点的.范围0180（2）两向量共线的判定（3）练习1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且ab，则y=（C）A.6B.5C.7D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（B）?A.-3B.-1C.1D.3（4）力做的功：W=|F|s|cos，是F与s的夹角.二、讲解新课：1平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫与的数量积，记作ab，即有ab=|a|b|cos，（）
29、.并规定0向量与任何向量的数量积为0.探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区分？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所确定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c.但是ab
30、=bca=c如右图：ab=|a|b|cos=|b|OA|，bc=|b|c|cos=|b|OA|ab=bc但ac(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)明显，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.2“投影”的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.3向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向
31、量，1、abab=02、当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=|a|b|.特殊的aa=|a|2或|ab|a|b|cos=探究：平面对量数量积的运算律1交换律：ab=ba证：设a，b夹角为，则ab=|a|b|cos，ba=|b|a|cosab=ba2数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)证：若0，(a)b=|a|b|cos，(ab)=|a|b|cos，a(b)=|a|b|cos，若0，(a)b=|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos，(ab)=|a|b|cos，a(b)=|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos.3安排律：(a+b)c
32、=ac+bc在平面内取一点O，作=a，=b，=c，a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2|c|a+b|cos=|c|a|cos1+|c|b|cos2，c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc说明：（1）一般地，()（）（2），0（3）有如下常用性质：，（）（）三、讲解范例：例1证明：()例2已知|a|=12，|b|=9，求与的夹角。例3已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60o求：（1）(a+2b)(a-3b).（2）|a+b|与|a-b|.（利用）例4已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时
33、，向量a+kb与a-kb相互垂直.四、课堂练习：1P106面1、2、3题。2下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满意交换律B.向量的数量积满意安排律C.向量的数量积满意结合律D.ab是一个实数3|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（）A.平行B.垂直C.夹角为D.不平行也不垂直4已知|a|=8，|b|=10，|a+b|=16，求a与b的夹角.五、小结：1平面对量的数量积及其几何意义；2平面对量数量积的重要性质及运算律；3向量垂直的条件.六、作业：习案作业二十三。中学数学必修四2.4.2平面对量数量积的坐标表示、模、夹角导学案 2.4.2平面对量数量积的坐标表示、模、夹角【学
34、习目标】1.驾驭平面对量数量积运算规律；能利用数量积的性质解决有关问题；2.驾驭向量共线、垂直的几何推断，会证明两向量垂直，能解决一些简洁问题.【学问梳理】学问回顾：1两个向量的数量积的性质：设与为两个非零向量.(1)、=(2)、当与同向时，=，当与反向时，=特殊的：=_或，|，cos=_新知探究：已知非零向量，怎样用和的坐标表示？1、平面两向量数量积的坐标表示：=即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 2.平面内两点间的距离公式（1）设，则或.（2）假如表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定：设，则 4.两向量夹角的余弦（）c
35、os= 思索感悟:向量不能比较大小，也不能与数0比较大小，但能否有0（0）？ 对点练习：1.已知a=(3,4),b=(5,2),则ab等于()A.14B.7C.7D.8 2.已知a=(3,4),b=(5,2),c=(1,1),则(ab)c等于()A.14B.7C.(7,7)D.(7,7) 3.已知A(1,1),B(1,2),则|AB|等于()A.5B.C.1D.7 4.已知a=(3,4),b=(5,12),则a,b夹角的余弦为()A.6365B.65C.135D.13 【合作探究】典例精析：例1.已知向量，；（1）求，；（2）求的值；（3）求的值； 变式1：已知向量，；（1）求向量与的夹角；（
36、2）若向量与垂直，求的值； 例2.设=(5，7)，=(6，4)，求及、间的夹角的余弦值。 变式2：已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试推断ABC的形态，并给出证明. 【课堂小结】夹角为锐角（钝角） 【当堂达标】1已知向量(1，1)，(2，x)，若1，则x等于()A1B12C.12D12.已知a=(4,3),b=(5,6),则3|a|24ab=()A.23B.57C.63D.83 3.与a=(3,4)垂直的单位向量是()A.(45,35)B.(45,35)C.(45,35)或(45,35)D.(45,35)或(45,35) 4.已知|m|=6,n=(cos,sin),mn=9,则m,
37、n的夹角为()A.150B.120C.60D.30 【课时作业】1、已知A(1,1),B(1,2),C(3,12),则ABAC等于()A.52B.152C.52D.152 2.若a=(2,1)与b=(1,m5)相互垂直，则m的值为()A.6B.8C.10D.10 3.a=(2,3),b=(3,5),则a在b方向上的投影为_. 4.已知三个点A(1,0)，B(3,1)，C(2,0)，且a=BC,b=CA，则a与b的夹角为 5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x=. 6.已知，对以下两种状况分别求出m值，(1)，(2)。 8*已知向量,向量求的最值，9*
38、.a=(1,2),b=(3,2),当k为何值时：(1)ka+b与a3b垂直?(2)ka+b与a3b平行吗？平行时它们是同向还是反向？ 10*、以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角OAB，使B=90，求点B和向量的坐标. 【延长探究】已知在ABC中，A(2，1)、B(3,2)、C(3，1)，AD为BC边上的高，求|AD|与点D的坐标 第20页 共20页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页