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1、2016-2017学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1（4分）设集合U=1，2，3，4，5，6，UM=1，2，4；则集合M= 2（4分）已知sin（）=，则cos（）= 3（4分）公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a10= 4（4分）求值：arcsin（cos）= 5（4分）在等差数列an中，若a3+a4+a6+a7=25，则a2+a8= 6（4分）在ABC中，a=3，b=，A=，则B= 7（4分）已知数列an是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列an的前n项和等于 8（4分）若函数f（x）
2、=（a0且a1）的值域是4，+），则实数a的取值范围是 9（4分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a= 10（4分）设Sn是数列an的前n项和，a1=1，an+1=SnSn+1，则Sn= 11（4分）设函数f（x）=ln（1+|x|），则使得f（x）f（3x1）成立的x的取值范围是 12（4分）已知函数f（x）=sinx+cosx（0），xR，若函数f（x）在区间（，）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，则的值为 13（4分）若a，b是函数f（x）=x2px+q（p0，q0）的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p
3、+q的值等于 14（4分）已知f（x）=m（x2m）（x+m+3），g（x）=2x2若同时满足条件：任意xR满足f（x）0或g（x）0；存在x（，4）满足f（x）g（x）0，则m的取值范围是 二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15（5分）设Sn是公差为d（d0）的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是（）A若d0，则数列Sn有最大项B若数列S有最大项，则d0C若数列Sn是递增数列，则对任意nN*均有Sn0D若对任意nN*均有Sn0，则数列Sn是递增数列16（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2
4、的x1、x2，有|x1x2|min=，则=（）ABCD17（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“f（x）为0，1上的增函数”是“f（x）为3，4上的减函数”的（）A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件18（5分）对于函数f（x），若存在区间A=m，n，使得y|y=f（x），xA=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”给出下列4个函数：f（x）=sin（x）；f（x）=2x21；f（x）=|12x|； f（x）=log2（2x2）其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）ABCD三.解答题（满分
5、74分）19（12分）已知二次函数f（x）=mx22x3，若不等式f（x）0的解集为（1，n）（1）解关于x的不等式：2x24x+n（m+1）x1；（2）是否存在实数a（0，1），使得关于x的函数y=f（ax）4ax+1（x1，2）的最小值为4？若存在，求a的值；若不存在，说明理由20（14分）在ABC中，已知cosA=，tan+cot=，c=21（1）求cos（AB）的值；（2）求ABC的面积21（14分）已知函数f（x）=10sincos+10cos2（）求函数f（x）的最小正周期；（）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向下平移a（a0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g
6、（x）的 最大值为2（i）求函数g（x）的解析式；（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）022（16分）已知数列an的前n项和为Sn，且a2an=S2+Sn 对一切整数n都成立（1）求a1，a2的值（2）若a10，设数列bn的前n项和为Tn，且满足bn=lg，证明bn是等差数列；（3）当n为何值时，Tn 最大？并求出Tn的最大值23（18分）已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）f（ax）=b恒成立，则称f（x）为“函数”（1）判断函数f1（x）=x，是否是“函数”；（2）若f3（x）=tanx是一个“函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a
7、，b）；（3）若定义域为R的函数f（x）是“函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），当x0，1时，f（x）的值域为1，2，求当x2016，2016时函数f（x）的值域2016-2017学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1（4分）设集合U=1，2，3，4，5，6，UM=1，2，4；则集合M=3，5，6【解答】解：集合U=1，2，3，4，5，6，UM=1，2，4；则M是把全集U中的元素去掉后，剩余元素构成的集合，即集合M=3，5，6故答案为：3，5，62（4分）已知sin（）=，则cos（）=【解答】解：si
8、n（）=cos=，cos（）=cos=故答案为：3（4分）公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a10=5【解答】解：公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a11=16，a7=4，=4，解得=，=25，log2a10=5故答案为：54（4分）求值：arcsin（cos）=【解答】解：令arcsin（cos）=，则sin=cos=sin（），=，故答案为5（4分）在等差数列an中，若a3+a4+a6+a7=25，则a2+a8=【解答】解：由等差数列的性质可得：a3+a7=a4+a6=a2+a8，又a3+a4+a6+a7=25，则a2+a8=故答案为：6（4分）
9、在ABC中，a=3，b=，A=，则B=【解答】解：a=3，b=，A=，sinB=，ba，可得B为锐角，B=故答案为：7（4分）已知数列an是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列an的前n项和等于2n1【解答】解：数列an是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，8=1q3，q=2，数列an的前n项和为：=2n1故答案为：2n18（4分）若函数f（x）=（a0且a1）的值域是4，+），则实数a的取值范围是（1，2【解答】解：由于函数f（x）=（a0且a1）的值域是4，+），故当x2时，满足f（x）=6x4若a1，f（x）=3+log
10、ax在它的定义域上单调递增，当x2时，由f（x）=3+logax4，logax1，loga21，1a2若0a1，f（x）=3+logax在它的定义域上单调递减，f（x）=3+logax3+loga23，不满足f（x）的值域是4，+）综上可得，1a2，故答案为：（1，29（4分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=1【解答】解：f（x）=xln（x+）为偶函数，f（x）=f（x），（x）ln（x+）=xln（x+），ln（x+）=ln（x+），ln（x+）+ln（x+）=0，ln（+x）（x）=0，lna=0，a=1故答案为：110（4分）设Sn是数列an的前n项和，a1=1，an+1
11、=SnSn+1，则Sn=【解答】解：an+1=SnSn+1，Sn+1Sn=SnSn+1，=1，数列是等差数列，首项为1，公差为1=1（n1）=n，解得Sn=故答案为：11（4分）设函数f（x）=ln（1+|x|），则使得f（x）f（3x1）成立的x的取值范围是（，）【解答】解：f（x）=ln（1+|x|），定义域为R，f（x）=f（x），函数f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ln（1+x）值函数单调递增，根据偶函数性质可知：得f（x）f（3x1）成立，|x|3x1|，x2（3x1）2，x的范围为（，），故答案为（，）12（4分）已知函数f（x）=sinx+cosx（0），xR，若函数f（x
12、）在区间（，）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，则的值为【解答】解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），函数f（x）在区间（，）内单调递增，02kx+2k+，kZ可解得函数f（x）的单调递增区间为：，kZ，可得：，kZ，解得：02且022k，kZ，解得：，kZ，可解得：k=0，又由x+=k+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，kZ，由函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，可得：2=，可解得：=故答案为：13（4分）若a，b是函数f（x）=x2px+q（p0，q0）的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的
13、值等于9【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，p0，q0，可得a0，b0，又a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得或解得：；解得：p=a+b=5，q=14=4，则p+q=9故答案为：914（4分）已知f（x）=m（x2m）（x+m+3），g（x）=2x2若同时满足条件：任意xR满足f（x）0或g（x）0；存在x（，4）满足f（x）g（x）0，则m的取值范围是（4，2）【解答】解：g（x）=2x2，当x1时，g（x）0，又xR，f（x）0或g（x）0，f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x1时恒成立，由二次函数的性质知开口只能向下，且二次函数与x轴交
14、点都在（1，0）的左边，即，解得4m0，又x（，4）时，f（x）g（x）0，此时g（x）=2x20恒成立，f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x（，4）有成立的可能，则只要4比x1，x2中的较小的根大即可（i）当1m0时，m34不成立，（ii）当m=1时，有2等根，不成立，（iii）当4m1时，2m4即m2成立；综上可得成立时4m2故答案为：（4，2）二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15（5分）设Sn是公差为d（d0）的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是（）A若d0，则数列Sn有最大项B若数列S有最大项，则d0C若数列Sn是递增数列，则对任意nN*均有Sn0D若对
15、任意nN*均有Sn0，则数列Sn是递增数列【解答】解：由等差数列的求和公式可得Sn=na1+d=n2+（a1）n，选项A，若d0，由二次函数的性质可得数列Sn有最大项，故正确；选项B，若数列Sn有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d0，故正确；选项C，若数列Sn是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意nN*，均有Sn0，故错误选项D，若对任意nN*，均有Sn0，对应抛物线开口向上，d0，可得数列Sn是递增数列，故正确故选：C16（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的x1、x2，有|x1x2|min=，则
16、=（）ABCD【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为，函数的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（22）=1，此时=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（22）=1，此时=，满足题意另解：f（x）=sin2x，g（x）=sin（2x2），设2x1=2k+，kZ，2x22=+2m，mZ，x1x2=+（km），由|x1x2|min=，可得=，解得=，故选：D17（5分）已知f（x）是定义
17、在R上的偶函数且以2为周期，则“f（x）为0，1上的增函数”是“f（x）为3，4上的减函数”的（）A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）为0，1上的增函数，则f（x）为1，0上是减函数，又f（x）是定义在R上的以2为周期的函数，且3，4与1，0相差两个周期，两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为3，4上的减函数，故充分性成立若f（x）为3，4上的减函数，同样由函数周期性可得出f（x）为1，0上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为0，1上的增函数，故必要性成立综上，“f（x）为0，1上的增函数”是
18、“f（x）为3，4上的减函数”的充要条件故选：C18（5分）对于函数f（x），若存在区间A=m，n，使得y|y=f（x），xA=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”给出下列4个函数：f（x）=sin（x）；f（x）=2x21；f（x）=|12x|； f（x）=log2（2x2）其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）ABCD【解答】解：函数f（x）=sin（x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=0，1为函数的一个“可等域区间”，同时当A=1，0时也是函数的一个“可等域区间”，不满足唯一性当A=1，1时，f（x）1，1，满足条件，且由二次函
19、数的图象可知，满足条件的集合只有A=1，1一个A=0，1为函数f（x）=|2x1|的“可等域区间”，当x0，1时，f（x）=2x1，函数单调递增，f（0）=11=0，f（1）=21=1满足条件，m，n取值唯一故满足条件f（x）=log2（2x2）单调递增，且函数的定义域为（1，+），若存在“可等域区间”，则满足，即，m，n是方程2x2x+2=0的两个根，设f（x）=2x2x+2，f（x）=2xln22，当x1时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增，f（x）=2x2x+2=0不可能存在两个解，故f（x）=log2（2x2）不存在“可等域区间”故选：B三.解答题（满分74分）19（12分）已知二
20、次函数f（x）=mx22x3，若不等式f（x）0的解集为（1，n）（1）解关于x的不等式：2x24x+n（m+1）x1；（2）是否存在实数a（0，1），使得关于x的函数y=f（ax）4ax+1（x1，2）的最小值为4？若存在，求a的值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）f（x）=mx22x3，且f（x）0的解集为（1，n），方程mx22x3=0的两个实数根是1，n，且m0；，解得；原不等式可化为（x2）（x1）0，解得解集为（，1）（2，+）；（2）设t=ax，且a（0，1），x1，2时，axa2，a；函数y=f（ax）4ax+1=t2（4a+2）t3，对称轴是t=2a+1a，ymin=a2
21、（4a+2）a3=4，解得a=或a=1（舍去）；存在实数a=20（14分）在ABC中，已知cosA=，tan+cot=，c=21（1）求cos（AB）的值；（2）求ABC的面积【解答】解：（1）ABC中，已知cosA=，sinA=，Atan+cot=，sinB=（，），B（，），cosB=，cos（AB）=cosAcosB+sinAsinB=+=（2）c=21，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，由正弦定理可得=，即 =，a=20，ABC的面积为 =2021=12621（14分）已知函数f（x）=10sincos+10cos2（）求函数f（x）的最小正周期；（）将
22、函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向下平移a（a0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的 最大值为2（i）求函数g（x）的解析式；（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）0【解答】解：（）f（x）=10sincos+10cos2=5sinx+5cosx+5=10sin（x+）+5，所求函数f（x）的最小正周期T=2；（）（i）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到y=10sinx+5的图象，再向下平移a（a0）个单位长度后得到函数g（x）=10sinx+5a的图象，函数g（x）的最大值为2，10+5a=2，解得a=13，函数g（x）=10sin
23、x8（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得10sinx0 80，即sinx0 ，由知，存在00，使得sin0=，由正弦函数的性质可知，当x（0，0）时，均有sinx，因为y=sinx的周期为2，所以当x（2k+0，2k+0），（kZ）时，均有sinx因为对任意的整数k，（2k+0）（2k+0）=201，所以对任意的正整数k，都存在正整数xk（2k+0，2k+0），使得sinxk，即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）022（16分）已知数列an的前n项和为Sn，且a2an=S2+Sn 对一切整数n都成立（
24、1）求a1，a2的值（2）若a10，设数列bn的前n项和为Tn，且满足bn=lg，证明bn是等差数列；（3）当n为何值时，Tn 最大？并求出Tn的最大值【解答】解：（1）a2an=S2+Sn 对一切整数n都成立a2a1=a1+a2+a1，a2（a1+a2）=2（a1+a2），联立解得a1=+1，a2=2+或a1=1，a2=2（2）证明：a10，取a1=+1，a2=2+an=（3+2）+Sn，n2时，=（3+2）+Sn1，an=an，an=an1数列an是等比数列，公比为bn=lg=1（n1），bn是等差数列，首项为1，公差为lg2（3）bn=1（n1），公差lg20b7=13lg2=1lg80
25、，b8=1lg2=0当n=7，Tn 最大，Tn的最大值为=7lg223（18分）已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）f（ax）=b恒成立，则称f（x）为“函数”（1）判断函数f1（x）=x，是否是“函数”；（2）若f3（x）=tanx是一个“函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；（3）若定义域为R的函数f（x）是“函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），当x0，1时，f（x）的值域为1，2，求当x2016，2016时函数f（x）的值域【解答】解：（1）若f1（x）=x是“函数”，则存在实数对（a，b），使得（a+x）（ax）=b即x2=
26、a2b对xR恒成立，而关于x的方程x2=a2b最多有两个解，不符合题意因此f1（x）=x不是“函数”若是“函数”，则存在实数对（a，b），使得3a+x3ax=32a=b，即存在常数对（a，32a）满足条件，因此是“函数”（2）f3（x）=tanx是一个“函数”，存在序实数对（a，b）满足tan（a+x）tan（ax）=b恒成立，当时，tan（a+x）tan（ax）=cot2x，不是常数当时，有恒成立，即（btan2a1）tan2x+（tan2ab）=0恒成立则，当，时，tan（a+x）tan（ax）=cot2a=1成立因此满足f3（x）=tanx是一个“函数”时，实数对（3）函数f（x）是“函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），f（x）f（x）=1，f（1+x）f（1x）=4，f（1+x）f（1x）=4f（x）f（2x）=4，x1，2时，2x0，1，f（2x）1，2，x0，2时，f（x）1，4，x2，4时，f（x）4，16，x4，6时，f（x）16，64，以此类推可知：x2k，2k+2时，f（x）22k，22k+2，当x2014，2016时，f（x）22014，22016，因此x0，2016时，f（x）1，22016，x2016，0时，综上可知当x2016，2016时函数f（x）对的值域为22016，22016国产考试小能手