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1、第三章检测试题(时间:90分钟满分:120分)【选题明细表】 知识点、方法题号函数零点的求法及应用1,4,10,15,17,19,20判断函数零点所在的区间3,13,16二分法2,8不同函数的增长关系6,9函数模型5,7,11,12,14,18一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.函数f(x)=xln x的零点为(B)(A)0或1 (B)1(C)(1,0) (D)(0,0)或(1,0)解析:函数f(x)的定义域为(0,+),由f(x)=0得x=0或ln x=0,即x=0或x=1.又因为x(0,+),所以x=1.故选B.2.下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是(C)解析:根
2、据零点存在定理即可判断.故选C.3.方程2x=2-x的根所在区间是(D)(A)(-1,0)(B)(2,3)(C)(1,2) (D)(0,1)解析:令f(x)=2x-2+x,因为f(x)在R上是增函数,且f(0)=-10.所以f(x)的零点在(0,1)内,即方程2x=2-x的根在(0,1)内.4.方程lox=2x-1的实根个数是(B)(A)0(B)1(C)2(D)无穷多解析:画出y=lox与y=2x-1的图象可知,两曲线仅有一个交点,故实根个数是1.5.如图所示,阴影部分的面积S是h的函数(0hH),则该函数的图象是(B)解析:取特殊点验证:当h=时,面积显然小于总面积的一半,于是排除A,C,D
3、.故选B.6.下列函数中,增长速度最慢的是(B)(A)y=ex(B)y=ln x(C)y=x100(D)y=2x解析:随着x的增大,对数函数的增长速度是最慢的.7.如表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,判断它最可能的函数模型是(A)x45678910y15171921232527(A)一次函数模型(B)二次函数模型(C)指数函数模型(D)对数函数模型解析:画出散点图,如图.由图可知其最可能的函数模型为一次函数模型,故选A.8.用二分法求方程x-2lg=3的近似解,可以取的一个区间是(C)(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:令f(x)=x-2lg-3
4、,因为f(2)=2-2lg-3=2-2(-)lg 2-3=lg 2-10,所以用二分法求方程x-2lg=3的近似解,可以取的一个区间是(2,3).9.某人2016年7月1日到银行存入a元,若按年利率x复利计算,则到2019年7月1日可取款(D)(A)a(1+x)2元 (B)a(1+x)4元(C)a+(1+x)3元(D)a(1+x)3元解析:由题意知,2017年7月1日可取款a(1+x)元,2018年7月1日可取款a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元,2019年7月1日可取款a(1+x)2(1+x)=a(1+x)3元.故选D.10.函数f(x)=x2+ln|x|的零点的个数为(B)(A)1(
5、B)2(C)3(D)4解析:由题意,作函数y=x2与y=-ln |x|的图象如图,结合图象知,函数y=x2与y=-ln|x|的图象有两个交点,即函数f(x)=x2+ln|x|的零点的个数为2,故选B.11.某商店迎来店庆,为了吸引顾客,采取“满一百送二十,连环送”的酬宾促销方式,即顾客在店内花钱满100元(可以是现金,也可以是奖励券或两者合计),就送20元奖励券;满200元,就送40元奖励券;满300元,就送60元奖励券;当日花钱最多的一位顾客共花出现金70 040元,如果按照酬宾促销方式,他最多能得到优惠(C)(A)17 000元 (B)17 540元(C)17 500元 (D)17 580
6、元解析:这位顾客花的70 000元可得奖励券70020=14 000(元),只有这位顾客继续把奖励券消费掉,也才能得到最多优惠,但当他把14 000元奖励券消费掉可得14020=2 800(元)奖励券,再消费又可得到2820=560(元)奖励券,560元消费再加上先前70 040中的40元共消费600元应得奖励券620=120元.120元奖励券消费时又得20元奖励券.所以他总共会得到14 000+2 800+560+120+20=17 500(元)优惠.故选C.12.某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(毫克/升)与过滤时间t(时
7、)之间的函数关系式为P=P0e-kt(k,P0均为正的常数).如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%,那么至少还需过滤小时才可以排放(C)(A)(B)(C)5(D)10解析:由题意,知前5个小时排除了90%的污染物.因为P=P0e-kt,所以(1-90%)P0=P0e-5k,所以0.1=e-5k,即-5k=ln 0.1,所以k=-ln 0.1.设t小时后污染物含量为1%,由1%P0=P0e-kt,得0.01=e-kt,所以-kt=ln 0.01,即ln 0.1=ln 0.01=2ln 0.1,所以t=10.即至少还需过滤5小时才可以排放.故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分
8、,共20分)13.若函数f(x)=mx2-x-2只有一个零点,则实数m的值为.解析:当m=0时,f(x)=-x-2有唯一零点-2.当m0时,f(x)=mx2-x-2有一个零点.则方程mx2-x-2=0有两个相等的实根,故=(-1)2-4m(-2)=0,解得m=-.综上可知,m=0或m=-.答案:0或-14.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间y(小时)与储藏温度x()的关系为指数型函数y=kax,若牛奶在10 的环境中保鲜时间约为64小时,在5 的环境中保鲜时间约为80小时,那么在0 时保鲜时间约为小时.解析:由题意知则a5=,k=100.故当x=0时,y=ka0=100.答案:1
9、0015.已知函数f(x)=其中m0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.解析:当m0时,函数f(x)=的图象如图.因为xm时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m24m-m2,所以要使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,必须4m-m20),即m23m(m0),解得m3,所以m的取值范围是(3,+).答案:(3,+)16.已知函数f(x)=logax+x-b(a0,且a1).当2a3b4时,函数f(x)的零点x0(n,n+1),nN*,则n=.解析:因为2a3b4,所以f(2)=loga2+2-b1+2-b=3-b1+3-b=4-b
10、0,即f(2)f(3)1时,判断函数f(x)在区间(0,m)内是否存在零点.解:f(x)=ex-m-x,所以f(0)=e-m-0=e-m0,f(m)=e0-m=1-m.又m1,所以f(m)0,所以f(0)f(m)1)在区间(0,m)内存在零点.18.(本小题满分10分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4x20时,v是x的一次函数,当x达到 20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年.(1)
11、当0x20时,求函数v关于x的函数解析式;(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.解:(1)由题意得当0x4时,v=2;当4x20时,设v=ax+b,显然v=ax+b在(4,20内是减函数,由已知得解得所以v=-x+,故函数v=(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得f(x)=当0x4时,f(x)为增函数,故f(x)max=f(4)=42=8;当40,f(-2)=-0,f(1)=-0,即f(-3)f(-2)0,f()f(1)0,f(1)f(2)0,所以3个零点分别在区间(-3,-2),(,1),(1,2)内.20.(本小题满
12、分12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-2x.(1)求f(x)的解析式,并画出f(x)的图象;(2)设g(x)=f(x)-k,利用图象讨论:当实数k为何值时,函数g(x)有一个零点?两个零点?三个零点?解:(1)当x0时,f(x)=x2-2x.设x0,则f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,因为函数f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=-x2-2x,所以f(x)=函数的图象如图所示.(2)由g(x)=f(x)-k=0,可得f(x)=k,结合函数的图象可知,当k1时,y=k与y=f(x)的图象有一个交点,即 g(x)=f(x)-k有一个零点;当k=-1或k=1时,y=k与y=f(x)的图象有两个交点,即g(x)=f(x)-k有两个零点;当-1k1时,y=k与y=f(x)的图象有三个交点,即g(x)=f(x)-k有三个零点.7