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1、2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题）1函数y=的定义域为 2已知tan=，则sin2= 3函数y=tan（2x）的单调区间为 4已知cos=，且（，0），则= （用反三角函数表示）5设集合A=x|x2|1，集合B=x|1，则AB= 6已知sincos=，且，则cossin= 7已知函数f（x）=x21（1x0），则f1（x）= 8设f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则：f（1）= 9在各项均为正数的等比数列an中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 10函数f（x）=Asin（x+）（A0
2、，0，|）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为 11已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b=2c，则C的取值范围为 12对一切实数x，不等式x2+a|x|+10恒成立，则实数a的取值范围是 13等差数列an的前n项和为Sn，且a1=1，S7=28，记bn=lgan，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0，lg99=1，则数列bn的前1000项和为 14设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围 二.选择题15“a=3”是“函数f（x）=x22ax+2在区间3，+）内单调递增”的（）条件A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分也非必要16若a0
3、，b0，a+b=2，则下列不等式不恒成立的是（）Aab1Ba2+b22C+D+217等差数列an中，已知3a5=7a10，且a10，则数列an前n项和Sn（nN*）中最小的是（）AS7或S8BS12CS13DS1418如图，点列An、Bn分别在锐角两边（不在锐角顶点），且|AnAn+1|=|An+1An+2|，AnAn+2，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，BnBn+1，nN*（PQ表示点P与Q不重合），若dn=|AnBn|，Sn为AnBnBn+1的面积，则（）Adn是等差数列BSn是等差数列Cd是等差数列DS是等差数列三.解答题19已知函数f（x）=，其中a为常数；（1）当a=2时，解
4、不等式f（x）1；（2）当a0时，求函数f（x）在x（1，3上的值域20已知 f（x）=sin2x2sin2x，（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若x，求f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的取值21某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为R=40cm，同侧前后两轮胎之间的距离（指轮胎中心之间距离）为l=280cm （假定四个轮胎中心构成一个矩形）当该型号汽车开上一段上坡路ABC（如图（1）所示，其中ABC=a（），且前轮E已在BC段上时，后轮中心在F位置；若前轮中心到达G处时，后轮中心在H处（假定该汽车能顺利驶上该上坡路）设前轮中心在E和G处时与地面的接触点分别为S和T，且BS=
5、60cm，ST=100cm（其它因素忽略不计）（1）如图（2）所示，FH和GE的延长线交于点O，求证：OE=40cot（cm）；（2）当a=时，后轮中心从F处移动到H处实际移动了多少厘米？（精确到1cm）22数列an的前n项和记为Sn且满足Sn=2an1，nN*；（1）求数列an的通项公式；（2）设Tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+（1）n+1anan+1，求Tn的通项公式；（3）设有m项的数列bn是连续的正整数数列，并且满足：lg2+lg（1+）+lg（1+）+lg（1+）=lg（log2am）问数列bn最多有几项？并求出这些项的和23如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的
6、任意x，存在实数a使得f=f（x+a）=f（x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”；（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，试写出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，当x0时，f（x）=（x+t）2，tR，求y=f（x）在0，1上的最大值；（3）设函数y=g（x）具有“P（1）性质”，且当x时，g（x）=|x|，求：当xR时，函数g（x）的解析式，若y=g（x）与y=mx（mR）交点个数为1001个，求m的值2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题
7、（共14小题）1函数y=的定义域为（，16，+）【解答】解：由题意得：x25x60，即（x6）（x+1）0，解得：x6或x1，故函数的定义域是（，16，+），故答案为：（，16，+）2已知tan=，则sin2=【解答】解：tan=，则sin2=，故答案为：3函数y=tan（2x）的单调区间为（+，+），（kZ）【解答】解：函数y=tan（2x），令+k2x+k，kZ，解得+x+，kZ；所以函数f（x）的单调增区间为（+，+），（kZ）故答案为：（+，+），（kZ）4已知cos=，且（，0），则=arccos（用反三角函数表示）【解答】解：arccos（）=arccos，又cos=，且（，0），
8、（0，），=arccos；即=+arccos故答案为：+arccos5设集合A=x|x2|1，集合B=x|1，则AB=（，0）3，+）【解答】解：由|x2|1得x21或x21，解得x3或x1，则集合A=（，13，+），由 得，则x（1x）0，即x（x1）0，解得x1或x0，则集合B=（，0）（1，+），所以AB=（，0）3，+），故答案为：（，0）3，+）6已知sincos=，且，则cossin=【解答】解：，cossin，即cossin0，设cossin=t（t0），则t2=12sincos=1=，t=，即cossin=故答案为：7已知函数f（x）=x21（1x0），则f1（x）=，x（1，
9、0【解答】解：函数y=f（x）=x21（1x0），y+1=x2，又1x0，0y1，x=；交换x、y的位置，得y=f1（x）=，x（1，0故答案为：，x（1，08设f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则：f（1）=3【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），f（0）=1+b=0，解得b=1f（x）=2x+2x1当x0时，f（x）=2x+2（x）1，f（x）=2x+2x+1，f（1）=22+1=3故答案为：39在各项均为正数的等比数列an中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是4【解答】解：设等比数列
10、an的公比为q0，a10a8=a6+2a4，化为q4q22=0，解得q2=2a6=122=4故答案为：410函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+），或f（x）=sin（2x）【解答】解：由函数图象可得：A=，周期T=4（）=，由周期公式可得：=2，由点（，0）在函数的图象上，可得：sin（2+）=0，解得：=k，kZ，|，当k=1时，可得=，当k=0时，可得=，从而得解析式可为：f（x）=sin（2x+），或f（x）=sin（2x）由于，点（，）在函数图象上，验证可得：f（x）=sin（2x+）故答案为：f（x）=s
11、in（2x+）11已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b=2c，则C的取值范围为【解答】解：在ABC中，a+b=2c，（a+b）2=4c2a2+b2=4c22ab2ab即c2ab当且仅当a=b是，取等号由余弦定理知cosC=故填：12对一切实数x，不等式x2+a|x|+10恒成立，则实数a的取值范围是2，+）【解答】解：根据题意，分2种情况讨论；x=0时，原式为10，恒成立，则aR；x0时，原式可化为a|x|（x2+1），即a（|x|+）；又由|x|+2，则（|x|+）2；要使不等式x2+a|x|+10恒成立，需有a2即可；综上可得，a的取值范围是2，+）；故答案为：2，
12、+）13等差数列an的前n项和为Sn，且a1=1，S7=28，记bn=lgan，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0，lg99=1，则数列bn的前1000项和为1893【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28可得a4=4，则公差d=1an=n，bn=lgn，则b1=lg1=0，b2=b3=b9=0，b10=b11=b12=b99=1b100=b101=b102=b103=b999=2，b1000=3数列bn的前1000项和为：90+901+9002+3=1893故答案为：189314设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围或a2【
13、解答】解：设h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a），若在x1时，h（x）=2xa与x轴有一个交点，所以a0，并且当x=1时，h（1）=2a0，所以0a2，而函数g（x）=4（xa）（x2a）有一个交点，所以2a1，且a1，所以a1，若函数h（x）=2xa在x1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（xa）（x2a）有两个交点，当a0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2a0时，即a2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是a1，或a2故答案为：或a2二.选择题15“a=3”是“函数f（x）=x22
14、ax+2在区间3，+）内单调递增”的（）条件A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分也非必要【解答】解：函数f（x）=x22ax+2在区间3，+）内单调递增，可得f（x）的对称轴为x=a，开口向上，可得a3，“a=3”“函数f（x）=x22ax+2在区间3，+）内单调递增”，“a=3”是“函数f（x）=x22ax+2在区间3，+）内单调递增”的充分而不必要条件，故选：A16若a0，b0，a+b=2，则下列不等式不恒成立的是（）Aab1Ba2+b22C+D+2【解答】解：对于A，2=a+b2，则ab1，当且仅当a=b=1取等号，故恒成立；对于B，a2+b22（）2=2，当且仅当a=b=1取等号，
15、故恒成立，对于C，令a=b=1，则不成立，对于D.+=2，当且仅当a=b=1取等号，故恒成立，故选：C17等差数列an中，已知3a5=7a10，且a10，则数列an前n项和Sn（nN*）中最小的是（）AS7或S8BS12CS13DS14【解答】解：等差数列an中，已知3a5=7a10，且a10，设公差为d，则3（a1+4d）=7（a1+9d），解得 d=an=a1+（n1）d=令 0，可得 n，故当n14时，an0，当n13时，an0，故数列an前n项和Sn（nN*）中最小的是 S13，故选：C18如图，点列An、Bn分别在锐角两边（不在锐角顶点），且|AnAn+1|=|An+1An+2|，A
16、nAn+2，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，BnBn+1，nN*（PQ表示点P与Q不重合），若dn=|AnBn|，Sn为AnBnBn+1的面积，则（）Adn是等差数列BSn是等差数列Cd是等差数列DS是等差数列【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不确定，则dn不一定是等差数列，dn2不一定是等差数列，设AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，由三角形的相似可得=，=，两式相加可得，=2，即有hn+hn+2=2hn+1，由Sn=dhn，可得Sn+Sn+2=2
17、Sn+1，即为Sn+2Sn+1=Sn+1Sn，则数列Sn为等差数列故选：B三.解答题19已知函数f（x）=，其中a为常数；（1）当a=2时，解不等式f（x）1；（2）当a0时，求函数f（x）在x（1，3上的值域【解答】解：（1）a=2，不等式f（x）1即为，化简为（x1）（x2）（x3）0且x1，所以不等式的解集为：（1，23，+）；（2）当a0时所以f（x）=x3+，此函数为增函数，所以x（1，3的值域为（，20已知 f（x）=sin2x2sin2x，（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若x，求f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的取值【解答】解：（1）因为 f（x）=sin
18、2x2sin2x=sin2x+cos2x1=2sin（2x+）1，（4分）所以，函数的周期为T=，即函数f（x）的最小正周期为 （5分）令 2k+2x+2k+，kz，解得 k+xk+，kz，所以f（x）的单调递减区间为k+，k+ （7分）（2）因为x，得2x+，sin（2x+）1 （8分）22sin（2x+）11，（10分）所以，函数f（x）的最大值为1（12分）此时，2x+=，即 x=（14分）21某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为R=40cm，同侧前后两轮胎之间的距离（指轮胎中心之间距离）为l=280cm （假定四个轮胎中心构成一个矩形）当该型号汽车开上一段上坡路ABC（如图（1）所示，其
19、中ABC=a（），且前轮E已在BC段上时，后轮中心在F位置；若前轮中心到达G处时，后轮中心在H处（假定该汽车能顺利驶上该上坡路）设前轮中心在E和G处时与地面的接触点分别为S和T，且BS=60cm，ST=100cm（其它因素忽略不计）（1）如图（2）所示，FH和GE的延长线交于点O，求证：OE=40cot（cm）；（2）当a=时，后轮中心从F处移动到H处实际移动了多少厘米？（精确到1cm）【解答】解：（1）由OEBC，OHAB，得EOH=，.（2分）过点B作BMOE，BNOH，则RtOMBRtONB，从而BOM=.（4分）在RtOMB中，由BM=40得OM=40cot，从而，OE=OM+ME=O
20、M+BS=40cot+60.（6分）（2）由（1）结论得OE=+60设OH=x，OF=y，在OHG中，由余弦定理得，2802=x2+（+60+100）22x（+60+100）cos150，解得x118.8cm.（9分）在OEF中，由余弦定理得，2802=y2+（+60）22y（+60）cos150，解得y216.5cm.（12分）所以，FH=yx98cm，即后轮中心从F处移动到H处实际移动了约98cm（14分）22数列an的前n项和记为Sn且满足Sn=2an1，nN*；（1）求数列an的通项公式；（2）设Tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+（1）n+1anan+1，求Tn的通项公式；（3
21、）设有m项的数列bn是连续的正整数数列，并且满足：lg2+lg（1+）+lg（1+）+lg（1+）=lg（log2am）问数列bn最多有几项？并求出这些项的和【解答】解：（1）Sn=2an1，nN*；n=1时，a1=S1=2a11，解得a1=1；n2时，an=SnSn1=2an1（2an11），化为an=2an1，数列an是等比数列，公比为2，首项为1an=2n1（2）anan+1=2n12n=Tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+（1）n+1anan+1=+（1）n+14n=1（4）n（3）由lg2+lg（1+）+lg（1+）+lg（1+）=lg（log2am）=log2am=m1又数列
22、bn是连续的正整数数列，bn=bn1+1=m1，又bm=b1+（m1），mb13b12m=0，m=3+，由mN*，b12，b1=3时，m的最大值为9这些项的和=3+4+11=6323如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f=f（x+a）=f（x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”；（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，试写出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，当x0时，f（x）=（x+t）2，tR，求y=f（x）在0，1上的最大值；（3）设函数y=g（x）具有“P（
23、1）性质”，且当x时，g（x）=|x|，求：当xR时，函数g（x）的解析式，若y=g（x）与y=mx（mR）交点个数为1001个，求m的值【解答】解：（1）由sin（x+a）=sin（x）得sin（x+a）=sinx，根据诱导公式得a=2k+（kZ）y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2k+（kZ）（2）y=f（x）具有“P（0）性质”，f（x）=f（x）设x0，则x0，f（x）=f（x）=（x+t）2=（xt）2f（x）=当t0时，y=f（x）在0，1递增，x=1时ymax=（1t）2，当0t时，y=f（x）在0，t上递减，在t，1上递增，且f（0）=t2f（1）=（1t）2，x=1时
24、ymax=（1t）2，当t时，y=f（x）在0，m上递减，在m，1上递增，且f（0）=m2f（1）=（1m）2，x=0时，ymax=t2，综上所述：当t时，ymax=f（1）=（1t）2，当tymax=f（0）=t2，（3）y=g（x）具有“P（1）性质”，g（1+x）=g（x），g（1+x）=g（x），g（x+2）=g（1+1+x）=g（1x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数又x设，则x1，g（x）=g（x2）=g（1+x1）=g（x+1）=|x+1|=|x1|=g（x1）再设nxn+（nz），当n=2k（kz），则2kx2k+，则x2k，g（x）=g（x2k）=|x2k|=|xn|；当n=2k+1（kz），则2k+1x2k+1+，则x2kg（x）=g（x2k）=|x2k1|=|xn|；g（x）=对于nxn+，（nz），都有g（x）=|xn|，而n+1x+1n+1+，g（x+1）=|（x+1）（n+1）|=|xn|=g（x），y=g（x）是周期为1的函数当m0时，要使y=mx与y=g（x）有1001个交点，只要y=mx与y=g（x）在0，500）有1000个交点，而在500，501有一个交点y=mx过（，），从而得m=当m0时，同理可得m=当m=0时，不合题意综上所述m=国产考试小能手